70 câu trắc nghiệm đạo hàm của hàm số lượng giác theo dạng giải chi tiết được soạn dưới dạng file word và PDF gồm 6 trang. Các bạn xem và tải về ở dưới.
• ${(sinx)’} = cosx\; \Rightarrow {(sinu)’} = u’.cosu$ • ${(cosx)’} = – sinx\; \Rightarrow {(cosu)’} = – u’ \cdot sinu$ • ${(tanx)’} = \frac{1}{{co{s^2}x}}\; \Rightarrow {(tanu)’} = \frac{{u’}}{{co{s^2}u}}$ • ${(cotx)’} = – \frac{1}{{si{n^2}x}}\; \Rightarrow {(cotu)’} = – \frac{{u’}}{{si{n^2}u}}$. II. TRẮC NGHIỆM DẠNG 1: ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TẠI MỘT ĐIỂM Câu 1. Hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{2}{{cos\left( {\pi x} \right)}}$ có $f’\left( 3 \right)$ bằng:
Lời giải Chọn D. $f’\left( x \right) = \frac{2}{{cos\left( {\pi x} \right)}} = 2 \cdot {(cos\left( {\pi x} \right))’} \cdot \frac{{ – 1}}{{co{s^2}\left( {\pi x} \right)}} = 2 \cdot \pi \frac{{sin\left( {\pi x} \right)}}{{co{s^2}\left( {\pi x} \right)}}$. $f’\left( 3 \right) = 2\pi \cdot \frac{{sin3\pi }}{{co{s^2}3\pi }} = 0$. Câu 2. Cho hàm số $f\left( x \right) = tan\left( {x – \frac{{2\pi }}{3}} \right)$. Giá trị $f’\left( 0 \right)$ bằng
Lời giải Chọn B. $f’\left( x \right) = \frac{1}{{co{s^2}\left( {x – \frac{{2\pi }}{3}} \right)}} \Rightarrow f’\left( 0 \right) = \frac{1}{{\frac{1}{4}}} = 4.$ Câu 3. Cho hàm số $y = cos3x \cdot sin2x$. Tính $y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$ bằng:
Lời giải Chọn B. $y’ = {(cos3x)’}sin2x + cos3x{(sin2x)’} = – 3sin3x \cdot sin2x + 2cos3x \cdot cos2x$. $y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = – 3sin3\frac{\pi }{3} \cdot sin2\frac{\pi }{3} + 2cos3\frac{\pi }{3} \cdot cos2\frac{\pi }{3} = 1$. Câu 4. Cho hàm số $y = \frac{{cos2x}}{{1 – sinx}}$. Tính $y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right)$ bằng:
Lời giải Chọn D. $y’ = \frac{{{{(cos2x)}’} \cdot \left( {1 – sinx} \right) – cos2x{{(1 – sinx)}’}}}{{{{(1 – sinx)}^2}}} = \frac{{ – 2sin2x\left( {1 – sinx} \right) + cos2x \cdot cosx}}{{{{(1 – sinx)}^2}}}$. $y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ – 2 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 – \frac{1}{2}} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{{{\left( {1 – \frac{1}{2}} \right)}^2}}}$ $ = \frac{{ – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}}}{{\frac{1}{4}}} = 4\left( { – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{4}} \right) = – 2\sqrt 3 + \sqrt 3 = – \sqrt 3 $. Câu 5. Cho hàm số $y = \frac{{\sqrt 2 }}{{cos3x}}$. Khi đó $y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$ là:
Lời giải Chọn D. Ta có: $y’ = – \sqrt 2 \cdot \frac{{{{(cos3x)}’}}}{{co{s^2}3x}} = \frac{{3\sqrt 2 \cdot sin3x}}{{co{s^2}3x}}$. Do đó $y’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 2 \cdot sin\pi }}{{co{s^2}\pi }} = 0$ Câu 6. Xét hàm số $y = f\left( x \right) = 2sin\left( {\frac{{5\pi }}{6} + x} \right)$. Tính giá trị $f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right)$ bằng:
Lời giải Chọn D. $f’\left( x \right) = 2cos\left( {\frac{{5\pi }}{6} + x} \right)$. $f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = – 2$. Câu 7. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{1}{{\sqrt {sinx} }}$. Giá trị $f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ là:
Lời giải Chọn C. $y’ = {\left( {\frac{1}{{\sqrt {sinx} }}} \right)’} = – \frac{{{{(sinx)}’}}}{{{{(\sqrt {sinx} )}^2}}} = – \frac{{cosx}}{{sinx}} = – tanx$ $ \Rightarrow f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = tan\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$ Câu 8. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = – \frac{{cosx}}{{3si{n^3}x}} + \frac{4}{3}cotx$. Giá trị đúng của $f’\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$ bằng:
Lời giải Chọn B. $y’ = f’\left( x \right) = {\left( { – \frac{{cosx}}{{3si{n^3}x}} + \frac{4}{3}cotx} \right)’}$ $ = {\left( { – cotx \cdot \frac{1}{{si{n^2}x}} + \frac{4}{3}cotx} \right)’} = {\left( { – cotx \cdot \left( {1 + co{t^2}x} \right) + \frac{4}{3}cotx} \right)’}$$ = {\left( {co{t^3}x + \frac{1}{3}cotx} \right)’} = 3co{t^2}x \cdot {(cotx)’} – \frac{1}{{si{n^2}x}} = – \frac{{co{t^2}x}}{{si{n^2}x}} – \frac{1}{{si{n^2}x}}$. Suy ra $f’\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = – \frac{{co{t^2}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}}{{si{n^2}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}} – \frac{1}{{si{n^2}\left( {\frac{\pi }{3}} \right)}} = – \frac{9}{8}$ Câu 9. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{co{s^2}x}}{{1 + si{n^2}x}}$. Biểu thức $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) – 3f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ bằng
Lời giải Chọn C. $f’\left( x \right) = \frac{{ – 2cosxsinx\left( {1 + si{n^2}x} \right) – 2cosxsinxco{s^2}x}}{{{{\left( {1 + si{n^2}x} \right)}^2}}}$ $ = \frac{{ – 2cosxsinx\left( {1 + si{n^2}x + co{s^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + si{n^2}x} \right)}^2}}} = \frac{{ – 4cosxsinx}}{{{{\left( {1 + si{n^2}x} \right)}^2}}} \Rightarrow f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{ – 8}}{9}$ $f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) – 3f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = 3$. Câu 10. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = si{n^3}5x \cdot co{s^2}\frac{x}{3}$. Giá trị đúng của $f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ bằng
Lời giải Chọn A. $f’\left( x \right) = 3 \cdot 5 \cdot cos5x \cdot si{n^2}5x \cdot co{s^2}\frac{x}{3} – si{n^3}5x \cdot \frac{2}{3} \cdot sin\frac{x}{3} \cdot cos\frac{x}{3}$ $f’\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 – 1 \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{{2 \cdot 3}} = – \frac{{\sqrt 3 }}{6}$. Câu 11. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = sin\left( {\pi sinx} \right)$. Giá trị $f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right)$ bằng:
Lời giải Chọn D. Ta có: $y’ = {(\pi \cdot sinx)’} \cdot cos\left( {\pi \cdot sinx} \right) = \pi \cdot cosx \cdot cos\left( {\pi \cdot sinx} \right)$ $ \Rightarrow y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \pi \cdot cos\frac{\pi }{6} \cdot cos\left( {\pi \cdot sin\frac{\pi }{6}} \right) = \pi \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot cos\left( {\pi \cdot \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 3 \cdot \pi }}{2} \cdot cos\frac{\pi }{2} = 0$ Câu 12. Cho $f\left( x \right) = si{n^3}ax,a > 0$. Tính $f’\left( \pi \right)$.
Lời giải Chọn B $f\left( x \right) = si{n^3}ax \Rightarrow f’\left( x \right) = 3asi{n^2}axcosax \Rightarrow f’\left( \pi \right) = 3asi{n^2}a\pi \cdot cosa\pi = 0$. Câu 13. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = sin\sqrt x + cos\sqrt x $. Giá trị $f’\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}}} \right)$ bằng
Lời giải Chọn B. Ta có: $f’\left( x \right) = \frac{1}{{2\sqrt x }}cos\sqrt x – \frac{1}{{2\sqrt x }}sin\sqrt x \Rightarrow f’\left( {\frac{{{\pi ^2}}}{{16}}} \right) = 0$ Câu 14. Hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{2}{{cot\left( {\pi x} \right)}}$ có $f’\left( 3 \right)$ bằng
Lời giải Chọn C. Ta có: $f’\left( x \right) = – \frac{{2{{[cot\left( {\pi x} \right)]}’}}}{{co{t^2}\left( {\pi x} \right)}} = 2\pi \frac{{1 + co{t^2}\left( {\pi x} \right)}}{{co{t^2}\left( {\pi x} \right)}} \Rightarrow f’\left( 3 \right) = 2\pi $. Câu 15. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \sqrt {tanx + cotx} $. Giá trị $f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ bằng
Lời giải Chọn B. Ta có: $f’\left( x \right) = \frac{{{{(tanx + cotx)}’}}}{{2\sqrt {tanx + cotx} }} = \frac{{\frac{1}{{co{s^2}x}} – \frac{1}{{si{n^2}x}}}}{{2\sqrt {tanx + cotx} }} \Rightarrow f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 0$. Câu 16. Cho $f\left( x \right) = co{s^2}x – si{n^2}x$. Giá trị $f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ bằng:
Lời giải Chọn C. Ta có: $f\left( x \right) = cos2x \Rightarrow f’\left( x \right) = – 2sin2x$. Do đó $f’\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = – 2$ Câu 17. Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \frac{{cosx}}{{1 – sinx}}$. Giá trị biểu thức $f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) – f’\left( { – \frac{\pi }{6}} \right)$ là
Lời giải Chọn A. Ta có: $f’\left( x \right) = \frac{{{{(cosx)}’}\left( {1 – sinx} \right) – {{(1 – sinx)}’}cosx}}{{{{(1 – sinx)}^2}}} = \frac{1}{{1 – sinx}} \Rightarrow f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) – f’\left( { – \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{4}{3}$ Câu 18. Tính $\frac{{f’\left( 1 \right)}}{{\varphi ‘\left( 0 \right)}}$. Biết rằng : $f\left( x \right) = {x^2}$ và $\varphi \left( x \right) = 4x + sin\frac{{\pi x}}{2}$.
Lời giải Chọn D. $f’\left( x \right) = 2x \Rightarrow f’\left( 1 \right) = 2;\varphi ‘\left( x \right) = 4 + \frac{\pi }{2}cos\frac{{\pi x}}{2} \Rightarrow \varphi ‘\left( 0 \right) = 4 + \frac{\pi }{2}$ Suy ra $\frac{{f’\left( 1 \right)}}{{\varphi ‘\left( 0 \right)}} = \frac{4}{{8 + \pi }}$. Câu 19. Đạo hàm của hàm số $y = \frac{{si{n^2}x – co{s^2}x}}{{sinx \cdot cosx}}$ tại điểm $x = \frac{\pi }{6}$ là:
Lời giải Chọn C Ta có $y = \frac{{si{n^2}x – co{s^2}x}}{{sinx \cdot cosx}} = \frac{{ – cos2x}}{{\frac{1}{2}sin2x}} = – 2cot2x$. Do đó $y’ = – 2\frac{{ – 2}}{{si{n^2}2x}} = \frac{4}{{si{n^2}2x}} \Rightarrow y’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{16}}{3}$. Câu 20. Cho $f\left( x \right) = \sqrt {1 + 3x} – \sqrt[3]{{1 + 2x}},g\left( x \right) = sinx$. Tính giá trị của $\frac{{f’\left( 0 \right)}}{{g’\left( 0 \right)}}$.
Lời giải Chọn A Ta có $f’\left( x \right) = \frac{3}{{2\sqrt {1 + 3x} }} – \frac{2}{{3\sqrt[3]{{{{(1 + 2x)}^2}}}}} \Rightarrow f’\left( 0 \right) = \frac{3}{2} – \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$ Lại có $g’\left( x \right) = cosx \Rightarrow g’\left( 0 \right) = 1$ Suy ra $\frac{{f’\left( 0 \right)}}{{g’\left( 0 \right)}} = \frac{5}{6}$. DẠNG 2: ĐẠO HÀM HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 21. Có các nhận xét sau : 1. Hàm số $y = sinx$ có đạo hàm là $y’ = cosx$ 2. Hàm số $y = cosx$ có đạo hàm là $y’ = – sinx$ 3. Hàm số $y = tanx$ có đạo hàm là $y’ = – \frac{1}{{co{s^2}x}}$ 4. Hàm số $y = cotx$ có đạo hàm là $y’ = \frac{1}{{si{n^2}x}}$ Có bao nhiêu nhận xét đúng?
Lời giải Chọn B. ${(sinx)’} = cosx$. Suy ra (1) Đúng ${(cosx)’} = – sinx$. Suy ra (2) Đúng ${(tanx)’} = \frac{1}{{co{s^2}x}}$. Suy ra (3) Sai ${(cotx)’} = – \frac{1}{{si{n^2}x}}$ Suy ra (4) Sai Câu 22. Tìm đạo hàm $y’$ của hàm số $y = sinx + cosx$.
Lời giải Chọn D Ta có $y’ = {(sinx + cosx)’} = cosx – sinx$. Câu 23. Hàm số $y = tanx – cotx$ có đạo hàm là $y’ = \frac{a}{{si{n^2}2x}}$. Giá trị của $a$ thuộc khoảng nào sau đây?
Lời giải Chọn B. $y’ = \frac{1}{{co{s^2}x}} + \frac{1}{{si{n^2}x}} = \frac{{si{n^2}x + co{s^2}x}}{{si{n^2}x \cdot co{s^2}x}} = \frac{4}{{si{n^2}2x}}$. $ \Rightarrow a = 4 \in \left( {0;10} \right)$ Câu 24. Cho hàm số $f\left( x \right) = sin2x$. Tính $f’\left( x \right)$.
Lời giải Chọn C Ta có $f\left( x \right) = sin2x$, suy ra $f’\left( x \right) = 2cos2x$. Câu 25. Đạo hàm của hàm số $y = sin\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$ bằng biểu thức nào sau đây?
Lời giải Chọn B Ta có $y = sin\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) \Rightarrow y’ = {\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)’} \cdot cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) = – 2cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$. Câu 26. Tính đạo hàm của hàm số $y = tan\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)$ :
Lời giải Chọn A $y’ = {\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)’} \cdot \frac{1}{{co{s^2}\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)}} = – \frac{1}{{co{s^2}\left( {\frac{\pi }{4} – x} \right)}}$ Câu 27. Đạo hàm của hàm số $y = sin\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right)$ là $y’$ bằng
Lời giải Chọn A. $y’ = – 2cos\left( {\frac{\pi }{2} – 2x} \right) = – 2sin\left( {2x} \right)$. Câu 28. Hàm số $y = – \frac{3}{2}sin7x$ có đạo hàm là:
Lời giải Chọn B. $y’ = {\left( { – \frac{3}{2}sin7x} \right)’} = – \frac{3}{2} \cdot {(7x)’}cos7x = – \frac{{21}}{2}cos7x.$ Câu 29. Đạo hàm của $y = tan7x$ bằng:
Lời giải Chon A. Ta có $:y’ = {(tan7x)’} = \frac{7}{{co{s^2}7x}}$ Câu 30. Hàm số $y = cot3x – \frac{1}{2}tan2x$ có đạo hàm là $y’ = \frac{a}{{si{n^2}3x}} + \frac{b}{{co{s^2}2x}} \cdot $ Giá trị của $P = a + b$ là:
Lời giải Chọn C. Ta có $y’ = – \frac{3}{{si{n^2}3x}} – \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{{co{s^2}2x}} = – \frac{3}{{si{n^2}3x}} – \frac{1}{{co{s^2}2x}}$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = – 3} \\ {b = – 1} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow P = a + b = – 4$ Câu 31. Hàm số $y = – \frac{1}{2}sin\left( {\frac{\pi }{3} – {x^2}} \right)$ có đạo hàm là:
Lời giải Chọn A. Ta có: $y’ = – \frac{1}{2} \cdot \left( { – 2x} \right) \cdot cos\left( {\frac{\pi }{3} – {x^2}} \right) = x \cdot cos\left( {\frac{\pi }{3} – {x^2}} \right)$ Câu 32. Đạo hàm của hàm số $y = cos\left( {tanx} \right)$ bằng
Lời giải Chọn B. $y’ = – sin\left( {tanx} \right) \cdot \frac{1}{{co{s^2}x}}$. Câu 33. Hàm số $y = 2sin\left( {{x^2} + 2} \right)$ có đạo hàm là:
Lời giải Chọn D. $y’ = 4xcos\left( {{x^2} + 2} \right)$ Câu 34. Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = 2sin2x + cos2x$ là
Lời giải Chọn C. $f’\left( x \right) = 4cos2x – 2sin2x$. Câu 35. Hàm số $y = 2sin3x + cos2x$ có đạo hàm là $y’ = acos3x + bsin2x$. Giá trị của $P = a + b$ là:
Lời giải Chọn C. Ta có $y’ = \left( {2cos3x} \right) \cdot 3 – \left( {sin2x} \right) \cdot 2 = 6cos3x – 2sin2x$. $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 6} \\ {b = – 2} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow P = a + b = 4$ Câu 36. Hàm số $y = \frac{{cos4x}}{2} + 3sin4x$ có đạo hàm là $y’ = acos4x + bsin4x$. Giá trị của $P = a + b$ là:
Lời giải Chọn D. Ta có $y’ = – 2sin4x + 12cos4x$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 2} \\ {b = – 12} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow P = a + b = – 10$ Câu 37. Hàm số $y = sin2x – cosx$ có đạo hàm $y’ = acos2x + bsinx$. Giá trị $\frac{{{a^2}}}{{{b^{2024}}}}$ là
Lời giải Chọn A. $y = sin2x – cosx \Rightarrow y’ = 2cos2x + sinx$ $ \Rightarrow a = 2;b = 1$ $ \Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{{b^{2024}}}} = \frac{{{2^2}}}{{{1^{2024}}}} = 4$ Câu 38. Tính đạo hàm của hàm số $y = si{n^6}x + co{s^6}x + 3si{n^2}xco{s^2}x$.
Lời giải Chọn B Có: $y = {\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right)^3} – 3si{n^2}xco{s^2}x\left( {si{n^2}x + co{s^2}x} \right) + 3si{n^2}xco{s^2}x = 1$. $ \Rightarrow y’ = 0$. Câu 39. Để tính đạo hàm của hàm số $y = sinx \cdot cosx$, một học sinh tính theo hai cách sau: (I) $y’ = co{s^2}x – si{n^2}x = cos2x$ (II) $y = \frac{1}{2}sin2x \Rightarrow y’ = cos2x$ Cách nào ĐÚNG?
Lời giải Chọn D. Câu 40. Hàm số $y = xtan2x$ có đạo hàm là $y’ = atan2x + \frac{{bx}}{{co{s^2}2x}}$. Giá trị của $P = a + b$ là:
Lời giải Chọn C. Ta có $y’ = x’tan2x + x{(tan2x)’} = tan2x + x\frac{{{{(2x)}’}}}{{co{s^2}2x}} = tan2x + x \cdot \frac{2}{{co{s^2}2x}}$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 1} \\ {b = 2} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow P = a + b = 3$ Câu 41. Hàm số $y = {x^2}$. $cosx$ có đạo hàm là $y’ = ax \cdot cosx + b{x^2}sinx$. Giá trị của $P = a + b$ là:
Lời giải Chọn C. Ta có $y’ = {\left( {{x^2}} \right)’} \cdot cosx + {x^2} \cdot {(cosx)’} = 2x \cdot cosx – {x^2} \cdot sinx$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 2} \\ {b = – 1} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow P = a + b = 1$ Câu 42. Hàm số $y = \left( {1 + sinx} \right)\left( {1 + cosx} \right)$ có đạo hàm là $y’ = acosx + bsinx + ccos2x$. Giá trị của $P = a + b + c$ là:
Lời giải Chọn A. Ta có: $y = \left( {1 + sinx} \right)\left( {1 + cosx} \right) = 1 + sinx + cosx + sinx \cdot cosx = 1 + sinx + cosx + \frac{1}{2}sin2x$. Suy ra: $y’ = cosx – sinx + cos2x$. $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 1} \\ {b = – 1} \\ {c = 1} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow P = a + b + c = 1$ Câu 43. Hàm số $y = \frac{1}{{sin2x}}$ có đạo hàm là $y’ = \frac{{acosx}}{{si{n^2}2x}}$. Giá trị của $a$ thuộc khoảng nào sau đây?
Lời giải Chọn C. $y’ = – \frac{{{{(sin2x)}’}}}{{si{n^2}2x}} = – \frac{{2cos2x}}{{si{n^2}2x}}$. $ \Rightarrow a = – 2 \in \left( { – 10;0} \right)$ Câu 44. Hàm số $y = \frac{{sinx}}{x}$ có đạo hàm là $y’ = \frac{{axcosx + bsinx}}{{{x^2}}}$. Giá trị của $P = a + b$ là:
Lời giải Chọn C. Ta có $y’ = \frac{{{{(sinx)}’} \cdot x – sinx \cdot x’}}{{{x^2}}} = \frac{{x \cdot cosx – sinx}}{{{x^2}}}$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 1} \\ {b = – 1} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow P = a + b = 0$ Câu 45. Cho hàm số $y = \frac{{1 + sinx}}{{1 + cosx}}$. Xét hai kết quả: (I) $y’ = \frac{{\left( {cosx – sinx} \right)\left( {1 + cosx + sinx} \right)}}{{{{(1 + cosx)}^2}}}$ (II) $y’ = \frac{{1 + cosx + sinx}}{{{{(1 + cosx)}^2}}}$ Kết quả nào đúng?
Lời giải Chọn B. Ta có: $y’ = \frac{{cosx\left( {1 + cosx} \right) + sinx\left( {1 + sinx} \right)}}{{{{(1 + cosx)}^2}}} = \frac{{1 + sinx + cosx}}{{{{(1 + cosx)}^2}}}$ Câu 46. Hàm số $y = \frac{{cos2x}}{{3x + 1}}$ có đạo hàm là $y’ = \frac{{asin2x}}{{3x + 1}} + \frac{{bcos2x}}{{{{(3x + 1)}^2}}}$. Giá trị của $P = a + b$ là:
Lời giải Chọn A. Ta có $y’ = \frac{{{{(cos2x)}’}\left( {3x + 1} \right) – {{(3x + 1)}’} \cdot cos2x}}{{{{(3x + 1)}^2}}}$ $ \Rightarrow y’ = \frac{{ – 2sin2x\left( {3x + 1} \right) – 3cos2x}}{{{{(3x + 1)}^2}}} = \frac{{ – 2sin2x}}{{3x + 1}} – \frac{{3cos2x}}{{{{(3x + 1)}^2}}}$ $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = – 2} \\ {b = – 3} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow P = a + b = – 5$ Câu 47. Hàm số $y = \frac{{sinx}}{{sinx – cosx}}$ có đạo hàm là $y’ = \frac{a}{{{{(sinx – cosx)}^2}}}$. Giá trị của $a$ thuộc khoảng nào sau đây?
Lời giải Chọn C. $y’ = \frac{{cosx\left( {sinx – cosx} \right) – sinx\left( {cosx + sinx} \right)}}{{{{(sinx – cosx)}^2}}} = \frac{{ – 1}}{{{{(sinx – cosx)}^2}}}$. $ \Rightarrow a = – 1 \in \left( { – 10;0} \right)$ Câu 48. Hàm số $y = \frac{{sinx – xcosx}}{{cosx + xsinx}}$ có đạo hàm bằng
Lời giải Chọn D. Ta có: $y’ = \frac{{{{(sinx – xcosx)}’}\left( {cosx + xsinx} \right) – {{(cosx + xsinx)}’}\left( {sinx – xcosx} \right)}}{{{{(cosx + xsinx)}^2}}}$ $ = \frac{{xsinx\left( {cosx + xsinx} \right) – xcosx\left( {sinx – xcosx} \right)}}{{{{(cosx + xsinx)}^2}}} = {\left( {\frac{x}{{cosx + xsinx}}} \right)^2}$ Câu 49. Hàm số $y = si{n^2}4x$ có đạo hàm là $y’ = asin8x$. Giá trị của $a$ thuộc khoảng nào sau đây?
Lời giải Chọn B. $y’ = 2 \cdot 4 \cdot sin4x \cdot cos4x = 4sin8x$. $ \Rightarrow a = 4 \in \left( {0;10} \right)$ Câu 50. Hàm số $y = 2cos{x^2}$ có đạo hàm là
Lời giải Chọn D. $y’ = – 2.2x \cdot sin{x^2} = – 4xsin{x^2}$. Câu 51. Hàm số $y = \frac{1}{2}cot{x^2}$ có đạo hàm là:
Lời giải Chọn D Ta có: $y’ = – \frac{1}{2}\frac{{{{\left( {{x^2}} \right)}’}}}{{si{n^2}{x^2}}} = – \frac{x}{{si{n^2}{x^2}}}$ Câu 52. Hàm số $y = \frac{1}{2}{(1 + tanx)^2}$ có đạo hàm là:
Lời giải Chọn C. Sử dụng công thức đạo hàm hợp: ${\left( {{u^n}} \right)’} = n \cdot {u^{n – 1}} \cdot u’$ và đạo hàm của hàm số lượng giác. Ta có: $y’ = \frac{1}{2} \cdot 2\left( {1 + tanx} \right) \cdot {(1 + tanx)’} = \left( {1 + tanx} \right)\frac{1}{{co{s^2}x}} = \left( {1 + tanx} \right)\left( {1 + ta{n^2}x} \right)$. Câu 53. Hàm số $y = ta{n^2}\frac{x}{2}$ có đạo hàm là:
Lời giải Chọn A. $y’ = {\left( {tan\frac{x}{2}} \right)’} \cdot 2tan\frac{x}{2} = \frac{1}{2}\frac{1}{{co{s^2}\frac{x}{2}}}2tan\frac{x}{2} = \frac{1}{{co{s^2}\frac{x}{2}}} \cdot \frac{{sin\frac{x}{2}}}{{cos\frac{x}{2}}} = \frac{{sin\frac{x}{2}}}{{co{s^3}\frac{x}{2}}}.$ Câu 54. Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = si{n^3}\left( {2x + 1} \right)$.
Lời giải Chọn D. Bước đầu tiên áp dung công thức ${\left( {{u^\alpha }} \right)’}$ với $u = sin\left( {2x + 1} \right)$ Vậy $y’ = {\left( {si{n^3}\left( {2x + 1} \right)} \right)’} = 3si{n^2}\left( {2x + 1} \right) \cdot {(sin\left( {2x + 1} \right))’}$. Tính ${(sin\left( {2x + 1} \right))’}$ : Áp dụng ${(sinu)’}$, với $u = \left( {2x + 1} \right)$ Ta được: ${(sin\left( {2x + 1} \right))’} = cos\left( {2x + 1} \right) \cdot {(2x + 1)’} = 2cos\left( {2x + 1} \right)$. $ \Rightarrow y’ = 3 \cdot si{n^2}\left( {2x + 1} \right) \cdot 2cos\left( {2x + 1} \right) = 6si{n^2}\left( {2x + 1} \right)cos\left( {2x + 1} \right)$. Câu 55. Tính đạo hàm của hàm số sau $y = si{n^2}\left( {3x + 1} \right)$
Lời giải Chọn D. Ta có: $y’ = 2sin\left( {3x + 1} \right) \cdot {[sin\left( {3x + 1} \right)]’} = 2sin\left( {3x + 1} \right) \cdot 3cos\left( {3x + 1} \right) = 3sin\left( {6x + 2} \right)$. Câu 56. Cho hàm số $f\left( x \right) = si{n^2}3x$. có đạo hàm $f’\left( x \right) = – msin6x$. Giá trị ${m^3}$ là
Lời giải Chọn D. Tacó $f’\left( x \right) = {\left( {si{n^2}3x} \right)’} = 2sin3x \cdot {(sin3x)’} = 2 \cdot sin3x \cdot 3 \cdot cos3x = 3sin6x$. $ \Rightarrow {m^3} = – 27$ Câu 57. Hàm số $f\left( x \right) = sin2x – co{s^2}3x$ có đạo hàm $f’\left( x \right) = acos2x – bsin6x$. Giá trị $\frac{a}{b}$ là
Lời giải Chọn C. $f\left( x \right) = sin2x – co{s^2}3x = sin2x – \frac{{cos6x + 1}}{2}$ $ \Rightarrow f’\left( x \right) = 2cos2x + 3sin6x$ $ \Rightarrow \frac{a}{b} = – \frac{2}{3}$ Câu 58. Hàm số $y = {\left( {2 + si{n^2}2x} \right)^3}$ có đạo hàm là $y’ = asin4x{\left( {b + si{n^2}2x} \right)^2}$.. Giá trị của $P = a + b$ là:
Lời giải Chọn C. Áp dụng ${\left( {{u^\alpha }} \right)’}$, với $u = 2 + si{n^2}2x$. $y’ = 3{\left( {2 + si{n^2}2x} \right)^2}{\left( {2 + si{n^2}2x} \right)’} = 3{\left( {2 + si{n^2}2x} \right)^2}{\left( {si{n^2}2x} \right)’}$. Tính ${\left( {si{n^2}2x} \right)’}$, áp dụng ${\left( {{u^\alpha }} \right)’}$, với $u = sin2x$. ${\left( {si{n^2}2x} \right)’} = 2 \cdot sin2x{(sin2x)’} = 2 \cdot sin2x \cdot cos2x{(2x)’} = 2sin4x$. $ \Rightarrow y’ = 6sin4x{\left( {2 + si{n^2}2x} \right)^2}$. $ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 6} \\ {b = 2} \end{array}} \right.$ $ \Rightarrow P = a + b = 8$ Câu 59. Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = {(sinx + cosx)^3}$.
Lời giải Chọn D. Áp dụng ${\left( {{u^\alpha }} \right)’}$, với $u = sinx + cosx$ $y’ = 3{(sinx + cosx)^2} \cdot {(sinx + cosx)’} = 3{(sinx + cosx)^2}\left( {cosx – sinx} \right)$. Câu 60. Tính đạo hàm của hàm số sau: $y = {\left( {co{s^4}x – si{n^4}x} \right)^5}$
Lời giải Chọn D. $y = {\left[ {\left( {co{s^2}x – si{n^2}x} \right)\left( {co{s^2}x + si{n^2}x} \right)} \right]^5} = {(cos2x)^5}$. Áp dụng ${\left( {{u^\alpha }} \right)’}$, với $u = cos2x$ $y’ = 5 \cdot co{s^4}2x \cdot {(cos2x)’} = 5 \cdot co{s^4}2x \cdot \left( { – sin2x} \right) \cdot {(2x)’} = – 10co{s^4}2x \cdot sin2x$. DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 61. Cho hàm số $y = sin\left( {\frac{\pi }{3} – \frac{x}{2}} \right)$. Khi đó phương trình $y’ = 0$ có nghiệm là:
Lời giải Chọn C (vì $x = – \frac{\pi }{3} – 2k\pi ,k \in Z \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{3} + 2l\pi ,l \in \mathbb{Z}$ ) Ta có: $y’ = – \frac{1}{2}cos\left( {\frac{\pi }{3} – \frac{x}{2}} \right) \Rightarrow y’ = 0 \Leftrightarrow – \frac{1}{2}cos\left( {\frac{\pi }{3} – \frac{x}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{3} – \frac{x}{2} = \frac{\pi }{2} + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{3} – 2k\pi ,k \in Z$ Câu 62. Cho hàm số $y = cos\left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)$. Khi đó phương trình $y’ = 0$ có nghiệm là:
Lời giải Chọn D. Ta có: $y’ = – 2 \cdot sin\left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right)$ Theo giả thiết $y’ = 0 \Leftrightarrow sin\left( {\frac{{2\pi }}{3} + 2x} \right) = 0 \Leftrightarrow x = – \frac{\pi }{3} + \frac{{k\pi }}{2}\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$ Câu 63. Cho hàm số $y = co{t^2}\frac{x}{4}$. Khi đó nghiệm của phương trình $y’ = 0$ là:
Lời giải Chọn B. Ta có: $y’ = {\left( {co{t^2}\frac{x}{4}} \right)’} = 2cot\frac{x}{4}{\left( {cot\frac{x}{4}} \right)’} = \frac{1}{2}cot\frac{x}{4}\left( {1 + co{t^2}\frac{x}{4}} \right)$ Mà: $y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}cot\frac{x}{4}\left( {1 + co{t^2}\frac{x}{4}} \right) \Leftrightarrow cot\frac{x}{4} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{4} = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = 2\pi + k4\pi ,k \in \mathbb{Z}$ DẠNG 4: ĐẠO HÀM CẤP 2 CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 64. Cho hàm số $f\left( x \right) = cos2x$. Tính $P = f”\left( \pi \right)$.
Lời giải Chọn C Ta có: $f’\left( x \right) = – 2sin2x;f”\left( x \right) = – 4cos2x$. Do đó: $f”\left( \pi \right) = – 4$. Câu 65. Cho hàm số $y = co{s^2}x$. Khi đó bằng
Lời giải Chọn C $y’ = 2cosx \cdot \left( { – sinx} \right) = – sin2x;y” = – 2cos2x;$. $ \Rightarrow y”\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = – 4cos\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = 2$. Câu 66. Cho hàm số $f\left( x \right) = si{n^3}x + {x^2}$. Giá trị $f”\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ bằng
Lời giải Chọn B. Vì: $f’\left( x \right) = 3si{n^2}xcosx + 2x;f”\left( x \right) = 6sinxco{s^2}x – 3si{n^3}x + 2 \Rightarrow f”\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = – 1$. Câu 67. Cho hàm số $y = sin2x$. Tính $y”$
Lời giải Chọn D. Ta có $y’ = 2cos2x \Rightarrow y” = – 4sin2x$ Câu 68. Hàm số $y = tanx$ có đạo hàm cấp 2 bằng :
Lời giải Chọn D. Ta có: $y’ = \frac{1}{{co{s^2}x}} \cdot y” = – \frac{{2cosx\left( { – sinx} \right)}}{{co{s^4}x}} = \frac{{2sinx}}{{co{s^3}x}}$ Câu 69. Nếu $f”\left( x \right) = \frac{{2sinx}}{{co{s^3}x}}$ thì $f\left( x \right)$ bằng
Lời giải Chọn D. Vì: ${(tanx)^{”}} = {\left( {\frac{1}{{co{s^2}x}}} \right)’} = \frac{{ – 2cosx \cdot \left( { – sinx} \right)}}{{co{s^4}x}} = \frac{{2sinx}}{{co{s^3}x}}$. |