DẠNG TOÁN KHỐI TRÒN XOAY BÀI TOÁN THỰC TẾ – THỂ TÍCH HÌNH TRÒN XOAY – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021 A. \(1.\) B. \(3.\) C. \(5.\) D. \( – 6.\) LỜI GIẢI CHI TIẾT Dễ thấy mặt cầu đường kính AB có tâm \(I\left( { – 1;2;2} \right)\) là trung điểm của AB và bán kính \(R = \frac{{AB}}{2} = 3\). Gọi \(S\) là đỉnh của hình nón \(\left( N \right)\). Vì \(S \in \Delta \Rightarrow S\left( {2 – t; – 1 + t;2 + 3t} \right)\) với \(t \in \mathbb{Z}\). Gọi H là giao điểm của SI và đường tròn đáy của hình nón \(\left( N \right)\). Đặt \(\widehat {ISK} = \alpha \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Khi đó, hình nón \(\left( N \right)\) có: + Chiều cao: \(SH = SI + R = \frac{3}{{\sin \alpha }} + 3 = 3.\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }} + 1} \right)\) + Bán kính đáy: \(r = SH.\tan \alpha = 3\tan \alpha .\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }} + 1} \right)\) Khi đó, thể tích của khối nón \(\left( N \right)\) là: \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .9{\tan ^2}\alpha .{\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }} + 1} \right)^2}.3\left( {\frac{1}{{\sin \alpha }} + 1} \right) = \frac{{18\pi {{\left( {1 + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{2\sin \alpha .\left( {1 – \sin \alpha } \right)}}\) Áp dụng Bất đẳng thức Cô-si cho 2 số dương ta có: \(2\sin \alpha .\left( {1 – \sin \alpha } \right) \le {\left( {\frac{{2\sin \alpha + 1 – \sin \alpha }}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{1 + \sin \alpha }}{2}} \right)^2} = \frac{{{{\left( {1 + \sin \alpha } \right)}^2}}}{4}\) Từ đó suy ra: \(V = \frac{{18\pi {{\left( {1 + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{2\sin \alpha .\left( {1 – \sin \alpha } \right)}} \ge \frac{{18\pi {{\left( {1 + \sin \alpha } \right)}^2}}}{{\frac{{{{\left( {1 + \sin \alpha } \right)}^2}}}{4}}} = 72\pi \) Suy ra: \(\min V = 72\pi \Leftrightarrow 2\sin \alpha = 1 – \sin \alpha \Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{1}{3}\) Khi đó: \(SI = \frac{3}{{\sin \alpha }} = 9 \Leftrightarrow {\left( {3 – t} \right)^3} + {\left( {t – 3} \right)^2} + 9{t^2} = 81 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3(TM)\\t = – \frac{{21}}{{10}}(L)\end{array} \right.\) Suy ra: \(S\left( { – 1;2;11} \right) \Rightarrow \overrightarrow {SI} = \left( {0;0; – 9} \right)\). Mà \(SI = 3IH \Rightarrow \overrightarrow {SI} = 3\overrightarrow {IH} \Leftrightarrow \left( {0;0; – 9} \right) = 3\left( {{x_H} + 1;{y_H} – 2;{z_H} – 2} \right) \Leftrightarrow H\left( { – 1;2; – 1} \right)\). Vậy: Mặt phẳng chứa đáy của hình nón \(\left( N \right)\) đi qua \(H\left( { – 1;2; – 1} \right)\) và nhận VTPT là \(\overrightarrow {SI} = \left( {0;0; – 9} \right)\) có phương trình là: \(z + 1 = 0\). Suy ra: \(a + b + c = 1.\) ===========
Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( {0;1; - 1} \right)\) và \(B\left( {1;0;2} \right)\). Đường thẳng AB có phương trình chính tắc là:
A.
\(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}\) B.
\(\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{1}\) C.
\(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{3}\) D. \(\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{1}\) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(0;1;1) và B(1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường thẳng AB. x + 2y -4z - 6 = 0 2x + 3y + 4z - 7 = 0 x + y + 2z - 3 = 0 x -3y -4z +7= 0 Hướng dẫn giải:\(\overrightarrow{AB}=\left(1-0;2-1;3-1\right)=\left(1;1;2\right)\) Mặt phẳng (P) vuông góc với\(\overrightarrow{AB}\)nên nhận\(\overrightarrow{AB}\)là vec tơ pháp tuyến. Phương trình (P) đi qua A(0;1;1) và có vecto pháp tuyến(1;1;2) là: 1.(x - 0) + 1.(y - 1)+ 2.(z - 1) = 0. <=> x + y + 2z - 3 = 0
Các câu hỏi tương tự
Trong không gian Oxyz, cho điểm A(4;2;-3) và hai đường thẳng d 1 : x 4 = y 6 = z − 1 , d 2 : x = − 1 + 2 t y = 2 + 3 t z = 4 − t . Đường thẳng d đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳng d 1 , d 2 có phương trình là: A. x = 3 + 4 t y = − 2 + 2 t z = − 3 − 3 t B. x = 4 + 2 t y = 2 + 3 t z = − 3 − t C. x = 4 + 3 t y = 2 + 2 t z = − 3 D. x = 4 + 3 t y = 2 − 2 t z = − 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình của đường thẳng đi qua điểm M 2 ; − 1 ; 1 và vuông góc với hai đường thẳng d 1 : x 1 = y + 1 − 1 = z − 2 & d 2 : x = t y = 1 − 2 t z = 0 ( t ∈ ℝ ) là A. x − 2 4 = y + 1 − 2 = z − 1 1 . B. x + 2 4 = y + 3 2 = z 1 . C. x − 2 3 = y + 1 2 = z − 1 − 1 . D. x − 2 1 = y + 1 − 2 = z − 1 1 .
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d : x = 1 + t y = 2 - t z = t , d ' : x = 2 t ' y = 1 + t ' z = 2 + t ' . Đường thẳng ∆ cắt d, d ' lần lượt tại các điểm A, B thỏa mãn độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng ∆ là A. x - 1 - 2 = y - 2 1 = z 3 B. x - 4 - 2 = y - 1 = z - 2 3 C. x 2 = y - 3 - 1 = z + 1 - 3 D. x - 2 - 2 = y - 1 1 = z - 1 3
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(1;2;-3) và B(3;-1;1). A. x = 1 + 2 t y = 2 - 3 t z = - 3 + 4 t B. x = 1 + 3 t y = - 2 - t z = - 3 + t C. x = - 1 + 2 t y = - 2 - 3 t z = 3 + 4 t D. x = 1 + t y = - 2 + 2 t z = - 1 - 3 t
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A ( 2;3;3) phương trình đường trung tuyến kẻ từ B là x − 3 − 1 = y − 3 2 = z − 2 − 1 , phương trình đường phân giác trong của góc C là x − 2 2 = y − 4 − 1 = z − 2 − 1 . Biết rằng u → = m ; n ; − 1 là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng AB. Tính giá trị của biểu thức T = m 2 + n 2 A. T = 1 B. T = 5 C. T = 2 D. T = 10
Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; –1;1); B(–1;2;3) và đường thẳng d: x + 1 - 2 = y - 2 1 = z - 3 3 . Đường thẳng ∆ đi qua điểm A, vuông góc với hai đường thẳng AB và d có phương trình là: A. x - 1 2 = y + 1 4 = z - 1 7 B. x - 1 7 = y - 1 2 = z - 1 4 C. x - 1 2 = y + 1 7 = z - 1 4 D. x - 1 7 = y + 1 2 = z - 1 4
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d có phương trình x = 6 + t y = - 2 - 5 t z = - 1 + t . Xét đường thẳng ∆ : x - a 5 = y - 1 - 12 = z + 5 - 1 , với a là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng d và ∆ cắt nhau. A. a = 0 B. a = 4 C. a = 8 D. a = 1 2
d : x - 2 1 = y - 5 2 = z - 2 1 , d ' : x - 2 1 = y - 1 - 2 = z - 2 1 và hai điểm A a ; 0 ; 0 , A ' 0 ; 0 ; b . Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và d '; H là giao điểm của đường thẳng AA' và mặt phẳng (P). Một đường thẳng ∆ thay đổi trên (P) nhưng luôn đi qua H đồng thời ∆ cắt d và d ' lần lượt là B, B '. Hai đường thẳng AB, A'B' cắt nhau tại điểm M. Biết điểm M luôn thuộc một đường thẳng cố định có vectơ chỉ phương u → = 15 ; - 10 ; - 1 (tham khảo hình vẽ). Tính T= a+b A. T = 8 B. T = 9 C. T = - 9 D. T = 6
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, vuông góc với trục Ox và vuông góc với đường thẳng ∆ : x = 1 + t y = 2 - t z = 1 - 3 t . Phương trình của d là A. x = t y = 3 t z = - t B. x = t y = - 3 t z = - t C. x 1 = y 3 = z - 1 D. x = 0 y = - 3 t z = t |
