\(\begin{array}{l}\frac{{\cot a\cot b + 1}}{{\cot a\cot b - 1}}\\ = \dfrac{{\frac{{\cos a}}{{\sin a}}.\frac{{\cos b}}{{\sin b}} + 1}}{{\frac{{\cos a}}{{\sin a}}.\frac{{\cos b}}{{\sin b}} - 1}}\\ = \dfrac{{\frac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\frac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\ = \dfrac{{\frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}}}{{\frac{{\cos \left( {a + b} \right)}}{{\sin a\sin b}}}}\\ = \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}:\frac{{\cos \left( {a + b} \right)}}{{\sin a\sin b}}\\ = \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}.\frac{{\sin a\sin b}}{{\cos \left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}}\end{array}\)
Video hướng dẫn giải
Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
LG a
\( \dfrac{\cos(a-b)}{\cos(a+b)}=\dfrac{\cot a \cot b+1}{\cot a \cot b-1}\) Phương pháp giải: Áp dụng các công thức:
+) \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)
+) \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\) Lời giải chi tiết: Áp dụng công thức \(\cos (a+b)\) với VT sau đó chia cả tử và mẫu cho \(\sin a \sin b\) ta được:
\(\begin{array}{l} \dfrac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\dfrac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\cos a\cos b}}{{\sin a\sin b}} + \dfrac{{\sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\dfrac{{\cos a\cos b}}{{\sin a\sin b}} - \dfrac{{\sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\ = \dfrac{{\dfrac{{\cos a}}{{\sin a}}.\dfrac{{\cos b}}{{\sin b}} - 1}}{{\dfrac{{\cos a}}{{\sin a}}.\dfrac{{\cos b}}{{\sin b}} + 1}}\\ = \dfrac{{\cot a\cot b + 1}}{{\cot a\cot b - 1}} \end{array}\)
Cách khác:
Có thể biến đổi ngược lại từ VP thành VT như sau:
\(\begin{array}{l} \frac{{\cot a\cot b + 1}}{{\cot a\cot b - 1}}\\ = \dfrac{{\frac{{\cos a}}{{\sin a}}.\frac{{\cos b}}{{\sin b}} + 1}}{{\frac{{\cos a}}{{\sin a}}.\frac{{\cos b}}{{\sin b}} - 1}}\\ = \dfrac{{\frac{{\cos a\cos b + \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}{{\frac{{\cos a\cos b - \sin a\sin b}}{{\sin a\sin b}}}}\\ = \dfrac{{\frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}}}{{\frac{{\cos \left( {a + b} \right)}}{{\sin a\sin b}}}}\\ = \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}:\frac{{\cos \left( {a + b} \right)}}{{\sin a\sin b}}\\ = \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\sin a\sin b}}.\frac{{\sin a\sin b}}{{\cos \left( {a + b} \right)}}\\ = \frac{{\cos \left( {a - b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right)}} \end{array}\)
LG b
\(\sin(a + b)\sin(a - b) = \sin^2a \sin^2b \)\(= \cos^2b \cos^2a\) Phương pháp giải: Áp dụng các công thức:
+) \(\sin \left( {\alpha + \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta .\)
+) \(\sin \left( {\alpha - \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta .\)
+) \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)
+) \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\) Lời giải chi tiết: \(VT = (\sin a\cos b + \cos a\sin b).\)\((\sin a\cos b - \cos a\sin b) \) \( =(\sin a\cos b)^2 (\cos a\sin b)^2 \) \(= {\sin ^2}a{\cos ^2}b - {\cos ^2}a{\sin ^2}b\)\( = \sin^2a(1 \sin^2b) (1 \sin^2 a)\sin^2b\) \(= {\sin ^2}a - {\sin ^2}a{\sin ^2}b - {\sin ^2}b + {\sin ^2}a{\sin ^2}b\) \(= \sin^2a \sin^2b \, \, (đpcm) \)
Lại có:
\( {\sin ^2}a{\cos ^2}b - {\cos ^2}a{\sin ^2}b\)
\( = ( 1 \cos^2a)\cos^2b \cos^2 a(1 \cos^2 b) \) \(= {\cos ^2}b - {\cos ^2}b{\cos ^2}a - {\cos ^2}a + {\cos ^2}a{\cos ^2}b\)
\( = \cos^2 b \cos^2 a \, \, (đpcm). \)
Hoặc từ \(VT = \sin^2a \sin^2b\) ta có:
\(\begin{array}{l} {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\\ = \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\ = 1 - {\cos ^2}a - 1 + {\cos ^2}b\\ = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\\ \Rightarrow VT = {\cos ^2}b - {\cos ^2}a\left( {dpcm} \right) \end{array}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l} \sin \left( {a + b} \right)\sin \left( {a - b} \right)\\ = - \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b + a - b} \right) - \cos \left( {a + b - a + b} \right)} \right]\\ = - \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a - \cos 2b} \right)\\ = - \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {1 - 2{{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - 2{{\sin }^2}b} \right)} \right]\\ = - \dfrac{1}{2}\left( { - 2{{\sin }^2}a + 2{{\sin }^2}b} \right)\\ = {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\left( {dpcm} \right) \end{array}\)
Mà
\(\begin{array}{l} {\sin ^2}a - {\sin ^2}b\\ = \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\ = - {\cos ^2}a + {\cos ^2}b \end{array}\)
suy ra đpcm.
LG c
\(\cos(a + b)\cos(a - b) = \cos^2a - \sin^2b\)\( = \cos^2b \sin^2a\) Phương pháp giải: Áp dụng các công thức:
+) \(\cos \left( {\alpha - \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .\)
+) \(\cos \left( {\alpha + \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .\) Lời giải chi tiết: \(VT = (\cos a\cos b - \sin a\sin b).(\cos a\cos b + \sin a\sin b) \) \( = (\cos a\cos b)^2 (\sin a\sin b)^2\)
\(\begin{array}{l} = {\cos ^2}a{\cos ^2}b - {\sin ^2}a{\sin ^2}b\\ = {\cos ^2}a\left( {1 - {{\sin }^2}b} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}a} \right){\sin ^2}b\\ = {\cos ^2}a - {\cos ^2}a{\sin ^2}b - {\sin ^2}b + {\cos ^2a}{\sin ^2}b\\ = {\cos ^2}a - {\sin ^2}b\left( {dpcm} \right)\\ = \left( {1 - {{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\ = - {\sin ^2}a + {\cos ^2}b\\ = {\cos ^2}b - {\sin ^2}a \end{array}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l} \cos \left( {a + b} \right)\cos \left( {a - b} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b + a - b} \right) + \cos \left( {a + b - a + b} \right)} \right]\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\cos 2a + \cos 2b} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 1 + 1 - 2{{\sin }^2}b} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}a - 2{{\sin }^2}b} \right)\\ = {\cos ^2}a - {\sin ^2}b\\ = \left( {1 - {{\sin }^2}a} \right) - \left( {1 - {{\cos }^2}b} \right)\\ = {\cos ^2}b - {\sin ^2}a \end{array}\)
|