Ảnh đẹp,18,Bài giảng điện tử,10,Bạn đọc viết,225,Bất đẳng thức,75,Bđt Nesbitt,3,Bổ đề cơ bản,9,Bồi dưỡng học sinh giỏi,41,Cabri 3D,2,Các nhà Toán học,129,Câu đố Toán học,83,Câu đối,3,Cấu trúc đề thi,15,Chỉ số thông minh,4,Chuyên đề Toán,289,congthuctoan,9,Công thức Thể tích,11,Công thức Toán,112,Cười nghiêng ngả,31,Danh bạ website,1,Dạy con,8,Dạy học Toán,279,Dạy học trực tuyến,20,Dựng hình,5,Đánh giá năng lực,1,Đạo hàm,17,Đề cương ôn tập,39,Đề kiểm tra 1 tiết,29,Đề thi - đáp án,985,Đề thi Cao đẳng,15,Đề thi Cao học,7,Đề thi Đại học,159,Đề thi giữa kì,20,Đề thi học kì,134,Đề thi học sinh giỏi,127,Đề thi THỬ Đại học,400,Đề thi thử môn Toán,65,Đề thi Tốt nghiệp,45,Đề tuyển sinh lớp 10,100,Điểm sàn Đại học,5,Điểm thi - điểm chuẩn,221,Đọc báo giúp bạn,13,Epsilon,9,File word Toán,35,Giải bài tập SGK,16,Giải chi tiết,196,Giải Nobel,1,Giải thưởng FIELDS,24,Giải thưởng Lê Văn Thiêm,4,Giải thưởng Toán học,5,Giải tích,29,Giải trí Toán học,170,Giáo án điện tử,11,Giáo án Hóa học,2,Giáo án Toán,18,Giáo án Vật Lý,3,Giáo dục,363,Giáo trình - Sách,81,Giới hạn,20,GS Hoàng Tụy,8,GSP,6,Gương sáng,207,Hằng số Toán học,19,Hình gây ảo giác,9,Hình học không gian,108,Hình học phẳng,91,Học bổng - du học,12,IMO,13,Khái niệm Toán học,66,Khảo sát hàm số,36,Kí hiệu Toán học,13,LaTex,12,Lịch sử Toán học,81,Linh tinh,7,Logic,11,Luận văn,1,Luyện thi Đại học,231,Lượng giác,57,Lương giáo viên,3,Ma trận đề thi,7,MathType,7,McMix,2,McMix bản quyền,3,McMix Pro,3,McMix-Pro,3,Microsoft phỏng vấn,11,MTBT Casio,28,Mũ và Logarit,38,MYTS,8,Nghịch lí Toán học,11,Ngô Bảo Châu,49,Nhiều cách giải,36,Những câu chuyện về Toán,15,OLP-VTV,33,Olympiad,306,Ôn thi vào lớp 10,3,Perelman,8,Ph.D.Dong books,7,Phần mềm Toán,26,Phân phối chương trình,8,Phụ cấp thâm niên,3,Phương trình hàm,4,Sách giáo viên,15,Sách Giấy,11,Sai lầm ở đâu?,13,Sáng kiến kinh nghiệm,8,SGK Mới,24,Số học,57,Số phức,34,Sổ tay Toán học,4,Tạp chí Toán học,38,TestPro Font,1,Thiên tài,95,Thống kê,2,Thơ - nhạc,9,Thủ thuật BLOG,14,Thuật toán,3,Thư,2,Tích phân,79,Tính chất cơ bản,15,Toán 10,149,Toán 11,179,Toán 12,391,Toán 9,67,Toán Cao cấp,26,Toán học Tuổi trẻ,26,Toán học - thực tiễn,100,Toán học Việt Nam,29,Toán THCS,22,Toán Tiểu học,5,toanthcs,6,Tổ hợp,39,Trắc nghiệm Toán,222,TSTHO,5,TTT12O,1,Tuyển dụng,11,Tuyển sinh,272,Tuyển sinh lớp 6,8,Tỷ lệ chọi Đại học,6,Vật Lý,24,Vẻ đẹp Toán học,109,Vũ Hà Văn,2,Xác suất,28, Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm M N P Q , , ,. Tìm tọa độ các vectơ OM ON OP OQ , , , . Lời giải Từ hình trên ta có: M ( 4; 3), (3; 0), (5; 2), (0; 3) N P Q . Do đó: OM ( 4;3), ON (3; 0) OP (5; 2), OQ (0; 3) Câu 2. Tìm tọa độ của các vectơ trong Hình và biểu diến mỗi vectơ đó qua hai vectơ i và j Lời giải
a OA và A ( 5; 3) ; tọa độ vectơ OA chính là tọa độ điểm A nên a ( 3; 3) a 3 i j 3
b OB và B (3; 4) ; tọa độ vectơ OB chính là tọa độ điểm A nên ( b ;4) b i j 3 4 Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ Lời giải Trong Hình 3, ta có:
OA a , ta có: A ( 5; 3) nên ( 5; 3) a.
OB b , ta có: B (3; 4) nên (3; 4) b.
OC c , ta có: C ( 1; 3) nên ( 1; 3) c.
OD d , ta có: D (2; 5) nên (2; 5) d . Câu 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A (1; 2) và vectơ u (3; 4) .
qua vectơ i và j .
qua vectơ i và j . Lời giải
. Do đó: OA i 1 2 j i 2. j
nên u 3 i ( 4) j 3 i 4 j . Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm M N P , , được biểu diễn như Hình 5.
OM ON OP qua hai vectơ i và j.
PM PN PO NM. Lời giải
OM i j ON i j OP i j.
ø ùø ùø ùø ù; (1 3; 3 0) ( 2; 3) ; ( 2 3; 1 0 ) ( 5; 1) ; ( 0 3; 0 0) ( 3; 0) ; (1 ( 2 ); 3 ( 1)) (3; 4 ) M P M p N P N P O P O P M N M N PM x x y y PN x x y y PO x x y y NM x x y y Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy , cho ba điểm A B C , , được biểu diễn như Hình. Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 5
qua hai vectơ i và j .
và các điểm A B C , ,. Lời giải
.
. Do đó A (1;3), (3; 0), ( 2; 1) B C . Câu 9. Tìm tọa độ các vectơ sau:
a i j
b i j
c i
d j Lời giải
a ;
b
c ;
d Câu 10. Cho M (1; 2), ( 3; 4), (5; 0) N P. Tìm toạ độ của các vectơ MN PM NP , , . Lời giải ø ùø ùø ù ; ( 3 1; 4 2) ( 4; 2) ; (1 5; 2 0) ( 4; 2) ; (5 3; 0 4) (8; 4) N M N M M P M P P N P N MN x x y y PM x x y y NP x x y y Câu 11. Tìm toạ độ của các vectơ sau:
a i
b j ;
c i j d) 1 5 2 d i j. Lời giải
a ;
b
c ; d) 1 5; 2 d. Câu 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho (1; 2), ( 2; 3) u v . Tìm toạ độ của các vectơ , , 2 u v u v u và 3 4 u v. Lời giải Ta có: ( 1; 5), (3;1), 2 ( 2; 4) u v u v u. Với 3 (3; 6), 4 ( 8; 12) u v ta có: 3 4 (11; 6) u v. Câu 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ( 1; 2), (3;1), (2; 3) a b c .
u a b c.
x sao cho 2 x b a c. Lời giải
a nên 2 (1; 5) a b. Mà 3 (6; 9) c. Suy ra 2 3 ( 5;14) u a b c. Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 7
u sao cho 2 3 u a b c
x sao cho 2 x b a c Lời giải Có: ( 1; 2); (3;1); (2; 3) a b c
u a b c hay ( 5;14) u
x a c b hay ( 5; 3) x. BÀI TẬP BỔ SUNG Câu 20. Viết tọa độ của các vectơ sau: a) 1 2 3 5 3 2 3 a i j; b i j; c i; d j. b) 1 3 3 4 3 2 2 a i j; b i j; c i j; d j; e i Lời giải a) ####### ø ù ø ù ø ù 1 2; 3 ; ; 5 ; 3; 0 ; 0; 2 3 a b c d b) ####### ø ù ø ù ø ù 1 3 1; 3 ; ;1 ; 1; ; 0; 4 ; 3; 0 2 3 a b c d e Câu 21. Viết dưới dạng u xi y j khi biết tọa độ của vectơ u là: a) ####### ø ù ø ù ø ù ø ù u 2 ; 3 ; u 1 4 ; ; u 2 0 ; ; u 0 ; 1_._ b) ####### ø ù ø ù ø ù ø ù u 1 3 ; ; u 4 ; 1 ; u 1 0 ; ; u 0 0 ;. Lời giải
####### ø ù ø ù ø ù ø ù u 2; 3 u i j u 2 3 ; 1; 4 u i j u 4 ; 2;0 u i j u 2 0 ; 0; 1 u i j 0
####### ø ù ø ù ø ù ø ù u 1;3 u i j u 3 ; 4; 1 u i j u 4 ; 1;0 u i j u 0 ; 0;0 u i j 0 0 . Câu 22. Cho ####### ø ù ø ù a 1 ; 2 ; b 0 3 ; tìm tọa độ của các vectơ sau:
b) 1 3 2 2 4 2 u a b ; v b ; w a b. Lời giải a) ####### ø ù ø ù ø ù ø ù x a b 1 0; 2 3 1;1 , y a b 1 0; 2 3 1; 5 , ø ø ù ù ø ùz 2 a b 3 3 3; 2. 2 3 2; 13. b) ####### ø ù ø ù 1 11 3 2 3; 12 , 2 2; 1 , w 4 4 3; 2 2 u a b u a b a b Câu 23. Cho ####### ø ù ø ù 1 2 0 1 4 6 2 a ; ; b ; ; c ;.
theo a,b. Lời giải Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ a) ø ù ø ù1 63 2 3 5 2 3. 1 5; 2 3. 5. 6 27; 2 2 d a b c
ø ù1 2 1 4 0 1 3 0 .2 4 6 0 1 2 6 0 1 2 12 m n m ma b nc m i i j n i j n n ý ý þ þ
c xa yb x y R ø ; ù ta có: ø ù4 .2 1 8 1 12 6.. 2 x y x y x y ý ý þ þ Vậy c a 8 12 b Dạng 2. Tìm điều kiện để hai vectơ bằng nhau, ba điểm thẳng hàng Phương pháp: Với ø ù ø ù1 1 2 2 ; ; ; a x y b x y , ta có 1 2 1 2 ý þ x x a b y y . A B C , , thẳng hàng Tồn tại k sao cho AB k AC. BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu 24. Cho ba điểm A ( 1; 3), (2; 3) B và C (3; 5). Chứng minh ba điểm A B C , , thẳng hàng. Lời giải Ta có: AB (3; 6), BC (1; 2) . Suy ra AB BC 3 . Vậy ba điểm A B C , , thẳng hàng. Câu 25. Cho tam giác ABC có A ( 2;1), (2; 5), (5; 2) B C. Tìm toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB và trọng tâm G của tam giác ABC. Lời giải Do ø ù; M M M x y là trung điểm đoạn thẳng AB nên 2 2 1 5 0; 3. 2 2 M M x y Vậy M (0; 3). Do ø ; ùG G G x y là trọng tâm tam giác ABC nên ( 2) 2 5 1 5 2 ; 3 3 G G x y . Vậy 5 8 ; 3 3 G . Câu 26. Tìm các số thực a và b sao cho mối cặp vectơ sau bằng nhau:
u a và (3; 4 1) v b
x a b a b và (2 3; 4 ) y a b. Lời giải
u a v b 2 1 3 2 3 4 1 1 a a b b ý ý þ þ Vậy a 2 và b 1 thì (2 1; 3) (3; 4 1) u a v b
x a b a b y a b 2 3 2 3 4 3 2 2 3 ( 3) 4 ( 3) 1 a b a a b b b a b a a a a ý þ ý ý þ þ Vậy a 1 và b 2 thì ( ; 2 3 ) (2 3; 4 ) x a b a b y a b. Câu 27. Chứng minh rằng:
a và ( 2; 3) b là hai vectơ ngược hướng. Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/
x a b b và (3 2 ; 3 ) y b b a. Lời giải
b) 7 , 2 3 a b. c) 3 9 , 5 5 a b. BÀI TẬP BỔ SUNG Câu 32. Cho ba điểm A ø ù1;1, B ø ù1; 3 , C ø ù2; 0.
Lời giải:
ø ùø ù 2; 2 3; 3 AB BC ý þ 3 . 2 BC AB nên 3 điểm A B , và C thẳng hàng.
ø ùø ù 2; 2 1; 1 AB AC ý þ AB 2. AC A chia đoạn BC theo tỉ số k 2. ø ùø ù 2; 2 3; 3 BA AC ý þ 2 . 3 BA BC B chia đoạn AC theo tỉ số 2 3 k . ø ùø ù 1; 3; 3 CA CB ý þ 1 . 3 CA CB C chia đoạn AB theo tỉ số 1 3 k . Dạng 3. Tìm toạ độ của một điểm M thoả mãn điều kiện cho trước Phương pháp Ta thường tìm những hệ thức về vectơ liên hệ giữa M với các điểm đã biết. Từ đó lập hệ phương trình mà hai ẩn là tọa độ của M. Giải hệ phương trình ta tìm được tọa độ của M. -Cho hai điểm ø ù ; A A A x y và ø ù ; B B B x y . Nếu ø ù ; M M M x y là trung điểm đoạn thẳng AB thì ;. 2 2 A B A B M M x x y y x y -Cho tam giác ABC có ø ù ø ù ø ù ; , ; , ; A A B B C C A x y B x y C x y . Nếu ø ù ; G G G x y là trọng tâm tam giác ABC thì ;. 3 3 A B C A B C G G x x x y y y x y BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu 33. Cho bốn điểm A (3; 5), (4; 0), (0; 3), (2; 2) B C D. Trong các điểm đã cho, hãy tìm điểm:
Lời giải
Câu 34. Cho điểm ø ù 0 0 M x y ;. Tìm tọa độ:
Ox ; Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 11
Lời giải
0 H x ; 0
MM ' ' 0 0 ' 0 ' ' 0 ' 0 2 2 2 2. M H M M M M H M M M x x x x x x x x y y y y y y y ý ý ý þ þ þ Vậy ø ù 0 0 M x y ' ;.
0 K y 0;
qua trục Oy K là trung điểm của MM " " " 0 " 0 " " 0 0 " 0 2 2. 2 2. M K M M M M K M M M x x x x x x x y y y y y y y y ý ý ý þ þ þ Vậy M" ø ù 0 0 x y ;.
0 0 0 0 2 2. 2 2. C O M C C C O M C C x x x x x x x y y y y y y y ý ý ý þ þ þ Vậy ø ù 0 0 C x y ;. Câu 35. Cho tam giác DEF có toạ độ các đỉnh là D (2; 2), (6; 2) E và F (2; 6).
Lời giải
6 2 2 6 4, 4 2 2 2 2 E F E F M M x x y y x y. Vậy toạ độ trung điểm M của cạnh EF là M (4; 4).
2 6 2 10 2 2 6 10 , 3 3 3 3 3 3 D E F D E F G G x x x y y y x y. Vậy toạ độ trọng tâm G của tam giác DEF là 10 10 ; 3 3 G. Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 13
Lời giải
AB DC x y Để ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC 5 1 4 5 3 2 x x y y ý ý þ þ Vậy D (4; 2)
2 5 7 2 2 2 2 5 7 2 2 2 A C M M M A C M M M x x x x x y y y y y ý ý ý þ þ þ Vậy 7 7 ; 2 2 M
AC BC Suy ra: 2 2 | | 1 3 10 AB AB 2 2 2 2 | | 3 3 3 2 | | 2 0 2 13 3 2 5 ˆ cos cos( , ) 2634 5 10 3 2 ( 1) 2 ( 3) 0 10 ˆ cos cos( , ) 10826 10 10 2 AC AC BC BC AB AC A AB AC A AB AC BA BC B BA BC B BA BC ( 3)( 2 ) ( 3) 0 2 ˆ cos cos( , ) 45 2 3 2 2 CA CB C CA CB C CA CB Câu 42. Cho tam giác ABC có các điểm M (2; 2), (3; 4), (5; 3) N P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC , và CA.
Lời giải a. ####### ø ù (3;1) 3 ; 4 B B MP BN x y Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ Có M là trung điểm cạnh AB P , là trung điểm cạnh AC nên MP là đường trung bình của tam giác ABC 1 // ; (hbh) 2 3 3 0 ( 0; 3) 1 4 3 B B B B MP BC MP BC BN MPNB MP BN x x B y y ý ý þ þ Ta có: N là trung điểm của BC nên 2 2 0 2 2 3 ý ý þ þ C N B C C N B C x x x x y y y y 6 (6; 5) 5 C C x C y ý þ Ta có: M là trung điểm của AB nên 2 2 0 2 2 3 ý ý þ þ A M B A A M B A x x x x y y y y 4 ( 4; 1) 1 A A x A y ý þ Vậy A (4;1), (0; 3), (6; 5) B C
4 0 6 10 10 3 3 ; 3 3 3 1 3 5 3 3 3 A B C G G G A B C G G G x x x x x x G y y y y y y ý ý ý þ þ þ Gọi G' là trọng tâm tam giác MNP, ta có: 2 3 5 10 10 3 3 3 ; 3 2 4 3 3 3 3 3 M N P G G G M N P G G G x x x x x x G y y y y y y ý ý ý þ þ þ Từ (1) và (2) G G Vậy trọng tâm tam giác ABC trùng với trọng tâm tam giác MNP.
AB AC BC Suy ra: 2 2 | | ( 4) 2 2 5 AB AB 2 2 2 2 | | 2 4 2 5 | | 6 2 2 10 ( 4 ) 2 2. ˆ cos cos( , ) 0 90 2 52 5 AC AC BC BC AB AC A AB AC A AB AC Xét tam giác ABC có AB AC ( 2 5) và ˆ 90 A Tam giác ABC vuông cân tại ˆ ˆ 45 A B C Câu 43. Cho hai điểm A (1; 3), (4; 2) B .
Lời giải Blog: Nguyễn Bảo Vương: nbv.edu/ Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương facebook/tracnghiemtoanthpt489/ Câu 45. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A (2; 3), ( 1;1), (3; 1) B C .
AM BC.
BN NM. Lời giải
AM x y BC. 2 4 6 3 2 1. ý ý þ þ x x AM BC y y Vậy M (6;1) .
AN x y NC x y. Vì N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên ta có: Ta có: 7 7 ; 0 , ; 0 2 2 BN NM. Suy ra BN NM. Câu 46. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC. Các điểm M (1; 2) , N (4; 1) và P (6; 2) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC CA AB , , . Tìm toạ độ của các điểm A B C , , . Lời giải Vì M N P , , lần lượt là trung điểm của BC CA AB , , nên tứ giác ANMP là hình bình hành, suy ra AN PM. Giả sử ø ù ; A A A x y. Ta có: ø ù 4 ; 1 ; ( 5; 4) A A AN x y PM. Suy ra: 4 5 9 1 4 3. ý ý þ þ A A A A x x y y Vậy A (9; 3). Tương tự, từ , BP MN CM NP , ta tính được B (3;1), ( 1; 5) C . Câu 47. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho ba điểm A (1; 2), (3; 2), (7; 4) B C .
. So sánh các khoảng cách từ B tới A và C.
Lời giải
. Các khoảng cách từ B tới A và C lần lượt là: 2 2 2 2 AB AB | | 2 4 2 5; BC BC | | 4 2 2 5. Do đó các khoảng cách này bằng nhau.
không củng phương (vì 2 4 4 2 ). Do đó các điểm A B C , , không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
AD BC . Do AD x ( 1; y 2), BC (4; 2) nên 1 4 5 2 2 0. x x AD BC y y ý ý þ þ Vậy điểm cần tìm là D (5; 0). Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các vectơ a 3 i 2 j b , (4; 1) và các điểm M ( 3; 6), (3; 3) N .
và 2 a b .
Lời giải Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 17
và a 3 i 2 j a (3; 2) 2 a b (2 4; 2.( 2) ( 1)) (2; 3) Lại có: M ( 3; 6), (3; 3) N MN (3 ( 3); 3 6) (6; 9) Dễ thấy: (6; 9) 3.(2; 3) MN 3(2 a b )
( do M ( 3; 6)) và ON (3; 3) (do N (3; 3)). Hai vectơ này không cùng phương (vì 3 6 3 3 ). Do đó các điểm O M N , , không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
. Do OM ( 3; 6), PN (3 x ; 3 y ) nên 3 3 6 6 3 9 x x OM PN y y ý ý þ þ Vậy điểm cần tìm là P (6; 9). Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A (1; 3), (2; 4), ( 3; 2) B C .
để O (0; 0) là trọng tâm của tam giác ABD . Lời giải a) Ta có: AB (2 1; 4 3) (1;1), AC ( 3 1; 2 3) ( 4; 1) Hai vectơ này không cùng phương (vì 1 1 4 1 ). Do đó các điểm A B C , , không cùng nằm trên một đường thẳng. Vậy chúng không thẳng hàng.
1 2 3 4 3 7 ; ; 2 2 2 2
G của tam giác ABC có tọa độ là 1 2 ( 3) 3 4 2 ; (0; 3) 3 3
(0; 0) ; 3 3 A B D A B D x x x y y y 1 2 3 4 (0; 0) ; 3 3 x y (0; 0) (1 2 x ; 3 4 y ) (0; 0) ( x 3; y 7) Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Facebook Nguyễn Vương facebook/phong.baovuongTrang 19 Nhận xét Một cách khái quát, với hai điểm ø ù ø ù 1 2 1 2 A a a B b b ; , ; thì điểm P thoả mãn ( 1) PA k PB k có toạ độ 1 1 2 2 ; 1 1 a kb a kb k k . Câu 53. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A (2; 1), (1; 4) B và C ( 2; 3) .
Lời giải
AB AC. Do 1 5 4 4 nên các vectơ AB và AC không cùng phương. Suy ra A B C , , là ba đỉnh của một tam giác.
2 1 ( 2) 1 3 3 ( 1) 4 3 2 3 ý þ x y Suy ra 1 ; 2 3 G. Câu 54. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A B , thoả mãn 2 3 OA i j , 3 2 OB i j .
Lời giải
OA và (3; 2) OB. Vì 2 3 3 2 nên hai vectơ OA và OB không cùng phương, hay O A B , , không thẳng hàng.
AB. Giả sử tìm được điểm C sao cho tứ giác ABCO là hình bình hành. Khi đó do OC AB nên (1; 5) OC. Suy ra C (1; 5).
2 2 DA (2 d ) 9, DB (3 d ) 4. Suy ra 2 2 2 2 DA DB DA DB (2 d ) 9 (3 d ) 4 d 0. Vậy điểm D cần tìm trùng với gốc toạ độ O (0; 0). Câu 55. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A (1; 2) và B (3; 4). Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục tung sao cho vectơ CA CB có độ dài ngắn nhất. Lời giải Xét điểm C c Oy (0; ). Khi đó (1; 2 ) CA c và (3; 4 ) CB c. Do đó (4; 2 2 ) CA CB c , suy ra 2 | | 16 4(1 ) CA CB c. Do 2 (1 c ) 0 c , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c 1 , nên | | 4 CA CB , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c 1. Vậy với điểm C (0; 1) Oy thì vectơ CA CB có độ dài ngắn nhất. Nhận xét
CA CB CI , với I là trung điểm AB. Suy ra vectơ CA CB có độ dài ngắn nhất khi và chỉ khi vectơ CI có độ dài ngắn nhất. Từ đó, do C thuộc trục tung, nên C là hình chiếu vuông góc của I trên trục tung.
CA CB có độ dài ngắn nhất, với ñ ò, là hai hằng số cho trước. Câu 56. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm M (4; 0), (5; 2) N và P (2; 3). Tìm toạ độ các đỉnh của |