Trong phần này, congthuc.edu.vn tổng kết lại toàn bộ kiến thức về phương trình lượng giác của các dạng của hàm sin, cos, tan, cot, công thức tính nghiệm. Một số ví dụ và một số trường hợp đặt biệt trong tính nghiệm, cách gộp nghiệm, các công thức đặc biệt trong ptlg cơ bản Ví dụ để giải phương trình sin2x = cos3x có thể đưa về sin2x =sin(90 -3x) hoặc cos (90 -2x) = cos3x sau đó áp dụng công thức nghiệm để giải phương trình này. Ngoài ra một số cách giải ptlg cơ bản đặc biệt cũng được trình bày ở đây.  12:47:2821/07/2021 Nội dung bài này chúng ta sẽ tìm hiểu về các phương trình lượng giác cơ bản này, cách tìm tập nghiệm của các phương trình lượng giác sinx, cosx, tanx hay cotx như thế nào? • Bài tập phương trình lượng giác cơ bản có đáp án 1. Phương trình sinx = a (1) - Nếu |a| > 1: phương trình (1) vô nghiệm. - Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn sinα = a. Khi đó phương trình (1) có các nghiệm là Nếu α thỏa mãn điều kiện và sinα = a thì ta viết: α = arcsina. Khi đó các nghiệm của phương trình (1) là: x = arcsina + k2π, k ∈ Z và x = π - arcsina + k2π, k ∈ Z. * Nghiệm sinx = a trong các trường hợp đặc biệt: ° a = 1 khi đó sinx = 1 ° a = -1 khi đó sinx = -1 ° a = 0 khi đó sinx = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z ° Đặc biệt nếu: +) +) * Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau: a) sinx = 1/3; b) sin(x + 45o) = (-√2)/2. > Lời giải: a) sinx = 1/3 ⇔ x = arcsin(1/3). - Vậy phương trình sinx = 1/3 có các nghiệm là: x = arcsin(1/3) + k2π, k ∈ Z và x = π - arcsin(1/3) + k2π, k ∈ Z b) sin(x + 45o) = -(√2)/2. - Vì: (-√2)/2 = sin(-45o) nên sin(x + 45o) = (-√2)/2 ⇔ sin(x+45o) = sin(-45o) ⇔ x + 45o = -45o + k360o, k ∈ Z ⇔ x = -45o - 45o + k360o, k ∈ Z và x + 45o = 180o - (-45o) + k360o, k ∈ Z ⇔ x = -90o + k360o, k ∈ Z và x = 180o - (-45o ) - 45o + k360o,k ∈ Z Vậy: x = -90o + k360o, k ∈ Z và x = 180o + k360o, k ∈ Z 2. Phương trình cosx = a (2) - Nếu |a| > 1: phương trình (2) vô nghiệm. - Nếu |a| ≤ 1: gọi α là một cung thỏa mãn cosα = a. Khi đó phương trình (2) có các nghiệm là: x = α + k2π, k ∈ Z và x = -α + k2π, k ∈ Z. Nếu α thỏa mãn điều kiện và cosα = a thì ta viết: α = arccosa. Khi đó các nghiệm của phương trình (2) là: x = arccosa + k2π, k ∈ Z và x = -arccosa + k2π, k ∈ Z. * Nghiệm cosx = a trong các trường hợp đặc biệt: ° a = 1 khi đó cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ Z ° a = -1 khi đó cosx = -1 ° a = 0 khi đó cosx = 0 ° Đặc biệt nếu: +) +) * Ví dụ: Giải các phương trình lượng giác sau: a) cosx = (-1)/2; b) cosx = 2/3; c) cos(x + 30o) = √3/2. > Lời giải: a) cosx = (-1)/2; - Vì (-1)/2 = cos(2π/3) nên cosx = (-1)/2 ⇔ cosx = cos(2π/3) ⇔ x = ±2π/3 + k2π, k ∈ Z b)cos x = 2/3 ⇔ x = ± arccos 2/3 + k2π, k ∈ Z c) cos(x + 30o) = √3/2. - Vì (√3)/2 = cos30o nên cos(x + 30o)= (√3)/2 ⇔ cos(x + 30o) = cos30o ⇔ x + 30o = ±30o + k360o, k ∈ Z ⇔ x = k360o, k ∈ Z và x = -60o + k360o, k ∈ Z 3. Phương trình tanx = a (3) - Điều kiện: - Nếu α thỏa mãn điều kiện và tanα = a thì ta viết: α = arctana. Khi đó các nghiệm của phương trình (3) là: x = arctana + kπ, k ∈ Z * Đặc biệt nếu: +) tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z +) tanx = tanβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z * Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau: a) tanx = 1; b) tanx = -1; c) tanx = 0. > Lời giải: a) tanx = 1 ⇔ tanx = tan(π/4) ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z b) tanx = -1 ⇔ tanx = tan(-π/4) ⇔ x =(-π/4) + kπ, k ∈ Z c) tanx = 0 ⇔ tanx = tan0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z 4. Phương trình cotx = a (4) - Điều kiện: x ≠ kπ, k ∈ Z. - Nếu α thỏa mãn điều kiện và cotα = a thì ta viết: α = arccota. Khi đó các nghiệm của phương trình (4) là: x = arccota + kπ, k ∈ Z * Đặc biệt nếu: +) cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z +) cotx = cotβ0 ⇔ x = β0 + k1800 , k ∈ Z. * Ví dụ: Giải phương trình lượng giác sau a) cotx = 1; b) cotx = -1; c) cotx = 0. > Lời giải: a)cotx = 1 ⇔ cotx = cot(π/4) ⇔ x = π/4 + kπ, k ∈ Z b)cotx = -1 ⇔ cotx = cot(-π/4) ⇔ x = (-π/4) + kπ,k ∈ Z c)cotx = 0 ⇔ cotx = cot(π/2) ⇔ x = π/2 + kπ, k ∈ Z > Lưu ý: Khi giải phương trình lượng giác các em cần lưu ý: - Khi giải phương trình lượng giác có chứa tan hay cot, chứa ẩn ở mẫu, căn bậc chẵn,...thì cần đặt điều kiện cho ẩn. - Khi giải xong phương trình thì cần chú ý thử lại đáp án, kiểm tra điều kiện.
Trên đây là nội dung lý thuyết Phương trình lượng giác cơ bản và Cách giải. KhoiA hy vọng các em có thể nắm vững kiến thức này để vận dụng tốt vào phần bài tập ở bài viết tiếp theo, chúc các em học tốt.
VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Phương trình lượng giác cơ bản, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11. Nội dung bài viết Phương trình lượng giác cơ bản: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM. Phương trình sin x = a. Trường hợp g > 1 phương trình vô nghiệm, vì sinx < 1 với mọi x. Trường hợp a 1 phương trình vô nghiệm, vì –1 < cosx < 1 với mọi x. Trường hợp phương trình có nghiệm, cụ thể: Phương trình tan x = a. Phương trình cotx = a. CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG. Ví dụ 1. Giải các phương trình Lời bình: Những phương trình trên là những phương trình lượng giác cơ bản. Sử dụng MTCT ta có thể tìm được các giá trị đặc biệt của hàm số lượng giác a) sin3x dùng MTCT (ở chế độ rad) ta ấn SHIF sin2 ta được kết quả là 5. Do đó: sin3x. Hoàn toàn tương tự cho câu. Do đó, phương trình tan = 2 ta chỉ có thể ghi = arctan2 + km. Trên MTCT không có hàm cot, tuy nhiên ta thừa biết cot a. Do đó, đối với câu d) tuy nhiên không nên giải theo cách này vì mất đi cái vẻ đẹp của toán học. Lời giải ban đầu sử dụng dụng công thức hạ bậc với các phép biến đổi hết sức đơn giản đưa về phương trình rất đẹp với đáp số. Nhận xét: Phương trình sin 2x = cos3x được chuyển thành cos3x = cos3 – 2x , ta cũng có thể chuyển thành dạng sau: sin 2x = sin23x. Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình sinx = 4m – 1(*). Phương trình (*) vô nghiệm phương trình đã cho có nghiệm x < 0. Ví dụ 6. Giải phương trình. Vậy nghiệm của phương trình là x. Lưu ý: Một số học sinh mắc sai lầm nghiêm trọng (lỗi rất cơ bản) là rút gọn phương trình ban đầu cho sin2x, dẫn đến thiếu nghiệm. b) Định hướng: Cả hai vế phương trình đều cho dưới dạng tích của hai hàm lượng giác. Thông thường ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng. Vậy có tất cả 4 nghiệm thỏa mãn bài toán. Câu 21: Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x + c trên đường tròn lượng giác. Biểu diễn nghiệm x = -4 + km trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 1). Biểu diễn nghiệm x = 4 + km trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí (hình 2). Vậy có tất cả 4 vị trí biểu diễn các nghiệm các nghiệm của phương trình. Số vị trí biểu diễn trên đường tròn. Cách trắc nghiệm. Ta đưa về dạng x = a + b lượng giác là n. Nhận xét. Cách trắc nghiệm tuy nhanh nhưng cẩn thận các vị trí có thể trùng nhau. Câu 22: Với những giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y = sin 3x và y = sin x bằng nhau? Xét phương trình hoành độ giao điểm: sin 3x = sinx. |
