Tính chất 1: Cho hàm số y  f  x  ;y  g x  xác định trên Dàm sô y  f  x  ;y  g x  cùng

đồng biến (nghịch biến )trên D, thì hàm y  f  x  g x cũng đồng biến (nghịch biến )trên D.

Tính chất 2: Cho hàm số y  f  x ;y  g x  xác định trên D. Hàm sô y  f  x  ;y  g x  là các

hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến )trên D, thì hàm y  f  x  .g x cũng đồng biến

(nghịch biến )trên D.

Tính chất 3: Cho hàm số u  u x  xác định mọi x   a b ; vàu x     c d ; . Hàm số y  f u  x

xác định x   a b ; khi đó

+ Hàm số u  u x  đồng biến trên khoảng  a b ; . Khi đó hàm y  f u  x đồng biến mọi

x   a b ; khi và chỉ khi y  f  uđồng biến mọiu   a b ; .

+ Hàm số u  u x  nghịch biến trên khoảng  a b ; . Khi đó hàm y  f u  x nghịch biến mọi

x   a b ; khi và chỉ khi y  f  unghịch biến mọiu   a b ; .

Tính chất 4: Cho hàm số y  f u  x với u  u x  . Khi đó ta có y &

039;  u &

039;  x . f &

039;u x  

Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số g  x   f u  x khi biết tính chất của hàm số y  f  x.

Phương pháp :

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số g  x , g   x   u   x  .f u  x.

Bước 2: Tìm nghiệm  

 

 

0

0

0

u x

g x

f u x

  

   

   



. Lập BBT của hàm g  x   f u  x

Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  xliên tục trên có đồ thị như hình vẽ sau

Tìm khoảng đơn điệu hàm số g x   f  5 1  sin x 4 trên khoảng    2 ;2 

Lời giải

Tóm tắt cách giải:

Bước 1: Tìm đạo hàm

5cos

( ). &

039;(5 1 sin 4)

5 1 sin

x

g x f x

x

   



Bước 2: Xét dấug &

039;  x . Ta có    

4 4

&

039; 0 &

039; 0

1 1

x u

f x f u

x u

     

     

   

. Vì vậy ta tìm

nghiệm của phương trìnhf &

039;  u  0 trên   2 ; 2  , rồi lập BBT của y f  u

Lời giải chi tiết :

Ta có :

 

cos 0

5cos

( ). &

039;(5 1 sin 4) ( ) 0 5 1 sin 4 4

5 1 sin

5 1 sin 4 1

cos 0

2

sin 1 0

sin 0 2

2

x

x

g x f x g x x

x

x

x k

x

x L

x x k







 



            

 

   

  

 

 

     

     

 

Do    

3

2 ; 2 &

039; 0 0; ; ; ;

2 2

x g x x

 

   

 

         

 

Ta có bảng biến thiên của hàm g x   f  5 1  sin x 4 

Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm trên và bảnng xét dấu đạo hàm như hình vẽ sau:

Tìm m để hàm số  

3

y  f x  4 x  m nghịch biến trên khoảng   1;1 ?

Lời giải

Tóm tắt cách giải:

Bước 1: Tìm đạo hàm

             

g  x  3 x 2  4 f  x 3  4 x  m ; g  x  0   x 1;1  f  x 3  4 x  m  0   x 1;

Bước 2: Đặt

3

t  x  4 x  m. Tìm khoảng giá trị của t   ; khi x    1;1 bằng phương pháp

lập BBT của hàm  

3

h x  x  4 x  m. Chuyển bài toán tìm điều kiện    

3

f  x  4 x  m  0   x 1;

thành bài toán tìm điều kiện f &

039;   t  0  t  m  5; m  5   m 3

Lời giải chi tiết:

Vẽ parabol 2

####### y   x  x và đồ thị hàm số f   xtrên cùng một hệ trục

####### Dựa vào đồ thị ta thấy   2

0 1 3 1 1 2 1 3 1 1 3 2 3 1 2 3 x t x f t t t t x x t x x                                        .

####### Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm f   x    x  1  ex. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m trong   2021; 2021 để hàm số    

2

g x  f ln x  mx  4 mx 2 nghịch biến trong  e e ; 2021 .

Lời giải Tóm tắt cách giải.

####### Bước 1: Tìm    

1 g x f ln x 2 mx 4 m x

#######     . Dựa vào công thức y  f &

039;  xta tìm công thức của

####### f   lnx, sau đó đưa hàm y  g &

039;  xvề hàm không chứa hàm hàm hợp.

Bước 2: Tìm điều kiện tham số để    

2021 g  x  0  x e e; thep phương pháp cô lập m Lời giải chi tiết.

####### Ta có       ln

1 1 g x f ln x 2 mx 4 m ln x 1 e x 2 mx 4 m ln x 1 2 mx 4 m x x             

Hàm số nghịch biến trong khoảng  e e ; 2021 khi và chỉ khi ln x  1  mx  4 m  0,  x  e e; 2021 

 

2 ln 1 , ; 2021 2 x m x e e x       .

Xét hàm số    2021 

ln 1, ; 2 x g x x e e x    

####### Ta có  

#######  

#######    

 

2021 2 2 1 1 ln 1 1 ln , ; 2 2 x x x x x g x x e e x x x          

   

2021 g  x  0,  x e e,

BBT Quan sát bảng biến thiên ta có 2 1 2 2 2 2 m m m e e        . Vậy có 2020 giá trị nguyên của tham số m.

####### Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  xlà hàm đa thức có đồ thị hàm số y  f   x như hình vẽ.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m , m  Z ,  2021  m 2021 để hàm số

   

2 2 2 8 6 3 g x f x mx x x          

####### đồng biến trên khoảng   3;0

Lời giải Tóm tắt cách giải.

Bước 1: Tìmg   x   2 xf  x 2   4 mx x 2  2 x 3 . Hàm số g  x đồng biến trên khoảng   3;0 suy

####### ra g   x   0,   x  3;0 .

Bước 2: Tìm điều kiện tham số m để

 

 

#######  

2 2 2 2 3 , 3; f x m x x x         . Tìm giá trị lớn nhất  

 

 

2 3;0 2 3 3 max 2 2 3 8 8 f x m  x x          Lời giải chi tiết.

Ta cóg   x  2 xf   x 2   4 mx x 2  2 x 3 .

####### Hàm số g  x đồng biến trên khoảng   3;0 suy ra g   x   0,   x  3;0 .

           

2 xf  x 2  4 mx x 2  2 x  3  0,   x 3;0  f  x 2  2 m  x 2  2 x  3  0,   x 3;

####### A. Hàm số g  x nghịch biến trên    ; 2  B. Hàm số g  x đồng biến trên  2;

####### C. Hàm số g  x nghịch biến trên   1;0  D. Hàm số g  x nghịch biến trên  0; 2

####### Câu 4. Cho hàm số y  f  xliên tục trên có f   2   0. Đồ thị hàm sốy  f &

039;  x như hình vẽ

Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hàm số y  f  1  x 2 nghịch biến trên    ; 2 .

B. Hàm số y  f  1  x 2 đồng biến trên    ; 2 .

C. Hàm số y  f  1  x 2 nghịch biến trên   1;0 .

4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là f   2 . Câu 5. Cho hàm số f  ( ) x có bảng xét dấu như sau:

Hàm số  

2 y  f x  2 x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

####### A.   2;1 . B.  1;3. C.  0;1. D.   2;  1 .

####### Câu 6. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm liên tục trên và đồ thị hàm số y  f &

039;  xnhư hình bên.

Hỏi hàm sốg  x  f  x 3  3 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

####### A.  3; B.

1 ; 2       

####### C.  1;3 D.  0; 2

####### Câu 7. Cho hàm số y  f  xcó đồ thị hàm đạo hàm y  f   x như hình vẽ. Hàm số

g  x  f  3  xnghich biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

####### A.   1;0 . B.   ;2 . C.  0; 2. D.  2;6 .

####### Câu 8. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm liên tục trên. Biết hàm số y  f   x có đồ thị như hình

vẽ. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyênm   5;5 để hàm số g x    f  x  mnghịch biến trên

####### khoảng  1; 2 . Hỏi S có bao nhiêu phần tử?

1. 3. B. C. 5. D. 7.

####### Câu 9. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên là f   x    x  1  x 2 . Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m thuộc đoạn   10;10 để hàm số  

2

####### y  f x  4 x  m nghịch biến trên khoảng  0; 2?

1. 15. B. 17. C. 16. D. 18.

Câu 10. Cho hàm số f  x có đạo hàm f   x    x  1  x  1  x  4 ;  x .Có bao nhiêu sốnguyên m  2021 để hàm số  

2 1 x g x f m x          

đồng biến trên  2;   .

1. 2018. B. 2019. C. 2020. D. 2021

####### Câu 11. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên là f   x   x  1  x 3 . Có bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m thuộc đoạn   10;20 để hàm số y  f  x 2  3 x  mđồng biến trên khoảng  0; 2?

1. 18. B. 17. C. 16. D. 20.

####### Câu 12. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm liên tục trên .và có bảng xét dấu như sau

1. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Câu 18. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục trong khoảng  0;   và có bảng xét dấu đạo hàm Hàm số     2 g x  f  ln x 1    đồng biến trong khoảng nào sau đây?

A.  

1; e 3 . B. 3 1 1 ; e e       . C.  0;1. D. 2 1 1 ; e e       .

Câu 19. Cho hàm số    

f x   x 4  4  m 2 x  2020

####### và  

g x   x 3  5 x 2  2020 x  2021 . Có bao

####### nhiêu giá trị nguyên dương của m để h x    g  f  x đồng biến trên  2; .

1. 13. B. 12. C. 7. D. 6.

####### Câu 20. Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục và f &

039;  x    x  1  ex,có bao nhiêu giá trị nguyên của

####### tham sốm   2021;2021 để hàm số    

2

g x  f ln x  mx  mx 2 nghịch biến trên khoảng  1;e 2 

1. 2020. B. 2021. C. 2022. D. 2019. Câu 21. Cho hàm số y  f x( )liên tục trên R có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

####### Hàm số  

y  3 f 2 x  1  4 x 3  15 x 2  18 x 1 đồng biến trên khoảng nào dưới đây

####### A.  3;. B.

3 1; 2       . C. 5 ; 2       . D. 5 2; 2       .

####### Câu 22. Cho hàm số f  x có bảng xét dấu của f &

039;  x như sau:

Hàm số   3

1 2 3 5 1 3 x x x x y  f  e  e  e  e  đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 3 0; 2      

. B.  1;3 . C.   3;0 . D.   4;  3 .

Câu 23. Cho hàm số y  f x( )có đạo hàm trên và hàm số y  f &

039;( )x có đồ thị như hình vẽ. Hàm

số ( ) 1 ln  2 8 16 

2 x g x f x x           đồng biến trên khoảng nào?

####### A.   1;0 . B.  2;3. C.   1;1 . D.

1 0; 2       . Câu 24. Cho hàm số y  f x ( )liên tục trên R và có dấu đạo hàm f &

039;( )x như sau: Xét hàm số g x ( )  12 f ( x 2 )  2 x 6  15 x 4  24 x 2  2021 . Khẳng định đúng là A. Hàm số g x ( ) đồng biến trên (2; ) C. Hàm sốg x ( ) đạt cực đại tại x  0 B. Hàm sốg x ( ) nghịch biến trên ( 2; 1). D. Hàm sốg x ( ) có 2 điểm cực tiểu

####### Câu 25. Cho hàm số f  x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

####### Hàm số y  f  x  1   x 3  12 x 2019 nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

####### A.  1;   . B.  1; 2 . C.   ;1. D.  3;4 .

####### Câu 26. Cho hàm số f  x có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

####### Hàm sốy  2 f  1  x  x 2  1  xnghịch biến trên những khoảng nào dưới đây

####### A.    ; 2 . B.   ;1. C.   2;0 . D.  3;  2 .

Câu 27. Cho hàm số bậc bốn y  f x( )có đồ thị của hàm số y  f ( )x như hình vẽ bên. Hàm số y  3 f ( )x  x 3  6 x 2  9 xđồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây? A.  0; 2. B.   1;1 . C.  1;  . D.  2;0 .

Hàm số  2  4

9 ( ) 3 1 3 2 g x  f x   x  x đồng biến trên khoảng nào dưới đây. A. 2 3 3 ; 3 3           . B. 2 3 0; 3      

####### . C.  1; 2. D.

3 3 ; 3 3          .

####### Câu 33. Cho hàm số f  x có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

####### Hàm số  

23 2 1 8 5 3 y  f x   x  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.    ; 2 . B.  1; . C.   1;7 . D. 1 1; 2        . Câu 34. Cho hàm số y f x có 2 f &

039;( )x ( x 3)( x 4)( x 2) ( x 1), x .. Hàm số 4 3 52 ( ) ( ) 4 4 4 3 x x y g x f x x x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ;1 B. 1; 2. C. 3;5. D. 3 0;. 2

####### Câu 35. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm  

2 2 1 x f x x     ,  x. Có bao nhiêu số nguyên m

####### thuộc khoảng   20;20 để hàm sốg x    f  x  1   mx 1 đồng biến trên?

1. 20. B. 19. C. 17. D. 18.

####### Câu 36. Cho hàm số f  x xác định và liên tục trên và có đạo hàm f   xthỏa mãn

####### f   x    1  x  x  2  g x  2019 vớig x   0 ,  x. Hàm số y  f  1  x  2019 x 2020

nghịch biến trên khoảng nào?

####### A.  1;  . B.  0;3 . C.   ;3 . D.  3;   .

####### Câu 37. Cho hàm số y  f  xxác định trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Biết f  x  2, x . Xét hàm số     

g x  f 3  2 f x  x 3  3 x 2  2020 . Khẳng định nào sau đây đúng?

####### A. Hàm số g  x đồng biến trên khoảng   2;  1 .

####### B. Hàm số g  x nghịch biến trên khoảng  0;1.

x y O - 3 3 -

####### C. Hàm số g  x đồng biến trên khoảng  3; 4 .

####### D. Hàm số g  x nghịch biến trên khoảng  2;3.

Câu 38. Cho hàm số 4 3 2

y  ax  bx  cx  dx  e a,  0. Hàm số y  f &

039;  x có đồ thị như hình

vẽ

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên thuộc khoảng   6; 6  của tham số m để hàm số

     

2 2

g x  f 3  2 x  m  x  m  3 x  2 m nghịch biến trên  0;1 . Khi đó, tổng giá trị các

phần tử của S là A. 12. B. 9. C. 6. D. 15.

Câu 39. Cho hàm sốy f  x có đạo hàm liên tục trên và có đồ thịy f   x  như hình vẽ bên.

Đặt      

1 2 1 2019 2 g x  f x  m  x  m   , với m là tham số thực. Gọi S là tập hợp các giá trị

nguyên dương của m để hàm sốy g x  đồng biến trên khoảng  5 6; . Tổng tất cả các phần tử

trong S bằng: A. 4. B. 11. C. 14. D. 20.

####### Câu 40. Cho hàm số y  f  xliên tục có đạo hàm trên. Biết hàm số f &

039;  x có đồ thị cho như

hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc   2019;2019 để hàm só

   2019  2

g x  f x  mx đồng biến trên  0;1 A. 2028. B. 2019. C. 2011. D. 2020

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m đề hàm số g x ( )  4 f x(  m)  x 2  2 mx 2021 đồng biến trên khoảng( 1 ; 2 ). A. 2. B. 3. C. 0. D. 1.

####### Câu 46. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm liên tục trên. Hàm số y  f &

039;  xcó đồ thị như hình vẽ.

Số tham số m nguyên thuộc đoạn   20;20 để hàm số g  x nghịch biến trên khoảng   1; 2 biết

       

3 3 2 3 g x  3 f  x  3 x  m  x  3 x  m  2 x  6 x  2 m 6. A. 23. B. 21. C. 5. D. 17.

Câu 47. Cho hàm sốy f  x liên tục trên R và có             

3 4 5 f x x. x 1. x 1. x 4.

Giá trị của tham số m để hàm số       

2   2  1 1 1 y g x f x x mx m luôn đồng biến trên

 3; 0 .A    2;  1 . B     ; 2 . C    1;0. D  0;

Câu 48. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên. Bảng biến thiên của hàm số như sau: Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.. B.. C.. D.. y f x ( ) R f &

039;( )x g x f 1 x 2 x 3 x 3 x 25 1 0; 3      

#######  ;0 

2 0; 3       2 ; 3      

Câu 49. Cho hàm số f  x có đạo hàm trên và f   1  1. Đồ thị hàm số y  f   x như hình bên.

####### Có bao nhiêu số nguyên dương a để hàm số y  4 f  sin x  cos 2x  a nghịch biến trên 0; 2

      ? A. 2. B. 3. C. Vô số. D. 5.

####### Câu 50. Cho hàm số y  f  xxác định và liên tục trên ,có đồ thị f &

039; x như hình vẽ.

####### Có bao nhiêu giá trị nguyên củam   10;10 để hàm số

#######  

3 1 (2 1)( 4 2 2 2019) 2 x g x f m x x            đồng biến trên khoảng  0;  ? A. 8. B. 9. C. 11. D. 10. Câu 51. Cho hàm số f  x có bảng biến thiên như sau:

Hàm số      

3 2 y  f x  3. f x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A.  1; 2 . B.  3 ; 4. C.   ; 1. D.  2 ; 3.

Hàm số 3 ( ) ( 7) (5 1) 4 2 k x f x g x h x             đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. 5 ; 8        . B. 5 ; 8       . C. 3 ; 8       . D. 3 ; 8        .

####### Câu 56. Cho hàm số y  f  xcó đạo hàm f &

039;  x  4 x 3  2 xvà f  0   1àm số

   

g x  f 3 x 2  2 x 3 đồng biến trên khoảng nào dưới đây

####### A.   1; 2 . B.   1;0 . C.  1; . D.    ; 1 .

####### Câu 57. Cho hàm bậc ba y  f  xcó đồ thị như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số

#######  

2 y   xf x 1  là

####### A.   1; 2 . B.  3; . C.  1; . D.    ; 1 .

####### Câu 58. Cho hàm số y  f  xcó bảng biến thiên như sau

####### Hàm số    

2 g x   f 3 x nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

####### A.   2;5 . B.  1; 2 . C.  2;5. D.  5;   .

####### Câu 59. Cho hàm số y  f  xliên tục trên và thoả mãn f   2   10 , f  4   1000. Biết

####### y  f  xcó đồ thị như hình vẽ dưới đây.

####### Hàm số y  g x    f 2  x   2020 f  xđồng biến trên những khoảng nào dưới đây?

####### A.   2;1 và  4;  . B.  1; 2  và  4;  .

####### C.    ; 2 và  4; . D.    ; 2 và  1;3 .

####### Câu 60. Cho hàm số f  x xác định và có đạo hàm trên. Hàm số f   xcó bảng biến thiên như

sau:

Hàm số          

1 5 4 3 4 2021 5 3 g x  f x  f x  f x  luôn nghịch biến trên khoảng nào sau đây?

####### A.   ;5 . B.   ;1 . C.  1; . D.    ; .

####### Câu 61. Cho hàm số y  f  xlà một đa thức bậc 6 có đồ thị của f   x như hình vẽ. Hỏi hàm số