I. ĐẶT VẤN ĐỀ Lí do chọn đề tài:Xuất phát từ những lí do sau đây: Đào tạo ra những thế hệ con người Việt Nam có đủ đức, đủ tài để đứng lênlàm chủ tương lai đất nước là nhiệm vụ mà Đảng và Nhà nước giao cho ngànhGiáo dục. Vì lẽ đó việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là việc làm rấtquan trọng và cần thiết trong quá trình dạy học, giáo dục học sinh. Phát triển tưduy sáng tạo sẽ giúp học sinh tự tin vào bản thân để không ngừng khám phá, tìmtòi, phát hiện cái mới; tư duy sáng tạo sẽ giúp học sinh chủ động tiếp thu kiếnthức, có nghị lực và niềm tin để chinh phục những khó khăn trong học tập. Caohơn tư duy sáng tạo sẽ giúp học sinh tìm ra con đường ngắn nhất, nhanh nhất đểđạt thành công trong học tập, trong cuộc sống. Xuất phát từ đặc thù của bộ môn toán với sự khái quát và trừu tượng cao,sự liên kết liên tục các kiến thức toán học theo từng năm học, từng cấp học.Điều đó đòi hỏi học sinh không chỉ cần phải tích cực, chủ động tiếp thu, lĩnh hộikiến thức mới mà còn phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức đã học, biết kết nốinhững kiến thức cũ để chiếm lĩnh kiến thức mới… Vì lẽ đó việc đổi mới phươngpháp dạy học trong dạy học môn Toán càng trở nên quan trọng, bức thiết và đócũng chính là nhiệm vụ của những người giáo viên dạy Toán. Nội dung hình học không gian thường được xem là nội dung khó học nhấtđối với học sinh THPT, khi dạy học chủ đề này nhiều giáo viên cảm thấy khódạy, không mấy hứng thú như các chủ đề khác của môn Toán. Nguyên nhânquan trọng dẫn đến thực trạng nêu trên là do hình học không gian đòi hỏi mứcđộ tư duy và tưởng tượng cao; học sinh đang quen với tư duy về hình học phẳngnên gặp nhiều khó khăn khi làm quen và tư duy về hình học không gian. Để họctốt hình học không gian học sinh cần phát huy tư duy sáng tạo, ngược học sinhhọc tốt môn toán nói chung chủ đề hình học không gian nói riêng thì sẽ gópphần phát triển tư duy sáng tạo. Những lí do nêu trên là cơ sở để tôi chọn đề tài nghiên cứu: “Vận dụngmột số phương pháp giải toán hình học không gian lớp 11 nhằm phát triển tưduy sáng tạo cho học sinh THPT”.II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ1. Một số vấn đề về cơ sở lí luận của đề tài.a. Cơ sở Toán học. + Các định nghĩa, định lý, tính chất về hình học phẳng ở THCS, hình họckhông gian trong SGK Hình học 11.+ Các tính chất về phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc, cụ thể: * Đối với phép chiếu song song các tính chất sau đây thường được sửdụng khi giải bài tập toán hình học:1Tính chất 1: Qua phép chiếu song song các yếu tố sau đây không thayđổi (bất biến):+ Tỉ số của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặctrùng nhau.+ Sự thẳng hàng của 3 điểm ( phương chiếu không song song với đườngthẳng chứa 3 điểm đó).+ Độ dài đoạn thẳng thuộc đường thẳng song song với phương chiếukhông thay đổi, nghĩa là biến đọan AB thành A’B’ và AB = A’B’.Tính chất 2: + Phép chiếu song song biến đường thẳng không song song với phươngchiếu thành đường thẳng.+ Biến trung điểm của đoạn thẳng không thuộc đường thẳng song songvới phương chiếu thành trung điểm của đoạn thẳng.Tính chất 3: a. Ảnh của ba điểm phân biệt qua một phép chiếu song songtrùng nhau thì ba điểm đó thẳng hàng. b. Phép chiếu song song theo hai phương không cùngphương biến ba điểm A, B, C lần lượt thành thành 3 điểm thẳng hàng A1, B1,C1 và A2, B2, C2 thì A, B, C thẳng hàng.* Đối với phép chiếu vuông góc tính chất sau đây thường được sử dụng: Tính chất: Qua phép chiếu vuông góc một góc vuông có ảnh là một gócvuông khi và chỉ khi có một cạnh song song hoặc thuộc mặt phẳng chiếu, cạnhcòn lại không vuông góc với mặt phẳng chiếu.b. Cơ sở tâm lý học.Theo các nhà tâm lý học, con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảysinh nhu cầu cần tư duy, tức là khi đứng trước một khó khăn về nhận thức cầnphải khắc phục, một tình huống gợi vấn đề, hay nói như Rubinstein: “Tư duysáng tạo luôn luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề”. Việc giải bài toánnói chung, giải toán hình học không gian nói riêng đặt học sinh đứng trước mộtkhó khăn, khó khăn này có thể giải quyết được nếu học sinh nắm vững đượcnhững kiến thức đã học và biết cách vận dụng chúng. Như vậy các phương phápgiải toán hình học không gian chính là những công cụ hữu hiệu để học sinh cóniềm tin, có động lực để giải các bài toán hình học. Những hoạt động toán học nói chung, họat động hình học nói riêng sẽ tạora nhiều tình huống gợi vấn đề từ đó tạo cho học sinh nhu cầu tư duy hình học,tư duy toán học. Theo cơ sở tâm lý học đã được các nhà tâm lý học kết luận vàđã được kiểm chứng trong thực tiễn giáo dục thì những nhu cầu tư duy nêu trênsẽ là cơ sơ để học sinh tiếp thu, lĩnh hội kiến thức hình học mới, kiến thức toánhọc mới.c. Cơ sở giáo dục học.Hoạt động nhận thức toán học của học sinh được hiểu “ là quá trình tư duydẫn tới lĩnh hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó, xácđịnh được các mối liên hệ nhân quả và các mối liên hệ khác của các đối tượng2toán học được nghiên cứu ( khái niệm; quan hệ; quy luật toán học;…); từ đó họcsinh vận dụng được tri thức toán học giải quyết các vấn đề thực tiễn” .Mục tiêu chủ yếu của việc phát triển hoạt động nhận thức trong dạy họctoán là phát triển trí tuệ và nhân cách của học sinh. Ở đây sự phát triển trí tuệđược hiểu là sự thay đổi về chất trong hoạt động nhận thức. Sự biến đổi đó đượcđặc trưng bởi sự thay đổi cấu trúc cái được phản ảnh và phương thức phản ánhchúng. Nói như vậy đồng nghĩa với phát triển trí tuệ là sự thống nhất giữa việcvũ trang tri thức và việc phát triển một cách tối đa phương thức phản ánh chúng.Trong sự thống nhất đó dẫn đến làm thay đổi cấu trúc bản thân hệ thống tri thức(mở rộng cải tiến, bổ sung, cấu trúc lại) làm cho hệ thống tri thức ngày càngthêm sâu sắc và phản ánh đúng bản chất, tiếp cận dần với chân lí và điều chỉnh,mở rộng các phương thức phản ánh, đôi khi đi đến xóa bỏ những phương thứcphản ánh cũ để hình thành những phương thức phản ánh mới hợp lí hơn, sángtạo hơn, phù hợp với quy luật tự nhiên và xã hội. Phát triển trí tuệ được hiểu cụthể qua phát triển các năng lực trí tuệ bao gồm năng lực thu nhận thông tin toánhọc; năng lực chế biến thông tin toán học; năng lực tư duy logic, tu duy biệnchứng, tư duy phê phán, tư duy định lượng; năng lực khái quát nhanh chóng vàrộng rãi các đối tượng, các quan hệ, các mối liên hệ trong toán học; có tính mềmdẻo trong quá trình tư duy; năng lực thay đổi nhanh chóng chuyển hướng suynghĩ từ dạng này sang dạng khác.Như vậy thông qua hoạt động nhận thức toán học nói chung, hoạt độngnhận thức về hình học không gian nói riêng sẽ nhằm thực hiện mục tiêu giáo dụcnhân cách cho học sinh; giáo dục tư duy phê phán; cách giải quyết vấn đề sángtạo; cách xử lí thông tin… trong cuộc sống thực tiễn.2. Thực trạng của đề tài.Qua thực tiễn quá trình dạy học đồng thời thông qua việc tìm hiểu, điều tratừ giáo viên và học sinh ở các trường THPT trên địa bàn huyện Yên Định; tổnghợp các thông tin có được khi tìm hiểu trên các phương tiện thông tin đại chúngtôi nhận thấy trong việc dạy và học chủ đề hình học không gian tồn tại nhữngthực trạng sau:+ Đối với giáo viên:- Nhiều giáo viên cảm thấy ít hứng thú khi dạy chủ đề hình học không giandẫn đến chưa thực sự tìm tòi, đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với đốitượng học sinh.- Chưa phát huy hiệu quả tính chủ động, sáng tạo của học sinh. Ít khuyếnkhích học sinh tìm tòi, khám phá những cách giải mới.- Chưa xây dựng được hệ thống bài tập đa dạng, phù hợp với từng đốitượng học sinh ( chủ yếu các bài tập được lấy trong SGK). + Đối với học sinh:- Đa số cảm thấy khó dẫn đến ngại, không hứng thú khi học hình khônggian. Cá biệt có nhiều đối tượng học sinh bỏ hẵn không học phần hình họckhông gian mà chỉ tập chung vào các chủ đề khác.3- Tư tưởng xem nhẹ chủ đề hình học không gian của nhiều học sinh xuấtphát từ việc nhận thức chủ đề này chỉ chiếm một phần nhỏ trong các kì thi đạihọc, nhiều học sinh cho rằng có thể học tốt các chủ đề khác để khi thi sẽ bù chochủ đề hình học không gian.- Đa số học sinh chưa ý thức sâu sắc việc học tốt hình học không gian sẽgóp phần phát triển tư duy sáng tạo từ đó góp phần học tốt các chủ đề khác, cácmôn học khác.- Đa số học sinh ít chủ động tư duy khi giải toán hình học không gian, mộtsố nắm được các phương pháp giải toán hình học không gian nhưng sử dụngchưa linh hoạt, thiếu sáng tạo.3. Các biện pháp giải quyết vấn đề.Nhằm nâng cao kết quả học tập và góp phần phát triển tư duy sáng tạo chohọc sinh thông qua dạy học chủ đề hình học không gian lớp 11 tôi đã thực hiệncác nội dung chính như sau:+ Công tác chuẩn bị: - Đánh giá đối tượng học sinh; soạn bài; xây dựng hệ thống bài tập đa dạngnhưng phù hợp với nội dung chương trình và đối tượng học sinh.- Ngoài các tiết dạy chính theo phân phối chương trình tùy theo mức độnhận thức của học sinh để xây dựng kế hoạch dạy tự chọn, bồi dưỡng hay phụđạo cho học sinh về chủ đề hình học không gian.- Chuẩn bị các đồ dùng học tập cần thiết ( các tài liệu, mô hình hình học,các phần mềm hỗ trợ dạy học hình học không gian….).+ Tổ chức thực hiện:- Dạy học theo chương trình, kế hoạch đã đề ra.- Trang bị cho học sinh các phương pháp giải toán hình học không gianthông qua các bài tập, ví dụ điển hình.- Đưa ra những bài tập ôn tập, các bài tập phát triển tư duy hình học phùhợp với đối tượng học sinh. - Tích cực đổi mới phương pháp dạy học như: Tăng cường hoạt động theonhóm, sử dụng các mô hình trực quan… Khuyến khích học sinh giải toán hìnhhọc không gian bằng nhiều cách. Đặt ra các câu hỏi, các vấn đề đòi hỏi học sinhphải tích cực tư duy để trả lời.- Giao bài tập về nhà phù hợp với đối tượng học sinh, chú trọng các bài tậpđòi hỏi học sinh phải chủ động và sáng tạo. - Kiểm tra, đánh giá, phân loại học sinh bằng nhiều hình thức ( cả định tínhvà định lượng). Cụ thể trong quá trình dạy học chủ đề hình học không gian lớp 11 tôi đãxác định và thực hiện hiệu quả một số biện pháp sau đây:3.1. Biện pháp 1: Vận dụng phương pháp tách các bộ phận phẳng ra khỏikhông gian.Khi giải quyết các bài toán hình học không gian học sinh gặp phải nhiềukhó khăn hơn so với các bài toán hình học phẳng như: Việc tưởng tượng, hình4dung để tìm các mối liên hệ giữa các yếu tố hình học ( như quan hệ giữa cácđường thẳng, mặt phẳng…); việc vẽ hình để biểu diễn hình không gian trongmặt phẳng… Khó khăn này sẽ ảnh hưởng đến việc vận dụng lí thuyết để giảiquyết các bài toán hình học không gian. Để khắc phục khó khăn này việc táchcác bộ phận phẳng ra khỏi không gian sẽ giúp học sinh quy một bài toán phứctạp về giải quyết bài toán đơn giản hơn, dễ hiểu và dễ thực hiện hơn. a. Các ví dụ minh họa.Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G, AG cắt (BCD) tại A’. Chứng minhrằng A’ là trọng tâm của tam giác BCD ( Đường thẳng đi qua một đỉnh và trọngtâm của tứ diện đi qua trọng tâm của mặt đối diện với đỉnh ấy).Định hướng phương pháp và lời giải: Bằng việc bóc tách các yếu tố phẳng ra khỏi không gian, bài toán trên đượcchuyển thành bài toán hình học phẳng sau đây:Cho tam giác ABN, M là trung điểm của AB, G là trung điểm của MN, AG cắt cạnh BN tại A’. Chứng minh rằng BA’ = 2 A’N .Bài toán này học sinh THCS có thểdễ dàng chứng minh được sau khiđã học tính chất đường trung bình.Cụ thể chứng minh như sau:Kẻ đường thẳng qua M song songvới AA’ cắt BN tại D. MD; GA’lần lươt là đường trung bình của ∆ABA’ và ∆NMD nên BD = DA’ =A’N. Vậy BA’ = 2A’N.Ví dụ 2: (SGK hình học 11 - Cơ bản) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Chứng minh đường thẳng AC’ đi qua trọng tâm G của ∆BA’D.Định hướng phương pháp và lời giải:GDA'MNBA5A'GNMDCB Không gian Mặt phẳngABài toán sẽ trở nên đơn giản hơn, dễ hình dung, dễ giải quyết hơn nhiều nếu họcsinh biết cách bóc tách các bộ phận phẳng ra khỏi không gian để đưa về bài toánhình học phẳng sau: Cho hình bình hành AA’C’C, O là trung điểm cạnh AC, A’O cắt cạnh AC’ tạiG. Chứng minh C’G = 2AG.OGB'C'D'A'DCBA Chứng minh: Gọi E là trung điểm A’C’ kẻ CE cắt AC’ tại M. Dễ thấy A’ECO là hình bìnhhành nên CE // A’O. Vậy OG và EM lần lượt là đường trung bình của ∆ADC và∆C’A’G ⇒ AG = GM = MC’. (đpcm).Ví dụ 3: Tứ diện SABC, có các cạnh bên tạo với mặt đáy góc α. Đáy ∆ABCvuông tại C, cạnh AB = a. Tính theo a bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hìnhchóp.Định hướng phương pháp và lời giải: Gọi H là chân đường cao hạ từ S thì:HA = HB = HC, vì ∆ABC vuông tại C nên ⇒ H là trung điểm AB.6AEMGOA'C'CA HCBSA Tam giác SAB cân tại S, AB = a, góc A = α. Tính bán kính đường tròn ngoạitiếp ∆SAB.Bài toán phẳng trên được giải quyết dễ dàng khi sử dụng định lý hàm số Sin nhưsau: RSinSAB2= α2sin2aR=⇒b. Một số bài tập áp dụng.Bài 1: ( Trang 103 - Hình học 11 - Nâng cao)Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc.a. Chứng minh tam giác ABC có ba góc nhọn.b. Chứng minh rằng hình chiếu H của điểm O trên (ABC) trùng với trựctâm của tam giác ABC.c. Chứng minh rằng 22221111OCOBOAOH++=.Bài 2: Tính bán kính của một mặt cầu ngoại tiếp một hình chóp tam giácđều có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng b.Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau vàOA = a, OB = b, OC = c. Gọi H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC).Tính diện tích các tam giác HAB, HBC và HCA..OαSA BαĐến đây học sinh có thể tínhbán kính bằng cách sử dụng tínhchất đồng dạng của tam giác.Tuy nhiên học sinh có thể giảiquyết bài toán một cách đơngiản hơn nếu nhận thấy rằngtâm của mặt cầu cũng chính làtâm của đường tròn ngoại tiếp∆SAB, từ đó tách yếu tố phẳngra khỏi không gian để đưa vềgiải bài toán phẳng đơn giảnhơn như sau: 7Không gianMặt phẳngc. Một số nhận xét.+ Yếu tố cốt lõi để giải được các bài toán hình học không gian thường bịche khuất, khó phát hiện bởi hình không gian thường có nhiều đường phụ gâykhó khăn cho học sinh trong việc hình dung, tưởng tượng. Vì vậy khéo léo bóctách các yếu tố phẳng ra khỏi không gian sẽ giúp học sinh đơn giản hóa bài toán,dễ dàng tìm ra yếu tố then chốt của bài toán từ đó giải toán dễ dàng hơn.+ Hoạt động tách bộ phận phẳng ra khỏi không gian có những ý nghĩa cụthể đó là:- Xác lập liên hệ giữa hình học không gian và hình học phẳng.- Kết nối dạy học toán THCS và THPT.- Xác lập liên hệ liên môn, liên hệ bên trong của môn toán.- Nâng cao hiệu quả hoạt động giải toán hình học không gian từ đó gópphần phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.3.2. Biện pháp 2: Vận dụng phương pháp trải hình.Nhiều bài toán hình học không gian được giải quyết dễ dàng bằng cáchđưa về giải bài toán hình học phẳng thông qua hoạt động trải hình (hay khaitriển hình). Đây là hoạt động khai triển các yếu tố không gian lên trên cùng mộtmặt phẳng, chuyển bài toán không gian về bài toán hình học phẳng, gắn kết bàitoán phẳng và bài toán không gian.a. Các ví dụ minh họa:Ví dụ 4: Chứng minh trong một tứ diện có các cặp cạnh đối đôi một bằngnhau ( tứ diện gần đều) thì các góc tam diện tại mỗi đỉnh có tổng các góc phẳngbằng 1800.Định hướng phương pháp và lời giải:DCAB8Ta trải các tamgiác ABC, ABD, DCDlên mặt phẳng (BCD)sao cho điểm A của ∆ABC nằm ở vị trí củađiểm A và khôngthuộc nửa mặt phẳngchứa D có bờ BC;tương ứng điểm A của∆ABD nằm ở vị tríđiểm A2; điểm A của∆ACD nằm ở vị tríđiểm A3. A3A2DCBA1Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 cạnh a, M;N lần lượt thuộc các cạnh AD; BB1 sao cho AM = BN. Gọi I; J lần lượt là trung điểm của AB; C1D1.a/ Chứng minh IJ cắt và vuông góc với MN tại trung điểm của MN.b/ Dựng thiết diện của lập phương tạo bởi mặt phẳng chứa MN; IJ. Tìm vịtrí của M, N sao cho thiết diện có chu vi bé nhất.Định hướng phương pháp và lời giải: KFENMJIA1D1C1B1BCDA9Khi đó BA1 = BA2 =CD; BC = DA2 = DA3 và BD= CA1 = CA3 nên các tứ giácBCDA2; DBCA3 là các hìnhbình hành ⇒ BC//DA2;BC//DA3 ⇒ A2; D; A3thẳng hàng. Tương tự A1; B;A2 và A1; C; A3 thẳng hàng ⇒ + + = 180 ⇒ đpcm.a/ Kéo dài IN cắtAA1 tại K, ta cóAK = BN ⇒ AK =AM ⇒ MK // AD1. VìIJ//AD1 ⇒IJ //KM, vậy IJ làđường trung bìnhcủa ∆ NKM ⇒ IJcắt MN tại trungđiểm của MN. Mặt khác tam giácMIN cân tại I ( IM= IN) nên IJ vuônggóc với MN.⇒ đpcmb/ Dễ thấy thiết diện cần tìm là lục giác IMFJEN trong đó E; F lần lượt thuộcDD1; B1C1 sao cho MF//AD1; NE//BC1. Khi đó MF//IJ//NE và FD1= EC1 =BN = AM = x (ax 0).Khi đó chu vi của thiết diện = 2(IM + MF + FJ). Tìm vị trí của M, N để chuvi thiết diện bé nhất ta có thể tính chu vi theo x và đưa bài toán hình học về bàitoán giải tích. Tuy nhiên cách làm này tương đối phức tạp, bài toán có thể đượcgiải theo cách đơn giản hơn thông qua họat động trải hình cụ thể như sau:Ta trải các mặt ABCD và DCC1D1 lên mặt phẳng (ADD1A1) sao cho cácđiểm B, C, I của mặt ABCD lần lượt nằm ở vị trí các điểm B’, C’, I’ và khôngcùng thuộc nửa mặt phẳng chứa D1, A1 có bờ AD. Tương tự các điểm C, C1, Jlần lượt nằm ở vị trí các điểm C’, C1’, J’.F'M'C'C1'J'I'C'B'FENMJIA1D1C1B1BCDAKhi đó việc giải bài toán không gian được quy về giải bài toán hình học phẳng như sau:Gọi chu vi của thiết diện là P, ta có: P = 2(I’M + MF + FJ’). Vì vậy để P bé nhất ta tìm vị trí của M, F sao cho I’M + MF + FJ’ bé nhất, dễ thấy khi đó M trùng với M’ và F trùng với F’ ( M’; F’ lần lượt là giao điểm của I’J’ với AD và DD1) ⇒ P bé nhất ⇔M; N lần lượt là trung điểm của AD; BB1.b. Một số bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng minh tổng các góc phẳng của một hình chóp lớn hơn 180 thìmỗi cạnh bên của nó nhỏ hơn nửa chu vi đáy.10Bài 2: Cho tứ diện gần đều ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho chu vi tam giác MCD nhỏ nhất. Xác định giá trị nhỏ nhất của chu vi đó.Bài 3: Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Một mặt phẳng cắt 4 cạnh của tứ diện lần lượt tại M, N, P, Q. Chứng minh rằng chu vi p của thiết diện MNPQ không nhỏ hơn 2a và không lớn hơn 3a.Bài 4: Tứ diện ABCD có: AC = AD = BC = BD = 1; AB = a; CD = b; M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Tìm trên cạnh AD một điểm P sao cho PM + PN đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.c. Nhận xét: + Phương pháp trải hình được vận dụng nhiều trong các bài toán xác địnhvị trí của một điểm; các bài toán cực trị hình học.+ Có thể giải các bài toán trên bằng cách khác tuy nhiên đơn giản và hiệuquả nhất vẫn là vận dụng phương pháp trải hình.+ Việc biết cách vận dụng phương pháp trải hình sẽ giúp học sinh giảiđược nhiều bài toán hình không gian hay và khó từ đó giúp học sinh rèn luyệnvà phát triển tư duy sáng tạo. 3.3. Biện pháp 3: Vận dụng phương pháp sử dụng tính bất biến của phépchiếu song song.Nhiều bài toán hình học đặc biệt là bài toán hình không gian dễ dàng giảiquyết được thông qua hoạt động sử dụng tính bất biến của phép chiếu songsong.a. Các ví dụ mình họa:Ví dụ 6: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’. Chứng minh các đỉnh A,C’ và trọng tâm G của ∆BDA’ thẳng hàng.Định hướng phương pháp và lời giải: Hướng 1: GO'KOC'B'A'D'DCBA11 Xét phép chiếu S lên mặt phẳng (A’B’C’D’) theo phương AC’.Khi đó phép chiếu S biến A thành C’, biến C’ thành C’, biến O thành O’.Ta có OO’//AC’, O’ thuộc (A’B’C’D’) nên O’ là giao của OK và A’C’. ''''''OACAOAGA=⇒⇒ C’ là ảnh của G qua phép chiếu S ⇒ A, G, C’ thẳnghàng. Hướng 2: G'O'GOC'B'A'D'DCBAXét phép chiếu lên (AA’B’B) theo phương AD biến A thành A, biến C’thành B’, biến O thành O’ là trung điểm AB, biến G thành G’. Vì tỉ số 2 đoạnthẳng cùng phương được bảo toàn qua phép chiếu song song nên 2'''''==GOGAOGGA⇒ G’ là giao của AB’ và A’O’ vậy ảnh của A, G, C’ thẳng hàng. Tương tự xétphép chiếu lên (A’B’C’D’) theo phương AA’ thì ảnh của A, G, C’ thẳng hàng⇒ A, G, C’ thẳng hàng.Ví dụ 7: Cho ba đường thẳng a, b, c đôi một chéo nhau, hãy dựng đườngthẳng ∆cắt ba đường thẳng đó lần lượt tại A, B, C sao cho mBCBA= cho trước.Định hướng và lời giải: Chọn mặt phẳng (P) sao cho b cắt (P) tại B’ vàphép chiếu song song theo phương b lên mặt phẳng (P) biến a, c lần lượt thànha’, c’ cắt nhau tại O. Từ B’ vẽ đường thẳng song song với a’ cắt c’ tại B1, trên c’ta luôn tìm được duy nhất điểm C’ sao cho mCBOB='11.12CBA∆'B1C'B'A'Oc'a'cb∆a Đường thẳng C’B’ cắt a’ tại A’ ⇒ mCBOBCBAB=='''''11. Gọi A, C lần lượtthuộc a, c sao cho ảnh của A, B qua phép chiếu song song theo phương b lênmặt phẳng (P) lần lượt là A’, C’ ⇒ AA’//b; CC’//b nên đường thẳng ∆ qua A, Ccắt b tại B. Khi đó theo định lí Talet mCBABBCBA==''''. Vậy∆ là đường thẳng cầntìm.Ví dụ 8. Chứng minh rằng trong một tứ diện trực tâm ( các cặp cạnh đốiđôi một vuông góc) ba điểm sau đây thẳng hàng: Trọng tâm G, trực tâm H vàtâm mặt cầu ngoại tiếp O thẳng hàng.Định hướng phương pháp giải:OGHM'H'G'O'NMDCBAGọi M, N lần lượt là trung điểm AB, CD. Xét phép chiếu vuông góc lênmặt phẳng (BCD), biến các điểm B, C, D, N thành chính nó; biến A, H thànhH’; biến các điểm M, G, O thành M’, G’, O’.13 Khi đó O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD. Ta có AB⊥ CD (ABCDlà tứ diện trực tâm ) và AH’⊥ CD nên BH’⊥CD (định lý 3 đường vuông góc),tương tự CH’⊥BD vậy H’ là trực tâm của ∆ BCD. Theo tính chất phép chiếuvuông góc thì M’ là trung điểm BH’ và G’ là trung điểm của M’N. Để chứngminh H, G, O thẳng hàng ta cần chứng minh H’, G’, O’ thẳng hàng. Tuy nhiênđến đây đối với học sinh việc chứng minh này không hề đơn giản. Nhận thấycác điểm M’, H’, G’, O’ đều thuộc mặt phẳng (BCD) nên ta có thể bóc tách cácyếu tố phẳng ra khỏi không gian để đơn giản hóa bài toán bằng cách đưa bàitoán trên về giải bài toán phẳng như sau:Bài toán: “Cho ∆BCD và H’, O’ lần lượt là trực tâm, tâm đường trònngoại tiếp của tam giác. M’, N lần lượt là trung điểm của BH’, CD; G’ là trungđiểm của M’N. Chứng minh ba điểm H’, G’, O’ thẳng hàng”.Đến đây học sinh hoàn toàn có thể giải bài toán trên bằng cách sử dụngcác tính chất hình học đã học ở THCS. Cụ thể lời giải như sau:G'NH'M'C1DCBO' C1C là đường kính của đường tròn ngoại tiếp ∆BCD khi đó ta có:BCBC⊥1 và BCDH⊥' nên C1B//DH’, tương tự CDDC⊥1 vàCDBH⊥' nên C1D//BH’ ⇒ BC1DH’ là hình bình hành ⇒ C1D = BH’ =2O’N. Mặt khác BH’ = 2M’H’ ⇒ M’H’ = O’N, vì BH’ ⊥CD và O’N ⊥CD nênM’H’//O’N ⇒ M’H’NO’ là hình bình hành, từ đó do G’ là trung điểm M’N nênsuy ra G’ cũng là trung điểm của O’H’ vậy O’, G’, H’ thẳng hàng.Đến đây bài toán phẳng đã được chứng minh bằng việc sử dụng tính chấthình học phẳng. Trở lại bài toán ban đầu, tương tự thực hiện phép chiếu vuônggóc lên (ACD) biến O, G, H thành O’’, G’’, H’’ thẳng hàng. Vậy áp dụng tínhchất phép chiếu vuông góc ta có O, G, H thẳng hàng.b. Một số bài tập áp dụng:Bài 1( Bài tập Hình học 11 -Nâng cao - Trang 62). Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’.14a/ Hãy xác định đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng AC’ và BA’ đồngthời song song với B’D’b/ Gọi I, J lần lượt là giao điểm của d với AC’ và BA’. Tính tỉ số 'ACAIBài 2: Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau không cùng song song vớimột mặt phẳng và một điểm G không nằm trên bất cứ đường thẳng nào trong bađường thẳng đó. Hãy dựng tam giác có các đỉnh thứ tự nằm trên ba đường thẳngđã cho và nhận G làm trọng tâm.c. Nhận xét:+ Có thể giải các bài toán trên bằng sử dụng các tính chất khác của quan hệsong song, quan hệ vuông góc tuy nhiên khi đó bài toán sẽ phức tạp hơn nhiềuso với dùng các tính chất của phép chiếu song song.+ Để giải một bài toán hình học không gian thường phải kết hợp nhiềuphương pháp (chẳng hạn kết hợp cả phương pháp sử dụng phép chiếu song songvà phương pháp bóc tách các bộ phận phẳng ra khỏi không gian).+ Việc đơn giản hóa bài toán; giải bài toán bằng những cách giải hay, ngắngọn; giải toán bằng nhiều cách sẽ giúp nhiều cho học sinh phát triển tư duy sángtạo của mình.3.4. Biện pháp 4: Vận dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ.Việc vận dụng các hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ vào học toán nói chung,giải bài tập hình học nói riêng là việc làm có nhiều tác dụng thiết thực, là côngcụ hiệu quả để học sinh giải quyết được nhiều bài toán từ đó nâng cao hiệu quảhoạt động nhận thức toán học. Chuyển đổi ngôn ngữ trong toán học đóng vai tròlà một công cụ để học sinh đơn giản hóa bài toán, chuyển đổi yếu tố phức tạpsang yếu tố đơn giản, biến vấn đề chưa biết thành vấn đề đã biết, hướng việc tìmhiểu yếu tố toán học này sang tìm hiểu yếu tố toán học khác. Đối với hình họckhông gian các dạng chuyển đổi ngôn ngữ chủ yếu như sau:+ Chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ khác: Việc chuyển đổi này có thể là chuyển hóa sư phạm từ ngôn ngữ khoa họcsang ngôn ngữ toán học phổ thông (chẳng hạn chuyển đổi ngôn ngữ từ toán họccao cấp sang ngôn ngữ toán phổ thông) hoặc chuyển đổi ngôn ngữ của hình họctổng hợp sang ngôn ngữ vec tơ, tọa độ, biến hình, đại số… + Chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học này sang ngôn ngữ hình học khác.Việc huy động các nhóm tri thức khác nhau có nhiếu ý nghĩa thiết thực đểgiải các bài toán hình học. Để huy động được các kiến thức đó cần thiết phảichuyển hóa qua lại các yếu tố bên trong như: yếu tố vuông góc chuyển hóa sangyếu tố song song, phép biến hình này chuyển hóa sang phép biến hình khác….a. Các ví dụ áp dụng:Ví dụ 9: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có tâm O. Dựng thiết diệncủa hình lập phương tạo bởi mặt phẳng (P) qua O và mặt phẳng đó vuông gócvới AC’.Định hướng và lời giải bài toán:15OBPCNRA'QB'C'D'SDANhận thấy AC’⊥(BDA’) nên AC’ ⊥ (P) ⇒ (P)// (BDA’). Từ đó ta chuyểnbài toán với yếu tố vuông góc thành bài toán với yếu tố song song như sau:Dựng thiết diện của hình lập phương bởi mặt phẳng (P) qua O và // (BDA’). Khiđó áp dụng tính chất “ Hai mặt phẳng song song cắt mặt phẳng thứ ba theo haigiao tuyến phân biệt thì hai giao tuyến đó song song ” ta dễ thấy thiết diện cầntìm là lục giác MNPQRS trong đó M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm củaCD, BC, BB’, A’B’, A’D’, DD’.Ví dụ 10: Tính thể tích của tứ diện ABCD biết AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c ( Tứ diện gần đều)Định hướng và lời giải bài toán:Nhận thấy việc tính thể tích theo phương pháp thông thường là tính diện tích đáy và chiều cao rất khó thực hiện với bài toán trên bởi vì rất khó xác định chân đường cao hạ từ một đỉnh của tứ diện. Bài toán trên sẽ dễ dàng giải được nếu thực hiện các phép chuyển đổi sau:Hướng 1: Từ B, C, D ta lần lượt vẽ các đường thẳng song song với CD, BD, BC. Các đường thẳng này đôi một cắt nhau tại M, N, P.abbccyzaxPNMDCBA16Ta có AB = CD =BM = BP nên ∆AMPvuông tại A, tương tự cáctam giác AMN, ANP cũngvuông tại A.VAPMN = 1/6 xyz ⇒ VABCD= ¼ VAPMN =xyz241. Tính x, y, z theo a,b, cTa có:=+=+=+222222222444czybyxazx −+=−+=−+=⇔222222222222222222bcazacbycbaxVậy ))()((122222222222bacacbcbaV−+−+−+=Hướng 2: Qua mỗi cạnh của hình chóp ta dựng mặt phẳng song song với cạnh đối diện, các mặt phẳng này giao nhau tạo thành hình hộp ngoại tiếp tứ diện.zyxAMBNC'PDQVABCD= V hộp – 4 VMADB = xyz – 4. 1/6 xyz = 1/3 xyzTa tính x, y, z theo a, b, c và được kết quả như hướng 1.b. Bài tập áp dụng:Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M,N,P,Q lần lượt thuộc AB,BC, CD, DA sao cho ABAM31=; BCBN32=; ADAQ31=; DCkDP=.Hãy xác định k để bốn điểm P, Q, M, N cùng nằm trong một mặt phẳng.Bài 2: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’. Một đường thẳng d cắt các đườngthẳng AA’, BB’, CC’ lần lượt tại M, N, P sao cho NPNM 2=. Tính 'MAMA.c. Một số nhận xét. + Phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ có phạm vi rộng, được áp dụngnhiều trong giải toán hình học không gian.+ Việc vận dụng tốt phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ sẽ giúp học sinhlinh hoạt chuyển hóa các yếu tố hình học để biến cái phức tạp thành cái đơngiản, cái chưa biết thành cái đã biết từ đó góp phần phát triển tư duy sáng tạo.174. Kết quả thực nghiệm của đề tài: Tôi đã sử dụng đề tài nghiên cứu trên vào quá trình dạy học và đã đạt đượcnhững kết quả tích cực ở cả hai mặt định tính và định lượng, cụ thể như sau:4.1. Kết quả định tính.+ Nhiều học sinh không còn có tâm lí ngại hoặc sợ học chủ đề hình họckhông gian.+ Học sinh chủ động, tích cực hơn khi xây dựng bài, chữa bài tập và làmbài tập về nhà.+ Nhiều học sinh tích cực tư duy để giải bài toán hình học không gian mộtcách sáng tạo, giải bằng nhiều cách.+ Học sinh linh hoạt hơn khi vận dụng kiến thức bộ môn, liên môn để giảitoán hình học không gian.+ Các tiết học hình học không gian hiệu quả hơn và đã chuyển trọng tâm từhoạt động của thầy sang hoạt động của trò.4.2. Kết quả định lượng.* Qua điều tra, thăm dò. Tôi đã phát phiếu thăm dò 92 học sinh lớp 11 - trường THPT Yên Định 2và đã thu được kết quả: + 100% học sinh được hỏi trả lời vận dụng các phương pháp giải toán hìnhhọc nêu trên giúp các em dễ hiểu khi học và giải toán hình học không gian.+ 100% học sinh được hỏi vận dụng các phương pháp trên đây giúp các emcó nhiều hứng thú, niềm tin khi giải các bài tập hình học không gian.+ 90 % học sinh được hỏi trả lời cần thiết phải sử dụng các phương phápnày khi giải toán hình học không gian.* Qua kết quả bài kiểm tra: Trong quá trình thực nghiệm nhằm đánh giá hiệu quả của đề tài tôi đã tiếnhành tại lớp 11C7 và lớp 11C9 - Trường THPT Yên Định 2. Kết quả học tậpmôn Toán của hai lớp là tương đương (đánh giá qua quá trình trực tiếp giảngdạy). Cụ thể tôi tiến hành dạy ôn tập chủ đề tự chọn (3 tiết) và Ôn tập chương II(Hình học lớp 11 - cơ bản) cho hai lớp 11C7 và 11C9. Tôi chọn lớp 11C7 làmlớp dạy học thực nghiệm (sử dụng đề tài), lớp 11C9 làm lớp dạy học đối chứng(không sử dụng đề tài). Sau khi dạy thực nghiệm và đối chứng tôi tiến hành chohọc sinh hai lớp làm bài kiểm tra 45 phút và đã thu được kết quả thống kê theobảng sau:Lớp SĩsốGiỏi Khá Trung bình Yếu KémSL % SL % SL % SL % SL %11C748 15 31,2 23 47,98 16,7 2 4,2 0 011C9 44 6 13,6 10 22,723 52,3 5 11,40 0Quá trình thực nghiệm với những kết quả trên đây bước đầu có thể thấy hiệuquả thiết thực của việc vận dụng đề tài vào thực tiễn dạy học. Những lí luận và18giải pháp mà đề tài nêu ra mang tính khả thi và có thể áp dụng trong dạy họcmôn Toán lớp 11 chủ đề hình học không gian. III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤTBản thân người viết là một giáo viên dạy Toán, đã ý thức được tráchnhiệm của mình trong việc không ngừng tìm tòi đổi mới phương pháp dạy họcnhằm nâng cao kết quả hoạt động học tập của học sinh, tôi đã áp dụng đề tài vàothực tiễn dạy học và đạt được những kết quả tích cực. Những kết quả đó cũngchính là cơ sở để tôi hoàn thành đề tài này.Trên cơ sở vận dụng các tri thức khoa học kết hợp với kiến thức thực tiễndạy học của bản thân, sau thời gian tập trung, nỗ lực nghiên cứu đề tài đã hoànthành và đạt được những kết quả sau:+ Đề tài đã nghiên cứu một số cơ sở lí luận của việc vận dụng phươngpháp giải toán hình học không gian và ý nghĩa của nó đối với việc phát triển tưduy sáng tạo cho học sinh THPT.+ Đề tài đã đi sâu khai thác một số phương pháp giải toán hình học khônggian có tác dụng rất hiệu quả và thiết thực trong việc nâng cao chất lượng họctập và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh THPT.+ Đề tài đã đưa ra các ví dụ minh họa cho các phương pháp giải toán hìnhhọc không gian. Thông qua các ví dụ này nêu bật lên ý nghĩa của các phươngpháp này với việc dạy học hình học nói riêng, toán học nói chung. Mặc dù đã có nhiều cố gắng song thiếu xót của đề tài là không thể tránhkhỏi tôi rất mong được các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp góp ý. Sự góp ýđó sẽ giúp tôi rất nhiều trong việc hoàn thiện hơn đề tài nghiên cứu này.Tôi xin trân thành cảm ơn!Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Thanh Hóa, ngày 16/05/2013 ……………………………………… Tôi xin cam đoan đây là SKKNcủa ……………………………………… mình viết, không sao chép nội dung……………………………………… của người khác.……………………………………… Người thực hiện Trịnh Trọng Trung19Tài liệu tham khảo1. Nguyễn Bá Kim (2004), Phương pháp dạy học môn Toán, Nxb Đạihọc sư phạm. 2. Đào Tam (2008), Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT,NXB ĐHSP.3. Bùi Văn Nghị (2009), Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học môntoán ở trường phổ thông, Nxb Đại học sư phạm.4. Pôlya. G (1976), Toán học và những suy luận có lý, Nxb Giáo dục.5. Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm, Nguyễn KhắcMinh, Đặng Hùng Thắng (2007), Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục.6. Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân (2007), BàiTập Hình học 11 nâng cao, Nxb Giáo dục.7. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh,Phan Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục8. Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh,Phan Văn Viện, Bài tập Hình học 11, NXB Giáo dục9. Phan Huy Khải (1999), Toán nâng cao hình học 11, NXB ĐHQG HàNội.10. Đào Tam, Trần Trung (2010), Tổ chức hoạt động nhận thức trongdạy học môn Toán ở trường Trung học phổ thông, Nxb Đại học sư phạm. 11. Bùi Văn Nghị (2008), Phương pháp dạy học những nội dung cụ thểmôn toán, NXB ĐHSP20 MỤC LỤC TrangI. PHẦN MỞ ĐẦU: Lí do chọn đề tài 01II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 011. Một số vấn đề về cơ sở lí luận của đề tài. 012. Thực trạng của đề tài 033. Các biện pháp giải quyết vấn đề 043.1. Biện pháp 1: Vận dụng phương pháp tách các bộ phận phẳngra khỏi không gian043.2. Biện pháp 2: Vận dụng phương pháp trải hình 083.3. Biện pháp 3: Vận dụng phương pháp sử dụng tính bất biến củaphép chiếu song song113.4. Biện pháp 4: Vận dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ 154. Kết quả thực nghiệm của đề tài 18III. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 19Tài liệu tham khảo 2021 |
