Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx m + 1 có nghiệm

Duới đây là các thông tin và kiến thức về chủ đề có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos x = m + 1 có nghiệm hay nhất do chính tay đội ngũ Newthang biên soạn và tổng hợp:

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm

+ Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx có dạng: a. sinx+ bcosx = c

Trong đó: a, b và c là hằng số.

+ Cách giải phương trình:

• Cách 1:

• Cách 2:

* Chú ý:

+ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

+ Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là a2 + b2 ≥ c2

+ Bất đẳng thức bunhia-xcopski:

Ví dụ 1. Cho phương trình a. sinx+ b cosx= c .Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là:

A. a2 + b2 > c2

B. a2 + b2 < c2

C. a2+ b2 ≥ c2

D. a2+ b2 ≤ c2

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho các phương trình sau:

(I). 2cosx + 4= 0

(II). – 4sinx =1

(III). 2cosx – sinx= 2

(IV). sin2 x + 2sinx – 3= 0

(V) . 7sinx+ 14.sinx.cosx=0

Hỏi có bao nhiêu phương trình là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

a. sinx+ b. cosx= c ( trong đó a khác 0 hoặc b khác 0)

Ta xét các phương trình :

+(I): 2cosx+ 4= 0 ⇒ 2cosx = - 4 có a= 0; b=2 và c=- 4

⇒ (I) có là phương trình bậc nhất đối sinx và cosx.

+ (II). – 4sinx = 1 có a= -4; b= 0 và c= 1

⇒ (II) có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

+ (III). 2cos x- sinx= 2 có a= -1; b= 2 và c= 2

⇒ (III) có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

+ (IV). sin2 x + 2sinx – 3= 0 không có dạng:a. sinx+ b. cosx = c (với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)

⇒ (IV) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

(V) . 7sinx+ 14.sinx.cosx=0 ⇒ 7sinx(1+ 2cosx) = 0

Phương trình trên không có dạng: a.sinx + b.cosx= c nên (V) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho các phương trình sau:

(1). 3cosx+2 = 0

(2). 4- 2sinx= 0

(3). – 2sinx+ cosx= 3

(4). cos2x- sinx = 0

(5).cosx- sin3x. sinx= 0

(6).sin2x – sinx. cosx+ 2cos2 x= 0

Hỏi trong các phương trình trên có bao nhiêu phương trình đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

A. 2 B. 4 C. 3 D. 5

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

a.sinx+ b cosx= c ( với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)

Trong các phương trình đã cho có các phương trình : (1); (2); (3) đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho các phương trình:

(I). 2sinx- 3cos x= 1

(II).4sinx + 5cos x=10.

(III). - 3sinx – 2cosx= 3

(IV) . – 5sinx + cosx= 3

Hỏi có bao nhiêu phương trình có nghiệm.

A. 1 B.2 C. 3 D.4

Lời giải

+ Các phương trình trên là các phương trình bậc nhất đối với sinx; cosx và có dạng:

a. sinx+ b. cosx = c

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2

+ Ta xét các phương án :

(I). 2sinx- 3cos x= 1 có a= 2; b=- 3; c= 1

⇒ a2 + b2 ≥ c2 ( 13 ≥ 1)

⇒ (I) là phương trình có nghiệm.

(II).4sinx + 5cos x=10 có a= 4; b= 5; c= 10

⇒ a2 + b2 < c2 (41 < 100)

⇒ (II) là phương trình vô nghiệm

(III). - 3sinx – 2cosx= 3 có a= - 3; b= - 2 và c= 3

⇒ a2 + b2 ≥ c2 ( 13 ≥ 9)

⇒ (III) là phương trình có nghiệm

(IV) . – 5sinx + cosx= 3 có a= - 5; b= 1 và c= 3

⇒ a2 + b2 ≥ c2 ( 26 ≥ 9)

⇒ (IV) có nghiệm

Vậy có 3 phương trình có nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 5. Cho các phương trình sau:

(1).2sinx - √3 cosx= √5

(2). - √5sin2x + cos2x = 5

(3).√7 cosx= 3

(4). 3√2 sinx= -4

Hỏi có bao nhiêu phương trình vô nghiệm?

A. 0 B.2 C. 1 D.3

Lời giải

Các phương trình trên đều có dạng: a.sinx+ b. cosx= c ( với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 )

Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x có nghiệm là:

a2 + b2 ≥ c2

⇒ Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx vô nghiệm là:

a2+ b2 < c2

+ Ta xét các phương trình:

(1): 2sinx - √3 cosx= √5 có a= 2; b= -√3 và c= √5

⇒ a2 + b2 > c2 (7 > 5)

⇒ Phương trình này có nghiệm

(2). - √5sin2x + cos2x = 5 có a= -√5;b=1;c=5

⇒ a2 + b2 < c2 ( vì 6 < 25)

⇒ phương trình (2) vô nghiệm.

(3). √7 cosx= 3 có a= 0; b= √7 và c= 3

⇒ a2 + b2 < c2 ( vì 7 < 9)

⇒ Phương trình (3) vô nghiệm

(4). 3√2 sinx= -4 có a= 3√2; b=0 và c = -4

⇒ a2 + b2 > c2 ( vì 18 > 16)

⇒ Phương trình (4) có nghiệm

Vậy chỉ có phương trình (2) và (3) vô nghiệm

Chọn B.

Ví dụ 6. Phương trình nào sau đây vô nghiệm

A.2sinx- 10 cosx = 12

B. – sinx+ cosx= - 1

C. 2sinx= 2

D. –10 cosx+ 1=0

Lời giải

Xét phương án A: có a= 2; b= -10 và c= 12

⇒ a2 + b2 < c2 (104 < 144)

⇒ Phương trình này vô nghiệm.

Chọn A.

Ví dụ 7: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. √3 sinx+cosx=2.

B.√2 sin2x- √2 cos2x=-2.

C.

D.

Lời giải

+ Các phương trình ở đáp án A, B, D đều có dạng A. Sinax+ B.cosax = C và A2+B2 ≥ C2 nên các phương trình này đều có nghiệm.

+Phương trình ở đáp án C có dạng cos(x+a)= m với m= 2π/3 > 1 nên phương trình này vô nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 8. Cho phương trình m.sinx+ cosx= 2. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm?

A.

B.

C. -√3 ≤ m ≤ √3

D. -√2 ≤ m ≤ √2

Lời giải

Phương trình: m.sinx+ cosx=2 có nghiệm khi và chỉ khi:

m2+ 12 ≥ 22

⇒ m2 + 1 ≥ 4 ⇒ m2 ≥ 3

Chọn A.

Ví dụ 9. Cho phương trình: m.sinx+ (m-2).cosx= √2. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm?

A. 1 ≤ m ≤ 3

B. m ≤ 2;m ≥ 3

C.m > 2; m < 3

D. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Lời giải

Phương trình: m.sinx+ (m-2).cosx= √2 có nghiệm khi và chỉ khi:

m2+ (m-2)2 ≥ (√2)2

⇒ m2+m2 - 4m+4 ≥ 2 ⇒ 2m2 – 4m+ 2 ≥ 0

⇒ 2(m-1)2 ≥ 0 luôn đúng với mọi m.

⇒ Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Chọn D.

Ví dụ 10. Cho phương trình sinx+ (m-1)cosx= 2m- 1. Tìm điều kiện của m để phương trình trên vô nghiệm.

A.

B.

C. – 1 < m < 2

D. - 2 ≤ m ≤ 1

Lời giải

Phương trình: sinx+ (m-1)cosx = 2m- 1 vô nghiệm khi và chỉ khi:

12 +(m-1)2 < (2m- 1)2

⇒ 1+ m2 – 2m+ 1 < 4m2 - 4m+ 1

⇒ -3m2 + 2m +1 < 0

Chọn A .

Ví dụ 11. Cho phương trình: (m-1).sinx+ cosx= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho vô nghiệm

A. m > 2

B. m < 2

C. m > 1

D. 1 < m < 2

Lời giải

Để phương trình: (m- 1). sinx+ cosx= m vô nghiệm thì:

(m-1)2 +12 < m2

⇒ m2 -2m+ 1 + 12 < m2

⇒ 2-2m < 0 ⇒ m > 1.

Chọn C.

Ví dụ 13: Cho phương trình:

. Tìm m để phương trình có nghiệm.

A.

B.

C. Không có giá trị nào của m.

D. m ≥ 3

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 14: Tìm m để phương trình: 2sin2 x+ m. sin2x = 2m vô nghiệm.

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: 2sin2 x + m. sin2x = 2m

⇒ 1- cos2x + m. sin 2x= 2m

⇒ m.sin 2x – cos2x = 2m- 1

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

Chọn D.

Câu 1:Cho các phương trình sau:

(I). – 4sinx + 2= 0

(II). 10cosx = 0

(III). – 4cosx + 2sinx= 1

(IV). 2sin2 x - 12sinx + 9= 0

(V) . -2sinx - 2.sinx.cosx=0

Hỏi có bao nhiêu phương trình là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Hiển thị lời giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

a. sinx+ b. cosx= c ( trong đó a khác 0 hoặc b khác 0)

Ta xét các phương trình :

+(I): - 4sinx + 2= 0 ⇒ - 4sinx = - 2 có a= -4; b=0 và c=- 2

⇒ (I) có là phương trình bậc nhất đối sinx và cosx.

+ (II). 10 cosx= 0 có a= 0; b=10 và c = 0

⇒ (II) có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

+ (III). – 4cosx + 2sinx = 1 có a= 2; b= -4 và c= 1

⇒ (III) có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

+ (IV).2sin2 x -12sinx + 9 = 0 không có dạng:a. sinx+ b. cosx = c (với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)

⇒ (IV) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

(V) . -2sinx - 2.sinx.cosx = 0 ⇒ - 2sinx( 1+ cosx)= 0

Phương trình trên không có dạng: a.sinx + b.cosx= c nên (V) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Chọn A.

Câu 2:Tìm phương trình không phải là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

A. sinx + cosx= 0

B. – 10sinx = 0

C. 8- cosx =0

D. 2sin2x + cosx = 1

Hiển thị lời giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

a.sinx+ b cosx = c ( với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0) ⇒ a. sinx+ b.cosx – c= 0

Trong các phương trình đã cho có các phương trình : A; B; C đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Phương trình D: 2sin2x + cosx= 1chưa có dạng phương trình bậc nhất.

Chọn D.

Câu 3:Cho các phương trình:

(I). 10sinx- cos x= 2

(II). - 3sinx = 2.

(III). 2sinx - 6cosx= 8

(IV) . 2cosx= 3

Hỏi có bao nhiêu phương trình có nghiệm.

A. 1

B.2

C. 3

D.4

Hiển thị lời giải

+ Các phương trình trên là các phương trình bậc nhất đối với sinx; cosx và có dạng:

a. sinx+ b. cosx = c

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2

+ Ta xét các phương án : (I). 10sinx- cos x= 2

(I). 10sinx – cosx= 2 có a= 10; b= -1 và c = 2

⇒ a2 + b2 ≥ c2 ( 101 ≥ 4)

⇒ (I) là phương trình có nghiệm.

(II). – 3sinx = 2 có a= - 3; b = 0 và c= 2

⇒ a2 + b2 > c2 ( 9 > 4)

⇒ (II) là phương trình có nghiệm

(III). 2sinx – 6cosx= 8 có a= 2; b= - 6 và c= 8

⇒ a2 + b2 < c2 ( 40 < 64)

⇒ (III) là phương trình vô nghiệm

(IV) . 2cosx= 3 có a= 0; b= 2 và c= 3

⇒ a2 + b2 < c2 ( 4 < 9)

⇒ (IV) vô nghiệm

Vậy có 2 phương trình có nghiệm.

Chọn B.

Câu 4:Cho các phương trình sau:

(1).- sinx + 2√3 cosx= √15

(2). √5sin2x + 3cos2x = - 5

(3).√15 cosx= 4

(4). -2√2 sinx= 1

Hỏi có bao nhiêu phương trình vô nghiệm?

A. 0

B.2

C. 1

D.3

Hiển thị lời giải

Các phương trình trên đều có dạng: a.sinx+ b. cosx= c( với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)

Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x có nghiệm là:

a2 + b2 ≥ c2

⇒ Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx vô nghiệm là:

a2+ b2 < c2

+ Ta xét các phương trình

(1): -sinx + 2√3cosx= √15 có a= -1 ; b= 2√3 và c= √15

⇒ a2 + b2 < c2 (13 < 15)

⇒ Phương trình này vô nghiệm

(2). √5sin2x + 3cos2x = -5 có a= √5;b=3;c=-5

⇒ a2 + b2 < c2 ( vì 14 < 25)

⇒ phương trình (2) vô nghiệm.

(3). √15 cosx= 4 có a= 0; b= √15 và c= 4

⇒ a2 + b2 < c2 ( vì 15 < 16)

⇒ Phương trình (3) vô nghiệm

(4). - 2√2 sinx= 1 có a= -2√2; b=0 và c = 1

⇒ a2 + b2 > c2 ( vì 8 > 1)

⇒ Phương trình (4) có nghiệm

Vậy có ba phương trình (1),(2) và (3) vô nghiệm

Chọn D.

Câu 5:Phương trình nào sau đây vô nghiệm

A. - 4sinx + 4 cosx = 4

B. – sinx + 10cosx= 11

C. -100sinx= 50

D. 48cosx+ 1=0

Hiển thị lời giải

Xét phương án B: có a= -1; b= 10 và c= 11

⇒ a2 + b2 < c2 (101 < 121)

⇒ Phương trình này vô nghiệm.

Chọn B.

Câu 6:Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. √2 sinx-√2 cosx=2.

B.√19 sin3x- 9cos3x=9.

C. cos(x-π/3)= 3π

D. cos( x-100) + 2sin(x-100) = 1

Hiển thị lời giải

+Các phương trình ở đáp án A, B, D đều có dạng A. Sinax+ B.cosax = C và A2 + B2 ≥ C2 nên các phương trình này đều có nghiệm.

+Phương trình ở đáp án C có dạng cos(x+a)= m với m= 3.π > 1 nên phương trình này vô nghiệm.

Chọn C.

Câu 7:Cho phương trình 2sinx+m.cosx= 3. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm?

A.

B.

C. -√3 ≤ m ≤ √3

D. -√5 ≤ m ≤ √5

Hiển thị lời giải

Phương trình: 2.sinx+m. cosx=3 có nghiệm khi và chỉ khi:

22+ m2 ≥ 32

m2 + 4 ≥ 9 ⇒ m2 ≥ 5

Chọn B.

Câu 8:Cho phương trình: 2m.sinx+ (m+ 1).cosx = 2√2. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm?

A.

B. m ≤ 2;m ≥ 3

C.

D. 2 ≤ m ≤ 3

Hiển thị lời giải

Phương trình: 2m.sinx + (m+1).cosx= 2√2 có nghiệm khi và chỉ khi:

⇒ 4m2+ (m+1)2 ≥ (2√2)2

⇒ 4m2+m2 +2m+1 ≥ 8 ⇒ 5m2 +2m -7 ≥ 0

Chọn C.

Câu 9:Câu 9. Cho phương trình sinx- 3mcosx= 3m. Tìm điều kiện của m để phương trình trên vô nghiệm.

A.

B.

C. – 2 < m < 1

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Phương trình: sinx – 3m.cosx = 3m vô nghiệm khi và chỉ khi:

12 +(-3m)2 < (3m)2

⇒ 1+ 9m2 < 9m2

⇒ 1 < 0 vô lí

⇒ Với mọi m phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Chọn D

Câu 10:Câu 10. Cho phương trình: 2sinx+ (2-m) cosx= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho vô nghiệm

A. m < 2

B. m > 2

C. m > 1

D. 1 < m < 2

Hiển thị lời giải

Để phương trình: 2. sinx+ (2-m)cosx= m vô nghiệm thì:

22 +(2-m)2 < m2

⇒ 4+ 4- 4m+ m2 < m2

⇒ 8 -4m < 0 ⇒ m > 2.

Chọn B .

Câu 11:Cho phương trình: 2m.sin2x – (m2 + 2).cos2 x+ 1= 0. Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là

A. m > 1 hoặc m < -2

B.- 2 ≤ m

C.- 1 ≤ m ≤ 2

D.

Hiển thị lời giải

Ta có: 2m.sin2x - (m2 +2).cos2x + 1= 0

⇒ 4m. sinx - (m2 +2)cos 2x + m2 +2+ 2=0

⇒ 4m. sinx – (m2 +2).cos2x + m2 + 4= 0

Phương trình trên là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Do đó; điều kiện để phương trình có nghiệm là :

16m2 +(m2 +2)2 ≥ (m2 +4)2

⇒ 16m2 + m4 + 4m2 + 4 ≥ m4 + 8m2 + 16

⇒ 12m2 ≥ 12 hay m2 ≥ 1

Câu 12:Tìm m để phương trình: sinx .cosx+ cos2 x=m có nghiệm là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Ta có: sinx. cosx+ cos2 x= m

⇒ sin2x + 1+ cos2x = 2m

⇒ sin 2x+ cos2x= 2m -1

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là :

12 + 12 ≥ (2m-1)2

⇒ 2 ≥ 4m2-4m+1

⇒ 4m2 – 4m- 1 ≤ 0

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube Tôi