Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI FOURIER RỜI RẠC (DFT) VÀ GIẢI THUẬT BIẾN ĐỔI FOURIER NHANH (FFT) Nội dung: 7.1 Biến đổi Fourier rời rạc DFT 7.1.1 Định nghĩa 7.1.2 Các tính chất của DFT 7.1.3 Lọc tuyến tính dựa trên DFT 7.1.4 Phân tích phổ tín hiệu dùng DFT 7.2 Giải thuật biến đổi Fourier nhanh FFT 7.2.1 FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian 7.2.2 FFT cơ số 2 phân chia theo tần số Bài tập 5/22/2010 1 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT 7.1 Biến đổi Fourier rời rạc DFT (Discrete Fourier Transform): 7.1.1 Định nghĩa: DTFT được sử dụng rộng rãi khi nghiên cứu tín hiệu ở dạng giải tích. Tuy nhiên, nó có 2 hạn chế: ¾ Độ dài tín hiệu là vô cùng >< thực tế là hữu hạn. Giải pháp đưa ra: DFT ¾ Biến Ω là liên tục >< yêu cầu xử lý (trên máy tính,..) là rời rạc. Giả sử x(n) là tín hiệu rời rạc có chiều dài hữu hạn L. Công thức biến đổi DFT N điểm (N≥L) của x(n) là: N −1 X ( k ) = ∑ x ( n )e − j 2π kn / N ; k = 0,..., N − 1 (DFT) n=0 1 x(n) = N N −1 ∑ X (k )e j 2π kn / N ; n = 0 , ..., N − 1 (IDFT) k =0 DFT đóng vai trò quan trọng trong xử lý số tín hiệu (ví dụ: phân tích phổ, lọc tín hiệu,..) do tồn tại các cách tính DFT hiệu quả (chẳng hạn như giải thuật FFT). 5/22/2010 2 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT(tt) ⎧1 , 0 ≤ n ≤ L − 1 x ( n) = ⎨ 0 , n : elsewhere Xác định và vẽ phổ tín hiệu X(Ω). ⎩ Ví dụ 1: Cho tín hiệu: a. b. Xác định và vẽ DFT N điểm (N≥L). Lời giải: a. Dùng biến đổi DTFT: X (Ω ) = ∞ ∑ n = −∞ x ( n )e − jΩn = ∑ 1.e sin Ω L / 2 ⇒ | X ( Ω ) |= ; sin Ω / 2 5/22/2010 L −1 n=0 − jΩn 1 − e − jnΩL sin Ω L / 2 − jΩ ( L −1)/ 2 = = e − jΩn 1− e sin Ω / 2 ∠ X ( Ω ) = −Ω ( L − 1) / 2 3 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT(tt) b. Dùng công thức DFT N điểm: N −1 X ( k ) = ∑ x ( n )e n=0 5/22/2010 − j 2 π kn / N L −1 = ∑e n=0 − j 2π kn / N 1 − e − j 2π kL / N sin π kL / N − jπ k ( L −1)/ N = = e − j 2π k / N 1− e sin π k / N 4 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT(tt) Biểu diễn dạng ma trận: ¾ Đặt : WN = e-j2π/N, X (k ) = lúc đó: N −1 ∑ x ( n )W n=0 1 x(n) = N ; N −1 kn N ∑ X ( k )W k =0 ; k = 0, ..., N − 1 − kn N ; n = 0,..., N − 1 ; ¾ Công thức DFT và IDFT được viết lại như sau: X N = WN xN xN 1 = W N* X N Æ Cho X(k) tìm x(n) dùng DFT ???? 5/22/2010 (DFT) N (IDFT) 5 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT(tt) Ví dụ 2: Cho tín hiệu: x(n) = {0,1,2,3}. Tìm DFT 4 điểm ? Lời giải: k+N k W = W N N ¾ Dùng trực tiếp định nghĩa: ¾ Dùng dạng ma trận: W Nk + N / 2 = − W Nk ⎡ w40 ⎢ 0 w4 ⎢ W4 = 0 ⎢ w4 ⎢ 0 ⎢⎣ w4 w40 w14 w42 w43 ⎡1 ⎢1 X 4 = W4 x4 = ⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1 w40 ⎤ 3⎥ w4 ⎥ w46 ⎥ 6 9⎥ w4 w4 ⎥⎦ 1 1 − j −1 −1 1 j −1 w40 w42 w44 ⎡1 1 ⎢1 w1 4 =⎢ ⎢1 w42 ⎢ 3 w 1 4 ⎣ 1 w42 w40 w42 1 ⎤ ⎡1 1 w43 ⎥⎥ ⎢⎢1 − j = 2 ⎥ ⎢1 − 1 w4 ⎥ ⎢ w14 ⎦ ⎣1 j 1 ⎤ − 1 j ⎥⎥ 1 −1 ⎥ ⎥ −1 − j ⎦ 1 1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡ 6 ⎤ j ⎥⎥ ⎢⎢ 1 ⎥⎥ ⎢⎢ − 2 + 2 j ⎥⎥ × = −1 ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎢ −2 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − j ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ −2 − 2 j ⎦ ⇒ X ( k ) = {6; − 2 + 2 j ; − 2; − 2 − 2 j} 5/22/2010 6 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.1.2 Các tính chất của DFT: a. Tuần hoàn: ¾ X(k) tuần hoàn với chu kỳ N, nghĩa là: X(k+N) = X(k), ∀k b. Tuyến tính: DFT → X 1 (k ) ⎫ x1 (n) ←⎯⎯ DFT ⇒ + ←⎯⎯ → a1 X 1 (k ) + a2 X 2 (k ), ∀a1 , a2 a x ( n ) a x ( n ) ⎬ 1 1 2 2 DFT x2 (n) ←⎯⎯ → X 2 (k ) ⎭ c. Dịch vòng: − j 2 π kn 0 / N D FT ⎧ x (( n n )) X ( k ) e − ←⎯ ⎯ → ⎪ D FT 0 N ⎯ → X (k ) ⇒ ⎨ x ( n ) ←⎯ j 2π k0 n / N D FT ←⎯ ⎯ → X (( k − k 0 )) N ⎪⎩ x ( n ) e Khái niệm dịch vòng: 5/22/2010 x’(n) = x((n-n0))N = x[(n - n0)modN] 7 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.1.2 Các tính chất của DFT: d. Tích chập vòng: DFT x ( n ) ←⎯ ⎯ → X (k ) ⎫ DFT ⇒ z ( n ) = x ( n ) ⊗ y ( n ) ←⎯ ⎯ → Z ( k ) = X ( k )Y ( k ) ⎬ DFT y ( n ) ←⎯ ⎯ → Y (k ) ⎭ x(n) X(k) DFT N điểm X DFT y(n) N điểm IDFT z(n)=x(n) y(n) N điểm Y(k) ¾ Tích 2 DFT ∼ tích chập vòng trong miền thời gian. Khái niệm tích chập vòng: x(n ) ⊗ y (n ) = N −1 ∑ x ( m ) y[( n − m ) m o d N ] m =0 5/22/2010 8 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.1.3 Lọc tuyến tính dựa vào DFT: ¾ Ngõ ra hệ thống LTI: tích chập thông thường giữa tín hiệu vào và đáp ứng xung Tích 2 DFT tích chập vòng trong miền thời gian. Æ dùng DFT để tính đáp ứng ngõ ra của hệ thống LTI ????? ¾ Xét bộ lọc FIR có đáp ứng xung h(n), chiều dài M. Tín hiệu ngõ vào x(n), chiều dài L. Khi đó, tín hiệu ngõ ra y(n) có chiều dài L+M-1. Tín hiệu vào x(n) X(Ω) Hệ thống rời rạc Tín hiệu ra y(n)=h(n)*x(n) Y(Ω)=X(Ω)H(Ω) Số mẫu cần để biểu diễn phổ Y(Ω) là: N≥L+ M – 1 Æ cần lấy DFT N điểm. Lấy DFT N điểm cho 2 chuỗi x(n) và h(n). 5/22/2010 9 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.1.3 Lọc tuyến tính dựa vào DFT (tt): ¾ Sơ đồ thực hiện: x(n) Chèn zeros vào 2 chuỗi x(n) và h(n) để có chiều dài N. Chèn M-1 zeros DFT N điểm X(k) X h(n) Chèn L-1 zeros DFT N điểm IDFT N điểm y(n)=x(n)*y(n) H(k) ¾ Bằng cách tăng chiều dài từng chuỗi (thêm zeros), tích chập vòng sẽ cho kết quả tương tự tích chập tuyến tính, hay nói cách khác, DFT có thể được dùng để lọc tuyến tính (tính đáp ứng ngõ ra của hệ thống tuyến tính). ¾ Trường hợp, tín hiệu ngõ vào dài, dùng phương pháp cộng chồng lấp. Việc tính toán cho từng khối sẽ thực hiện như trên. 5/22/2010 10 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.1.4 Phân tích phổ tín hiệu dùng DFT: ¾ Xét chuỗi tín hiệu cần phân tích x(n), -∞ ≤ n ≤ ∞. ¾ Quan sát tín hiệu trong L mẫu, nghĩa là 0 ≤ n ≤ L-1.Tín hiệu quan sát lúc đó: xx ( n ) = x ( n ) w( n ), ⎧1 , 0 ≤ n ≤ L − 1 w( n ) = ⎨ ⎩ 0 , otherwise Hiện tượng rò phổ: ¾ Giả sử x(n) = cos Ω0n, -∞ ≤ n ≤ ∞. Lúc đó, xx(n) = cos Ω0n, 0 ≤ n ≤ L-1. Phổ của tín hiệu (biểu thức giải tích) dùng DTFT: W(Ω) X (Ω) = πδ (Ω − Ω0 ) + πδ (Ω + Ω0 ) XX (Ω) = 1 [W (Ω − Ω0 ) + W (Ω + Ω0 )] 2 trong đó, W(Ω) là biến đổi DTFT của hàm cửa sổ w(n). sin Ω L / 2 − j Ω ( L −1) / 2 W (Ω ) = e sin Ω / 2 5/22/2010 -2π/L 2π/L 11 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.1.4 Phân tích phổ tín hiệu dùng DFT (tt): XX(Ω) |X(Ω)| π -Ω0 0 Ω0 Phổ của tín hiệu dùng DFT: dán thêm N-L zeros vào x(n) rồi lấy DFT N điểmÆ phổ XX(k). Nhận xét: ¾ Phổ XX(Ω) không nằm tại một vị trí như X(Ω) mà bị trải ra trong miền tần số do đặc tính của cửa số w(n)Æ hiện tượng rò phổ. ¾ Như vậy, việc cửa sồ hóa (cắt cụt tín hiệu) sẽ làm sai lệch kết quả ước lượng phổ. 5/22/2010 12 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) Độ phân giải tần số: ¾ Xét tín hiệu gồm 2 thành phần tần số: x(n) = cos Ω1n + cos Ω2n, -∞ ≤ n ≤ ∞. Lúc đó, xx(n) = x(n)w(n) = cos Ω1n + cos Ω2n, 0 ≤ n ≤ L-1. ¾ Phổ của tín hiệu (biểu thức giải tích) dùng DTFT: X (Ω) = πδ (Ω − Ω1 ) + πδ (Ω + Ω1 ) + πδ (Ω − Ω 2 ) + πδ (Ω + Ω 2 ) XX (Ω) = 1 [W (Ω − Ω1 ) + W (Ω + Ω1 ) + W (Ω − Ω 2 ) + W (Ω + Ω 2 )] 2 |X(Ω)| π -Ω2 -Ω1 ¾ Nếu: ¾ Nếu: 5/22/2010 0 Ω1 Ω2 2π : L 2π : | Ω1 − Ω 2 |≥ L | Ω1 − Ω 2 |< W(Ω - Ω1) và W(Ω - Ω2) sẽ chồng lấn lên nhau Æ không phân biệt được 2 vạch phổ W(Ω - Ω1) và W(Ω - Ω2) được hiển thị tách biệt nhauÆ phân biệt được 2 vạch phổ 13 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) ¾ Giá trị : ΔΩ = 2π được gọi là độ phân giải phổ. Như vậy, hàm của sổ có chiều L dài L chỉ phân biệt được các thành phần tần số cách nhau một đoạn ít nhất là: ΔΩ = 2π . L ¾ Phổ tín hiệu dùng DFT: (Ω1 = 0.2π; Ω2 = 0.22π) Ảnh hưởng của đặc tính cửa sổ: ¾ Độ cao búp phụ: ảnh hưởng đến mức rò phổ. Muốn giảm rò phổ, chọn loại của sổ có búp phụ thấp. ¾ Độ rộng búp chính: ảnh hưởng đến độ phân giải. Muốn tăng độ phân giải, chọn loại của sổ có độ rộng búp chính hẹp. 5/22/2010 14 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) Quan hệ giữa tần số tương tự và tần số số: ¾ Các biểu thức liên quan đến quá trình lấy mẫu: Tín hiệu tương tự x(t) được lấy mẫu ở tốc độ fs trong khoảng thời gian T0. N T0 = N × TS = fS fS 1 = TS T0 x(t) và số mẫu thu được là N. Lúc đó: N = T0 f S 0 Ts 2Ts 3Ts …… t ¾ Quan hệ tần số: x(t) = Acos ωt = Acos 2πft Xét tín hiệu tương tự: Lấy mẫu tín hiệu này: x(nTs)= Acos ωnTs = Acos ωn/Ts Dạng tín hiệu rời rạc: Đồng nhất hai biểu thức, ta được: x(n) = AcosΩn = Acos2πFn Ω = ω TS hay: Tần số số (rad/mẫu) 5/22/2010 Tần số tương tự (rad/s) Ω = ω fS 15 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.1.4 Phân tích phổ tín hiệu dùng DFT (tt): Ví dụ 3: Cho tín hiệu sau: x(t) = sin2πt + sin3πt + sin5πt + sin5.5πt (t:ms) Tín hiệu này được lấy mẫu ở tốc độ fs = 10Khz. Để việc phân tích phổ dùng DFT cho 4 đỉnh tách biệt thì thời gian lấy mẫu là bao lâu T0? Lời giải: ¾ Các thành phần tần số: f1 =1 Khz; f2 =1.5 Khz; f3 =2.5 Khz; f4 =2.75 Khz. ¾ Khoảng cách tần số nhỏ nhất cần được phân biệt: Δf = 2.75 – 2.5 = 0.25 Khz ¾ Số mẫu tối thiểu cần phải lấy: fS 10 Khz N≥ = = 40 Δf 0.25 Khz 5/22/2010 Ω = 2π N ω fS ⇒ N ≥ ¾ Thời gian lấy mẫu: T0 = N × TS = ΔΩ ≥ N 40 = = 4 (ms ) f S 10000 fs Δf 16 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.1.4 Phân tích phổ tín hiệu dùng DFT (tt): Ví dụ 4: Cho tín hiệu sau: x(t) = sin2πt + sin4πt + sin2πf3t ; 1Khz≤f3≤3Khz (t:ms) Tín hiệu này được lấy mẫu ở tốc độ fs = 10Khz trong khoảng thời gian 20 ms. Tín hiệu sau đó được phân tích phổ dùng DFT. Xác định tầm giá trị của f3 để kết quả cho 3 đỉnh tách biệt? Lời giải: ¾ Các thành phần tần số: f1 =1 Khz; f2 =2 Khz; f3 Khz ¾ Số mẫu dữ liệu thu được: N = f S × T0 = 10 × 103 × 20 × 10−3 = 200 ¾ Khoảng cách tần số nhỏ nhất có thể phân biệt được: f S 10 Khz Δf = = = 0.05 Khz N 200 ¾ Tầm giá trị của f3: f3 ∈[ f1 +Δf ; f2 −Δf ] = [1+ 0.05;2 − 0.05] = [1.05Khz;1.95Khz] 5/22/2010 17 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.2 Giải thuật biến đổi Fourier nhanh FFT (Fast Fourier Transform) ¾ FFT là thuật toán cho phép tính DFT một cách hiệu quả (giảm độ phức tạp/ thời gian tính toán). 7.2.1 FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian: ¾ Giả sử tín hiệu x(n) có chiều dài N = 2v. ¾ Chia x(n) thành hai chuỗi con: g(n) = x(2n): gồm các mẫu ở vị trí chẵn h(n) = x(2n+1): gồm các mẫu ở vị trí lẻ ¾ Lấy DFT N điểm: X (k ) = N −1 ∑ x ( n )W n=0 = kn N N / 2 −1 ∑ g ( l )W l=0 = ∑ g ( l )W ∑ x ( n )W n =0; n=2l N / 2 −1 ∑ 2 kl N + kl N /2 +W N / 2 −1 l=0 5/22/2010 = N −1 l=0 + N −1 ∑ n=0 n = 2 l +1 x ( n )W Nk n h ( l )W N( 2 l + 1 ) k N / 2 −1 k N kn N ∑ l=0 h ( l )W Nlk/ 2 = G ( k ) + W Nk H ( k ) 18 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.2.1 FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian (tt): Trong đó: G(k): biến đổi DFT N/2 điểm của chuỗi g(l) H(k): biến đổi DFT N/2 điểm của chuỗi h(l) Æ Như vậy, X(k) có thể được tính từ các DFT N/2 điểm G(k) và H(k). Cụ thể là: X(0) = G(0) + W80H(0); X(1) = G(1) + W81H(1); …….. WNk + N = WNk WNk + N / 2 = −WNk X(4) = G(0) + W84H(0)= G(0) - W80H(0); X(5) = G(1) + W85H(1)= G(1) - W81H(1); ……….. 5/22/2010 G(k) và H(k): N/2 điểm Tính X(k) đòi hỏi N điểm ÆDùng tính chất tuần hoàn: G(k+N/2) = G(k) H(k+N/2) = H(k) 19 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.2.1 FFT cơ số 2 phân chia theo thời gian (tt): ¾ Sơ đồ thực hiện (N = 8) ¾ Tiếp tục thực hiện cho g(l) và h(l) như x(n) cho đến khi chỉ còn tính DFT 2 điểm Æ cần log2N lần chia. 5/22/2010 20 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) Sơ đồ FFT 8 điểm phân chia theo thời gian: 5/22/2010 21 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) Khối thực hiện cơ bản: W 80 = e − j 2π 0 /8 W 81 = e − j 2π 1/8 W 82 = e − j 2π 2 /8 W 83 = e − j 2π 3 /8 = 1 2 − j 2 = − j = = − 2 2 2 − j 2 2 2 Nhận xét: ¾ Việc tính toán DFT N điểm dùng giải thuật FFT cơ số 2 cần có: log2N: tầng tính toán Mỗi tầng yêu cầu: N/2: phép nhân phức và N: phép cộng phức. Æ Việc tính toán DFT N điểm dùng giải thuật FFT cần có: 5/22/2010 (N/2)log2N: phép nhân phức ( >< N2: phép nhân phức) Nlog2N: phép cộng phức ( >< N(N-1): phép cộng phức) 22 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.2.2 FFT cơ số 2 phân chia theo tần số: (chứng minh tương tự) Sơ đồ giải thuật FFT 8 điểm phân chia theo tần số 5/22/2010 23 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) 7.2.2 FFT cơ số 2 phân chia theo tần số: Khối thực hiện cơ bản: Nhận xét: ¾ Số lượng phép nhân phức và phép cộng phức giống như FFT phân chia theo thời gian. ¾ Sự khác nhau cơ bản giữa hai giải thuật là ở thứ tự sắp xếp dữ liệu ngõ vào, ngõ ra. Tính IDFT dùng giải thuật FFT: * * 1 ⎡ N −1 * 1 kn ⎤ * ⎡ ⎤ x(n) = ∑ X ( k )W N ⎥⎦ = N ⎣ D F T ( X ( k )) ⎦ N ⎣⎢ k = 0 hay: 5/22/2010 x(n) = * 1 ⎡⎣ F F T ( X * ( k )) ⎤⎦ N 24 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) Ví dụ 5: Cho tín hiệu: x(n)={4, 2, 0, -2, -4, 2, 0, -2} a. Tìm phổ X(k) dùng giải thuật FFT 8 điểm phân chia theo thời gian Lời giải: X(k) = {0, 8, -j8, 8, 0, 8, j8, 8} 5/22/2010 25 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) Ví dụ 5: Cho tín hiệu: x(n)={4, 2, 0, -2, -4, 2, 0, -2} b. Tìm phổ X(k) dùng giải thuật FFT 8 điểm phân chia theo tần số Lời giải: X(k) = {0, 8, -j8, 8, 0, 8, j8, 8} 5/22/2010 26 Bài giảng: Xử lý số tín hiệu Chương 7 BIẾN ĐỔI DFT VÀ GIẢI THUẬT FFT (tt) Bài tập: 7.1 (bài 11.1.4 trang 501) 7.2 (bài 11.1.7 trang 502) 7.3 (bài 11.1.20 trang 503) 7.4 (bài 11.1.22 trang 504) 5/22/2010 27 |
