Một số bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trìnhGiải bài toán bằng cách lập hệ phương trình là một trong những dạng toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, có trong đề thi Toán vào lớp 10.Để làm được bài tập các em thường phải làm các bước sau: Show
– Bước 1: Lập hệ phương trình + Chọn hai ẩn và đặt điều kiện thích hợp cho mỗi ẩn. + Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết. + Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng. – Bước 2: Giải hệ phương trình – Bước 3. Trả lời: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thích hợp với bài toán và kết luận. Dưới đây là các dạng giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thường gặp. Dạng 1: Cơ bản1) Mua 36 bông vừa hồng vừa cẩm chướng hết 10000 đồng. Biết mỗi bông hồng giá 400 đồng, mỗi bông cẩm chướng giá 200 đồng,tìm số bông mỗi loại? 2) Có 54 con vừa gà vừa mèo, tất cả có 154 chân. Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu con mèo? 3) Có 2 thùng đựng dầu, lúc đầu số dầu thùng lớn gấp đôi số dầu thùng nhỏ. Sau khi thêm vào thùng nhỏ 15l, lấy bớt thùng lớn 30l thì số dầu thùng nhỏ bằng 3/4 số dầu thùng lớn, hỏi lúc đầu mỗi thùng chứa mấy lít? 4) Hai rổ đựng trứng có tất cả 80 quả. Nếu chuyển 5 quả từ rổ thứ nhất sang rổ thứ hai thì số trứng trong rổ thứ nhất bằng 3/5 số trứng trong rổ thứ hai. Hỏi lúc đầu mỗi rổ có bao nhiêu quả? 5) Có 480kg cà chua, khoai tây. Khối lượng khoai tây gấp 3 lần khối lượng cà chua. Tính khối lượng mỗi loại? 6) Hai anh An và Bình góp vốn kinh doanh. Anh An góp 13 triệu đồn, anh Bình góp 15 triệu đồng. Sau một thời gian kinh doanh được lãi 7 triệu đồng. Lãi được chia theo tỉ lệ góp vốn. Tính số tiền lãi mà mỗi anh được hưởng. 7) Trong một kì thi hai trường A, B có tổng cộng 350 học sinh dự thi. Kết quả hai trường đó là 338 học sinh trúng tuyển. Tính ra thì trường A có 97% và trường B có 96% số học sinh trúng tuyển. Hỏi mỗi trường có bao nhiêu học sinh dự thi. 8) Trong một buổi liên hoan văn nghệ, phòng họp chỉ có 320 chỗ ngồi, nhưng số người tới dự hôm đó là 420 người. Do đó phải đặt thêm 1 dãy ghế và thu xếp để mỗi dãy ghế thêm được 4 người ngồi nữa mới đủ. Hỏi lúc đầu trong phòng có bao nhiêu ghế. Dạng 2: Toán tìm số1) Tổng các chữ số của một số có hai chữ số là 9. Nếu thêm vào số đó 63 đơn vị thì số thu được cũng viết bằng hai chữ số đó nhưng theo thứ tự ngược lại. Hãy tìm số đó? 2) Tổng hai số bằng 51. Tìm hai số đó biết rằng 2/5 số thứ nhất bằng 1/6 số thứ hai? 3) Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 5 đơn vị và tăng mẫu số lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số mới là nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. 4) Tìm hai số tự nhiên liên tiếp có tổng bình phương của nó là 85 5) Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết tổng các chữ số của nó là 7. Nếu đổi chỗ hai chữ số hàng đơn vị và hàng chục cho nhau thì số đó giảm đi 45 đơn vị? Dạng 3: Toán chuyển động1) Lúc 6 giờ một ô tô chạy từ A về B. Sau đó nửa giờ, một xe máy chạy từ B về A. Ô tô gặp xe máy lúc 8 giờ. Biết vân tốc ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 10km/h và khoảng cách AB=195km. Tính vận tốc mỗi xe. 2) Một ô tô đi từ A và dự định đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h thì sẽ đến B sớm 1giờ so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm xuất phát của ô tô tại A? 3) Một tàu thủy chạy xuôi dòng sông 66 km hết một thời gian bằng thời gian chạy ngược dòng 54 km. Nếu tàu chạy xuôi dòng 22 km và ngược dòng 9 km thì chỉ hết 1 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu thủy và vận tốc dòng nước (biết vận tốc riêng của tàu không đổi). 4) Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau 38 km. Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau 4 giờ. Hỏi vận tốc của mỗi người, biết rằng khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai là 2 km? Dạng 4: Toán có nội dung hình học1) Một tam giác có chiều cao bằng 3/4 cạnh đáy. Nếu chiều cao tăng thêm 3dm và cạnh đáy giảm đi 3dm thì diện tích của nó tăng thêm 12dm2 . Tính chiều cao và cạnh đáy của tam giác. 2) Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi bằng 48 m. Nếu tăng chiều rộng lên bốn lần và chiều dài lên ba lần thì chu vi của khu vườn sẽ là 162 m. Hãy tính diện tích của khu vườn ban đầu. 3) Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và có diện tích bằng 1792 m2. Tính chu vi của khu vườn ấy. 4) Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 720 m2, nếu tăng chiều dài thêm 6 m và giảm chiều rộng đi 4 m thì diện tích mảnh vương không đổi. Tính các kích thước của mảnh vườn. 5) Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m. Đường chéo hình chữ nhật là 10m. Tính độ dài hai cạnh của mảnh đất hình chữ nhật. Dạng 5: Toán công việc – năng suất1) Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch ?. 2) Một công nhân dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian dự định. Sau khi làm được 2 giờ với năng suất dự kiến, người đó đã cải tiến các thao tác hợp lý hơn nên đã tang năng suất được thêm 3 sản phẩm mỗi giờ và vì vậy người đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn dự định 1 giờ 36 phút. Hãy tính năng suất dự kiến. 3) Một tổ sản xuất dự định sản xuất 360 máy nông nghiệp. Khi làm do tổ chức quản lí tốt nên mỗi ngày họ đã làm được nhiều hơn dự định 1 máy, vì thế tổ đã hoàn thành trước thời hạn 4 ngày. Hỏi số máy dự định sản xuất trong mỗi ngày là bao nhiêu? 4) Tháng đầu hai tổ sản xuất làm được 720 dụng cụ. Sang tháng 2 tổ 1 làm vượt mức % 12 , tổ 2 vượt mức % 15 nên cả hai tổ đã làm được 819 dụng cụ. Hỏi mỗi tháng mỗi tổ làm được bao nhiêu dụng cụ? Dạng 6: Toán về công việc làm chung, làm riêng1) Hai tổ sản xuất cùng làm chung công việc thì hoàn thành trong 2 giờ. Hỏi nếu làm riêng một mình thì mỗi tổ phải hết bao nhiêu thời gian mới hoàn thành công việc, biết rằng khi làm riêng tổ 1 hoàn thành sớm hơn tổ 2 là 3 giờ. 2) Hai công nhân nếu làm chung thì trong 12 giờ sẽ hoàn thành công việc. Họ làm chung trong 4 giờ thì người thứ nhất chuyển đi làm việc khác, người thứ hai làm nốt công việc trong 10 giờ. Hỏi người thứ hai làm một mình thì bao lâu hoàn thành công việc. 3) Hai người cùng làm chung một công việc trong 24 giờ thì xong. Năng suất người thứ nhất bằng 3/2 năng suất người thứ hai. Hỏi nếu mỗi người làm cả công việc thì hoàn thành sau bao lâu? Dạng 7: Toán về vòi nước chảy chung, chảy riêng1) Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được 2/3 bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể. 2) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 4 giờ 48 phút bể đầy. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong 3 giờ thì cả hai vòi chảy được 3/4 bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. 3) Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình mà đầy bể. Bồi dưỡng Toán 9, Đại số 9 - Tags: hệ phương trình, phương trình
14.583 lượt xem Giải hệ phương trìnhGiải hệ phương trình bậc nhất một ẩn là một dạng toán khó thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán. Tài liệu được GiaiToan.com biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo. A. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩnHệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:  Trong đó x. y là hai ẩn, các chữ số còn lại là hệ số. Nếu cặp số (x0;y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0;y0) được gọi là nghiệm của hệ phương trình (I) Giải hệ phương trình (I) ta tìm được tập nghiệm của nó. B. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại sốBiến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại sốBước 1: Chọn ẩn muốn khử, thường là x (hoặc y) Bước 2: Xét xem hệ số của ẩn muốn khử. - Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ra cộng vế theo vế của hệ. - Khi các hệ số của cùng một ẩn số bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ. - Nếu các hệ số đó không bằng nhau thì ta nhân cả hai vế của phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của x (hoặc y) trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau (đồng nhất hệ số). Bước 3: Cộng hoặc trừ từng vế hai phương trình của hệ đã cho để được một phương trình mới (phương trình một ẩn) Bước 4: Dùng phương trình một ẩn thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia) Bước 5: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho. Ví dụ: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải Nhân cả hai vế của phương trình x + 4y = 6 với 2 ta được 2x + 8y = 12 Hệ phương trình trở thành Lấy hai vế phương trình thứ hai trừ hai vế phương trình thứ nhất ta được 2x + 8y – (2x – 3y) = 12 – 1 =>2x + 8y – 2x + 3y = 11 =>11y = 11 => y = 1 Thay y = 1 vào phương trình x + 4y = 6 ta được x + 4 = 6 => x = 6 – 4 => x = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1) Ta có thể làm như sau: Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (2; 1) Ví dụ: Biết (m, n) là nghiệm của hệ phương trình Hướng dẫn giải Ta có: => (x; y) = (m; n) = (2; 1) => m = 2; n = 1 S = m2 + n2 = 22 + 12 = 5 Vậy S = 5 C. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thếBiến đổi hệ phương trình đã cho thành hệ phương trình tương đương Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp thếBước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia. Bước 2: Thế ẩn đã biến đổi vào phương trình còn lại để được phương trình mới (Phương trình bậc nhất một ẩn) Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa tìm được. Bước 4: Thay giá trị vừa tìm được của ẩn vào biểu thức tìm được trong bước thứ nhất để tìm giá trị của ẩn còn lại. Ví dụ: Giải hệ phương trình Hướng dẫn giải Hệ phương trình Rút x từ phương trinh trình thứ nhất ta được x = 3 – y Thay x = 3 – y vào phương trình thứ hai ta được: (3 – y)y – 2(3 – y) = -2 => 3y – y2 – 6 + 2y = -2 => y2 - 5y + 4 = 0 Do 1 – 5 + 4 = 0 => y = 1 hoặc y = 4 Với y = 4 => x = 3 – 4 = -1 Với y = 1 => x = 3 – 1 = 2 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; 4) = (2; 1) Ta có thể làm bài như sau: Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (-1; 4) = (2; 1) D. Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụVí dụ: Giải hệ phương trình sau đây bằng phương pháp đặt ẩn phụ: Hướng dẫn giải Điều kiện xác định của phương trình: Đặt Hệ phương trình trở thành: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế: Từ phương trình -5u + v = 10, ta có: v = 5u + 10 Thế vào phương trình u + 3v = -18, ta được: u + 3v = -18 => u + 3(5u + 10) = -18 => 16u + 30 = -18 => 16u = -48 => u = -3 Thay u = -3 vào phương trình v = 5u + 10, ta được v = 5.(-3) + 10 = -5 Vậy u = -3; v = -5 Ta thay u, v vào hệ phương trình ban đầu ta được: Vậy hệ phương trình có nghiệm E. Giải hệ phương trình bằng máy tính cầm tayBước 1: Nhấn MODE, chọn mục EQN chọn số tương ứng với mục: anX + bnY = cn Bước 2: Nếu hệ phương trình theo đúng thứ tự: Bước 3: Ta nhập số liệu tương ứng: Hàng thứ nhất: a1 = ; b1 = ; c1 = Hàng thứ hai: a2 = ; b2 = ; c2 = Bước 4: Nhấn =; = ta sẽ có kết quả nghiệm của hệ phương trình. F. Giải hệ phương trình bằng định thứcHệ phương trình: Định thức
G. Giải hệ phương trình đối xứng1. Hệ phương trình đối xứng loại 1a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi. b) Tính chất: Nếu c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 1 Đặt Chú ý: Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình. Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: Hướng dẫn giải Đặt hệ phương trình đã cho trở thành => x, y là hai nghiệm của phương trình Vậy hệ phương trình có tập nghiệm (x; y) = (0; 2) = (2; 0) Để hiểu hơn về cách giải hệ đối xứng loại 1, mời bạn đọc tham khảo tài liệu: Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 2. Hệ phương trình đối xứng loại 2a) Định nghĩa: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 2 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia. b) Tính chất: Nếu là một nghiệm của hệ phương trình thì cũng là nghiệm của phương trình. c) Cách giải hệ phương trình đối xứng loại 2 Trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình có dạng Ví dụ: Giải hệ phương trình sau: Hướng dẫn giải Điều kiện Ta kiểm tra được Xét trường hợp Khi x = y xét phương trình Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (0; 0) Để hiểu hơn về cách giải hệ đối xứng loại 2, mời bạn đọc tham khảo tài liệu: Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2 H. Giải hệ phương trình đẳng cấpCách giải hệ phương trình đẳng cấp Phương pháp chung để giải hệ phương trình đẳng cấp là: Từ các phương trình của hệ ta nhân hoặc chia cho nhau để tạo ra phương trình đẳng cấp bậc n Từ đó ta xét hai trường hợp: y = 0 thay vào để tìm x y khác 0 ta đặt x = ty thì thu được phương trình Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y. Ví dụ : Giải hệ phương trình sau: Hướng dẫn giải Điều kiện: Từ phương trình thứ nhất ta có: xy = -x2 - x - 3 Thay vào phương trình thứ hai ta được: Đây là phương trình đẳng cấp đối với Đặt Với t = 1 ta có y = x2 + 2 thay vào phương trình thứ nhất của hệ phương trình ta thu được x = -1 => y = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (1; -3) Để hiểu hơn về cách giải hệ đẳng cấp, mời bạn đọc tham khảo tài liệu: Các phương pháp giải hệ phương trình đẳng cấp Tài liệu liên quan: ----------------------------------------------------- Hy vọng tài liệu Cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Toán 9 sẽ giúp ích cho các bạn học sinh học nắm chắc các cách biến đổi hệ phương trình đồng thời học tốt môn Toán lớp 9. Chúc các bạn học tốt, mời các bạn tham khảo! Ngoài ra mời quý thầy cô và học sinh tham khảo thêm một số nội dung:
Câu hỏi mở rộng củng cố kiến thức:
|
