Chúng ta đã biết vectơ là đại lượng có hướng với các phép toán cộng vectơ và nhân vectơ với một số:
𝒙 𝒚
𝝀 𝒙 𝝀 < 𝟎 𝒙 𝝀 𝒙 𝝀 > 𝟎
5 ) ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅 và ∀ x ∈ 𝑉 ta luôn có: 𝛼 + 𝛽 𝑥 = 𝛼𝑥 + 𝛽𝑥. ####### Chú ý: Nếu V là không gian vectơ thực thì:
####### không gian vectơ có duy nhất một vectơ – không. Kí hiệu: 0.
####### 0 và 𝑥′ gọi là vectơ đối của x. Kí hiệu: 𝑥′ = −𝑥.
Tập hợp 𝑀𝑚×𝑛 𝑅 tất cả các ma trận thực cỡ 𝑚𝑥𝑛 cùng với phép cộng ma trận và phép nhân một số thực với một ma trận lập thành một không gian vectơ thực. Lưu ý: Vectơ-không trong 𝑀𝑚×𝑛 𝑅 chính là ma trận 0. Lưu ý:
𝑃𝑛 𝑥 = 𝑝 𝑥 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 𝑎 0 , 𝑎 1 , ..., 𝑎𝑛 ∈ ℝ. Giả sử 𝑝 𝑥 = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝑥 + ⋯+ 𝑎𝑛𝑥𝑛 ; q 𝑥 = 𝑏 0 + 𝑏 1 𝑥 + ⋯+ 𝑏𝑛 𝑥𝑛 là hai đa thức thuộc 𝑃𝑛 𝑥 v{ 𝜆 là số thực. Với hai phép toán cộng đa thức và phép nhân đa thức với một số thực: 𝑝 𝑥 + q x = (𝑎 0 +𝑏 0 ) + (𝑎 1 +𝑏 1 )𝑥 + ⋯+ (𝑎𝑛+𝑏n)𝑥𝑛; 𝜆 𝑝 𝑥 = 𝜆𝑎 0 + 𝜆𝑎 1 𝑥 + ⋯+𝜆𝑎𝑛𝑥𝑛. thì 𝑃𝑛 𝑥 lập thành một không gian vector trên R. Lưu ý: Trong 𝑃𝑛 𝑥 thì vectơ–không là: 0 = 0 + 0. 𝑥 + ⋯+ 0.𝑥𝑛 BÀI TẬP NHÓM Chứng minh rằng tập hợp 𝑀 2 𝑅 các ma trận thực vuông cấp hai cùng với hai phép toán cộng ma trận và nhân ma trận với một số thực lập thành một không gian vectơ trên 𝑅. Tính chất của không gian vectơ V####### 1) 0. x , xV ####### 2) xx ( 1). , xV ####### 3). , ####### 4) .0 xx ( xV , ) ####### 5). x x x. , ( xV ; , ) ####### 6). x y. , 0 x y ( , x y V ; ) . Nhận xét: Cách chứng minh 𝑊 là không gian vectơ con của không gian vectơ 𝑉: 𝑖𝑖) ∀𝑢, 𝑣 ∈ W ⇒ 𝑢 + 𝑣 ∈ W. 𝑖𝑖𝑖)∀𝑢 ∈ W, ∀𝑘 ∈ R ⇒ 𝑘. 𝑢 ∈ W. Cách 1 : Chỉ ra 𝑾 là tập con khác rỗng của V đồng thời đóng kín với phép cộng và phép nhân ngoài. Cách 2 : Gộp 2 tính chất 𝑖𝑖) ∀𝛼, 𝛽 ∈ 𝑅; ∀𝑢, 𝑣 ∈ W ⇒ 𝛼. 𝑢 +𝛽𝑣 ∈ W. 𝑖) Chỉ ra W là tập con khác rỗng của V. 𝑖) Chỉ ra W là tập con khác rỗng của V. VD. CMR: 𝑊 = *(𝑥, 𝑦, 0)/ 𝑥, 𝑦 𝑅+ là một kgvt con của không gian vectơ 𝑅 3. 2. Định lý Gọi 𝑆 là tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất gồm m phƣơng trình và n ẩn số: 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎1𝑛𝑥𝑛 = 0 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎2𝑛𝑥𝑛 = 0 ....... ............ ............ ..... 𝑎𝑚1𝑥 1 + 𝑎𝑚2𝑥 2 + ⋯+ 𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛 = 0 thì S là một không gian vectơ con của 𝑅𝑛. Khi đó S còn gọi là không gian nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất. Cơ sở của không gian nghiệm gọi là hệ nghiệm cơ bản của hệ ấy. VD. Tìm tập nghiệm S của hệ phƣơng trình tuyến tính thuần nhất 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 𝑡 = 0 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 + 𝑡 = 0 Chứng tỏ rằng S là không gian vectơ con của R 4 ( không gian nghiệm). 1. Định nghĩa: Trong không gian vectơ 𝑉, cho hệ vectơ S = 𝑢 1 ,𝑢 2 , ..., 𝑢𝑛. 3.2. Tổ hợp tuyến tính; Bao tuyến tính - hệ sinh
VD. Trong không gian vectơ 𝑅 3 cho họ vectơ 𝑆 = 𝑣 = 1,−1,2 ,𝑤 = (2,0,−3). a) Tìm biểu diễn tuyến tính của 𝑢 = (−1;−3;12) qua 𝑆. b) Tìm bao tuyến tính của 𝑆. |
