\(\begin{array}{l}\sin n + \cos n \\= \sqrt 2 \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\sin n + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\cos n} \right) \\= \sqrt 2 \left( {\sin n\cos \frac{\pi }{4} + \cos n\sin \frac{\pi }{4}} \right)\\= \sqrt 2 \sin \left( {n + \dfrac{\pi }{4}} \right)\\\text {Vì } - 1 \le \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\\\Rightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {n + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \\\Rightarrow - \sqrt 2 \le \sin n + \cos n \le \sqrt 2 \,\,\forall n \in {N^*}\end{array}\) Video hướng dẫn giải
Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn? LG a \(u_n= 2n^2-1\) Phương pháp giải: Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi làbị chặn trênnếu tồn tại một sốMsao cho \({u_n} \le M\,\,\forall n \in N^*\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi làbị chặn dưới nếu tồn tại một sốmsao cho \({u_n} \ge m\,\,\forall n \in N^*\). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi làbị chặnnếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức làtồn tại các sốm,Msao cho \(m \le {u_n} \le M\,\,\forall n \in N^*\). Lời giải chi tiết: Ta có: \(n \ge 1 \Rightarrow {n^2} \ge 1 \Rightarrow 2{n^2} \ge 2 \) \(\Rightarrow 2{n^2} - 1 \ge 1 \Rightarrow {u_n} \ge 1,\forall n \in {N^*}\) Do đó \((u_n)\) bị chặn dưới bởi 1. Ngoài ra,\((u_n)\) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để \(2n^2-1 < M\) với mọi \(n\in N^*\). LG b \( u_n=\dfrac{1}{n(n+2)}\) Lời giải chi tiết: Dễ thấy \(u_n> 0 \,\, \forall n \in N^*\).
Mặt khác, vì:
\(\begin{array}{l} Suy ra\(0 < u_n\) \(\leq \dfrac{1}{3}\)với mọi\(n \in {\mathbb N}^*\). Vậy dãy số bị chặn. LG c \(u_n= \dfrac{1}{2n^{2}-1}\) Lời giải chi tiết: Dễ thấy\(u_n= \dfrac{1}{2n^{2}-1} > 0\) với mọi \(n\in N^*\)
Ta có:
\(\begin{array}{l} Vậy \(0 < u_n 1 \,\, \forall n \in N^*\), tức dãy số bị chặn. LG d \(u_n= \sin n + \cos n\) Lời giải chi tiết: Ta có:
\(\begin{array}{l} Vậy \(-\sqrt 2 \le u_n \le \sqrt 2 \,\, \forall n \in {\mathbb N}^*\), tức là dãy số là dãy bị chặn.
|
