\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x \right|\sqrt {\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x\sqrt {\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - \sqrt {\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{1 + \dfrac{1}{x}}}\\ = \dfrac{{ - \sqrt {4 - 0 + 0} }}{{1 + 0}}\\ = - 2\end{array}\)
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
Chọn đáp án đúng: 4.62 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Nếu lim|un| = + thì lim un= +; B. Nếu lim|un| = + thì lim un= ; C. Nếu lim un= 0 thì lim|un| = 0; D. Nếu lim un= a thì lim|un| = a. Lời giải chi tiết: Cách 1: Ta có ||un|| = |un|. Do đó, nếu (un) có giới hạn là 0 thì (|un|) cũng có giới hạn 0. Cách 2: (loại trừ các phương án khác bằng cách phản ví dụ): Chẳng hạn, un= -n cho phép loại trừ phương án A, un= n cho phép loại trừ phương án B, un= 1 và a = -1 cho phép loại trừ phương án D. Chọn đáp án:C 4.63 \(\lim \dfrac{{{2^n} - {3^n}}}{{{2^n} + 1}}\) bằng: A. 1 B. - C. 0 D. + Phương pháp giải: Tính giới hạn bằng cách chia tử số và mẫu số cho 3n. Lời giải chi tiết: \(\lim \dfrac{{{2^n} - {3^n}}}{{{2^n} + 1}}\)\( = \lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} - 1}}{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} + \dfrac{1}{{{3^n}}}}}\) Vì \(\lim \left[ {{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} - 1} \right] = 0 - 1 = - 1 < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\lim \left[ {{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} + \dfrac{1}{{{3^n}}}} \right] = 0\\{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)^n} + \dfrac{1}{{{3^n}}} > 0\end{array} \right.\) nên \(\lim \dfrac{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} - 1}}{{{{\left( {\dfrac{2}{3}} \right)}^n} + \dfrac{1}{{{3^n}}}}} = - \infty \) Vậy \(\lim \dfrac{{{2^n} - {3^n}}}{{{2^n} + 1}} = - \infty \) Chọn đáp án:B 4.64 \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} \right)\) bằng: A. 0 B. 1 C. -1/2 D. - Phương pháp giải: Tính giới hạn bằng cách nhân và chia biểu thức liên hợp. Lời giải chi tiết: \(\lim \left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} \right)\) \(\begin{array}{l} = \lim \dfrac{{\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} - n} \right)\left( {\sqrt {{n^2} - n + 1} + n} \right)}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}}\\ = \lim \dfrac{{{n^2} - n + 1 - {n^2}}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}}\\ = \lim \dfrac{{ - n + 1}}{{\sqrt {{n^2} - n + 1} + n}}\\ = \lim \dfrac{{n\left( { - 1 + \dfrac{1}{n}} \right)}}{{n\sqrt {1 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + n}}\\ = \lim \dfrac{{ - 1 + \dfrac{1}{n}}}{{\sqrt {1 - \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{{{n^2}}}} + 1}}\\ = \dfrac{{ - 1 + 0}}{{\sqrt {1 - 0 + 0} + 1}}\\ = - \dfrac{1}{2}\end{array}\) Chọn đáp án:C 4.65 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)\) bằng: A. 1 B. - C. 0 D. + Phương pháp giải: Tính trực tiếp giới hạn. Lời giải chi tiết: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right)\) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right)\) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3} = - \infty \) và \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) = - 1 < 0\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {x^3}\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}} - 1 + \dfrac{1}{{{x^3}}}} \right) = + \infty \) Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x - {x^3} + 1} \right) = + \infty \) Chọn đáp án:D 4.66 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}}\)bằng: A. - B. 1/4 C. 1 D. + Lời giải chi tiết: Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 1} \right) = 2 - 1 = 1 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x - 2} \right) = 0\\x - 2 < 0,\forall x < 2\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{x - 1}}{{x - 2}} = - \infty \) Chọn đáp án:A 4.67 Cho hàm số\(f\left( x \right) = \dfrac{{2x - 1}}{{3 + 3x}}\), khi đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} f\left( x \right)\)bằng: A. + B. 2/3 C. 1 D. - Lời giải chi tiết: Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {2x - 1} \right) = 2.\left( { - 1} \right) - 1 = - 3 < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \left( {3 + 3x} \right) = 0\\3 + 3x > 0,\forall x > - 1\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} \dfrac{{2x - 1}}{{3 + 3x}} = - \infty \) Chọn đáp án:D 4.68 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \dfrac{{{x^2} - 6}}{{9 + 3x}}\)bằng: A. 1/3 B. - C. 1/6 D. + Lời giải chi tiết: Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \left( {{x^2} - 6} \right) = {\left( { - 3} \right)^2} - 6 = 3 > 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \left( {9 + 3x} \right) = 0\\9 + 3x < 0,\forall x < - 3\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - {3^ - }} \dfrac{{{x^2} - 6}}{{9 + 3x}} = - \infty \) Chọn đáp án:B 4.69 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{x + 1}}\)bằng: A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 Phương pháp giải: Đưa x2ra khỏi căn ở tử số. Lời giải chi tiết: \(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {4{x^2} - x + 1} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\sqrt {{x^2}\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{\left| x \right|\sqrt {\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x + 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - x\sqrt {\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x\left( {1 + \dfrac{1}{x}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \dfrac{{ - \sqrt {\left( {4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} }}{{1 + \dfrac{1}{x}}}\\ = \dfrac{{ - \sqrt {4 - 0 + 0} }}{{1 + 0}}\\ = - 2\end{array}\) Chọn đáp án:B 4.70 Cho hàm số f(x) xác định trên đoạn [a; b] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 không có nghiệm trong khoảng (a; b) B. Nếu f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b) C. Nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm trong khoảng (a; b) thì hàm số f(x) phải liên tục trên khoảng (a; b) D. Nếu f(x) hàm số liên tục, tăng trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) > 0 thì phương trình f(x) = 0 không thể có nghiệm trong khoảng (a; b) Lời giải chi tiết: Đáp án A: sai vì ta chưa thể kết luận gì về nghiệm khi f(a).f(b) > 0. Đáp án B: sai vì thiếu điều kiện f(x) liên tục trên (a;b). Đáp án C: sai vì vẫn có thể xảy ra trường hợp f(x) gián đoạn tại một điểm nào đó trong khoảng (a;b). Đáp án D: đúng. Ta có: \(f\left( a \right).f\left( b \right) > 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( a \right) > 0,f\left( b \right) > 0\\f\left( a \right) < 0.f\left( b \right) < 0\end{array} \right.\) Do hàm số f(x) tăng trên [a;b] nên \(f\left( a \right) \le f\left( x \right) \le f\left( b \right)\). Nếu \(f\left( a \right) > 0,f\left( b \right) > 0\) thì \(0 < f\left( a \right) \le f\left( x \right)\) \( \Rightarrow f\left( x \right) > 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) hay phương trình vô nghiệm trong \(\left[ {a;b} \right]\). Nếu \(f\left( a \right) < 0,f\left( b \right) < 0\) thì \(f\left( x \right) \le f\left( b \right) < 0\) \( \Rightarrow f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left[ {a;b} \right]\) hay phương trình vô nghiệm trong \(\left[ {a;b} \right]\). Vậy trong cả hai TH thì f(x) đều không có nghiệm trong (a;b). Chọn đáp án:D 4.71 Cho phương trình 2x4- 5x2+ x + 1 = 0. (1) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-1; 1); B. Phương trình (1) không có nghiệm trong khoảng (-2; 0); C. Phương trình (1) chỉ có một nghiệm trong khoảng (-2; 1) ; D. Phương trình (1) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (0; 2) Lời giải chi tiết: Đặt f(x) = 2x4- 5x2+ x + 1. Tính f(-1), f(0), f(1), f(2) và nhận xét dấu của chúng để kết luận. Cách giải: Xét f(x) = 2x4- 5x2+ x + 1 là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên liên tục trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right),\left( {0;1} \right),\left( {1;2} \right)\). Ta có: \(\begin{array}{l}f\left( { - 1} \right) = - 3\\f\left( 0 \right) = 1\\f\left( 1 \right) = - 1\\f\left( 2 \right) = 15\end{array}\) Do đó: +) \(f\left( { - 1} \right).f\left( 0 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( { - 1;0} \right)\) Loại A, B. +) \(f\left( 0 \right).f\left( 1 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( {0;1} \right)\) Do đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm trong \(\left( { - 1;1} \right) \subset \left( { - 2;1} \right)\). Loại C. +) \(f\left( 1 \right).f\left( 2 \right) < 0\) nên phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm trong \(\left( {1;2} \right)\). Do đó phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất hai nghiệm trong \(\left( {0;2} \right)\). Chọn đáp án:D
|
