Phương trình bậc hai có nghiệm phức \({z_1}\) thì cũng nhận nghiệm phức \({z_2} = \overline {{z_1}} \). Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phức. Lời giải của GV Vungoi.vn Đặt \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (*). TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 8\\{z_0} = - 8\end{array} \right.\). + Nếu \({z_0} = 8\) thay vào (*) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {8^2} - 16\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 16m + 48 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m= 12\\m= 4\end{array} \right.\end{array}\) \( \Rightarrow \) Có 2 giá trị thỏa mãn. + Nếu \({z_0} = - 8\) thay vào (*) \(\begin{array}{l} \Rightarrow 64 + 16\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 16m + 80 = 0\end{array}\) \( \Rightarrow \) Vô nghiệm. TH2: \({z_0}\) là nghiệm có chứa \(i \)\(\Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \)\(\Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\). Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức \({z_0}\) chứa \(i\) thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là \(\overline {{z_0}} \). Điều kiện \(\left| {{z_0}} \right| = 8 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = {8^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = {8^2} \)\(\Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 64\,\,\left( 1 \right)\). Vì \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \) là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {m^2} = 64 \Leftrightarrow m = \pm 8\). So sánh điều kiện \(m < - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = - 8\). Vậy tất cả TH1 và TH2 có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán (\(m = 12 \), \(m = 4 \) và \(m = - 8\)). Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z^2 - 2(m+1)z + m^2=0(m là số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm Zo thỏa mãn |Zo|=7 A. 1 B. 4 C. 3 D. 2
Câu hỏi: A. \(1\). B. \(2\). C. \(3\). D. \(4\). LỜI GIẢI CHI TIẾT Ta có: \(\Delta ‘ = {\left( {m – 1} \right)^2} – {m^2} = – 2m + 1\). TH1: Nếu \(\Delta ‘ \ge 0\)\( \Leftrightarrow – 2m + 1 \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm thực: Từ giả thiết: \(\left| {{z_0}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 4\\{z_0} = – 4\end{array} \right.\) *Với \({z_0} = 4\)thay vào phương trình ta có: \({4^2} + 2\left( {m – 1} \right).4 + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 4 + 2\sqrt 2 \\m = – 4 – 2\sqrt 2 \end{array} \right.\). *Với \({z_0} = – 4\)thay vào phương trình ta có: \({\left( { – 4} \right)^2} + 2\left( {m – 1} \right).\left( { – 4} \right) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8m + 24 = 0\) TH2: Nếu \(\Delta ‘ < 0\)\( \Leftrightarrow – 2m + 1 < 0\)\( \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\) thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phức: \({z_0} = – \left( {m – 1} \right) + \sqrt {\left| { – 2m + 1} \right|} .i\)\( = – m + 1 + i.\sqrt {2m – 1} \) Và \({z_0} = – m + 1 – i.\sqrt {2m – 1} \) \(\left| {{z_0}} \right| = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { – m + 1} \right)}^2} + 2m – 1} = 4\)\( \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 1 + 2m – 1 = 16\)\( \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 4\\m = 4\end{array} \right.\) Chọn \(m = 4\). =======
Câu hỏi: A. 3. B. 1. C. 6. D. 2. LỜI GIẢI CHI TIẾT Xét phương trình \({z^2} – 2\left( {m – 1} \right)z + 2m – 2 = 0 \), ta có: \(\Delta ‘ = {\left[ { – \left( {m – 1} \right)} \right]^2} – 1.\left( {2m – 2} \right) = {m^2} – 4m + 3 \). TH1: \(\Delta ‘ > 0 \) \( \Leftrightarrow {m^2} – 4m + 3 > 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 3}\\{m < 1}\end{array}} \right. \). Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt \({z_1} \), \({z_2} \). Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} + {z_2} = 2\left( {m – 1} \right)}\\{{z_1}{z_2} = 2m – 2}\end{array}} \right. \). Theo đề bài ta có: \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| \Leftrightarrow {z_1} = – {z_2} \) \( \Leftrightarrow {z_1} + {z_2} = 0 \) \( \Rightarrow 2\left( {m – 1} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow m = 1 \). TH2: \(\Delta ‘ < 0 \) \( \Leftrightarrow 1 < m < 3 \) Phương trình luôn có hai nghiệm phức \({z_1} \), \({z_2} \) luôn thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| \). Do đó \(S = \left\{ 2 \right\} \). Vậy tổng các phần tử của tập \(S \) là 1. =======
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z2 - 2mz + 8m -12 = 0 (m là tham số thực). Có bai nhiều giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1, z2 thỏa mản |z1| = |z2|? A. 5 B. 6 C. 3 D. 4 Mình cần một câu trả lời cực kì chi tiết ạ, mình cảm ơn trước  Các câu hỏi tương tự Gọi $S$ là tập hợp giá trị thực của tham số $m$ sao cho phương trình ${z^2} - 2mz + 2{m^2} - 2m = 0$ có nghiệm phức mà m?Gọi \(S\) là tập hợp giá trị thực của tham số \(m\) sao cho phương trình \({z^2} - 2mz + 2{m^2} - 2m = 0\) có nghiệm phức mà mô-đun của nghiệm đó bằng \(2\). Tổng bình phương các phần tử của tập hợp \(S\) bằng A. \(6\). B. \(5\). C. \(4\). D. \(1\). |
