BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP ———————– THỐNG KÊ TRONG KHOA HỌC XÃ HỘI Dùng cho các lớp thuộc ngành xã hội ĐỒNG THÁP 2014-2015 MỞ ĐẦU "Giáo trình Lý thuyết xác suất thống kê" là tài liệu được biên soạn cho các sinh viên ngành Khoa học Xã hội như: Công tác Xã hội, Việt Nam học, Thư viện Thông tin, Giáo dục Thể chất,... Mục đích của bài giảng là trang bị cho các sinh viên kiến thức về thống kê trong khoa học xã hội từ đó nghiên cứu, thu thập và xử lý thông tin kinh tế - xã hội... Bài giảng bao gồm 4 chương. Chương 1: Khái quát những khái niệm cơ bản về lý thuyết xác suất để làm nền tảng cho việc nhiên cứu phần thống kê. Bao gồm: xác suất cổ điển, xác suất theo quan điểm thống kê, tính chất của xác suất, các biến ngẫu nhiên, hàm phân phối và một số phân phối quan trọng. Chương 2: Mẫu ngẫu ngẫu nhiên và ước lượng tham số. Chương này mục đích đưa ra các khái niệm về mẫu ngẫu nhiên, các đặc trưng mẫu và các ước lượng tham số. Chương 3: Kiểm định giả thiết. Chương này trình bày một số bài toán kiểm định giả thiết như: kiểm định trung bình, kiểm định tỷ lệ, kiểm định phương sai, kiểm định tính độc lập, quy luật phân phối và các bài toán so sánh.Chương 4 trình bày về tương quan và hồi quy tuyến tính. Trong tất cả các chương đưa ra đều có những ví dụ minh họa cụ thể cho từng dạng bài toán, sau cuối của mỗi chương đều có hệ thống bài tập khá đa dạng và phong phú. Vì nhiều lý do, chắc chắn bài giảng không tránh khỏi những sai xót. Chúng tôi mong được sự đóng góp của đồng nghiệp và các bạn sinh viên. Tác giả 2 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Chương 1. Các khái niệm cơ bản về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Bổ túc về giải tích tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Các nguyên lý cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Hoán vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Chỉnh hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.4. Chỉnh hợp lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.5. Tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.6. Công thức nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Phép thử ngẫu nhiên và biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Phép thử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 1.2.3. Quan hệ và phép toán giữa các biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3. Các định nghĩa về xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1. Định nghĩa xác suất theo cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2. Định nghĩa xác suất theo tần suất và thống kê . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3. Tính chất của xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Các công thức xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5. Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1. Khái niệm biến ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2. Biến ngẫu nhiên rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.3. Biến ngẫu nhiên liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.1. Kỳ vọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6.2. Phương sai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17 1.6.3. Mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.6.4. Median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.7. Một số phân phối thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.1. Phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.2. Phân phối Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.7.3. Phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7.4. Tính gần đúng phân phối nhị thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.8. Véc tơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8.1. Biến ngẫu nhiên rời rạc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8.2. Biến ngẫu nhiên liên tục. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.8.3. Các đặc trưng của véctơ ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Bài tập chương 1.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30 Chương 2. Lý thuyết chọn mẫu và ước lượng tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1. Mẫu ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.1. Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1.2. Hàm phân phối - Đa giác tần số và tổ chức đồ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.3. Mẫu ngẫu nhiên hai chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.4. Các đặc trưng mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2. Ước lượng điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.1. Ước lượng không chệch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46 2.2.2. Ước lượng vững. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2.3. Ước lượng hiệu quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.4. Ước lượng hợp lý cực đại. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2.5. Ước lượng điểm cho kỳ vọng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.6. Ước lượng điểm cho phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.2.4. Ước lượng điểm cho xác suất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3. Ước lượng khoảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.1. Ước lượng khoảng đối với giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.3.2. Ước lượng khoảng đối với giá trị tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.3.3. Ước lượng khoảng đối với phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Bài tập chương 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .58 Chương 3. Kiểm định giả thiết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 3.1. Đặt vấn đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.2. Kiểm định giả thiết về giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.1. Trường hợp phương sai σ 2 đã biết. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.2.2. Trường hợp phương sai σ 2 chưa biết n ≥ 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.2.3. Trường hợp phương sai σ 2 chưa biết n < 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.3. Kiểm định tỷ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4 3.3.1. Kiểm định hai phía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.3.2. Kiểm định một phía. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.4. Kiểm định phương sai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.1. Trường hợp chưa biết µ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.4.2. Trường hợp đã biết µ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 3.5. Kiểm định về tính độc lập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3.6. Kiểm định giả thiết về luật phân phối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.7. Bài toán so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.1. Bài toán so sánh hai giá trị trung bình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.7.2. Bài toán so sánh hai giá trị tỷ lệ.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90 Bài tập chương 3.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 Chương 4. Tương quan và hồi quy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1. Tương quan tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.2. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.3. Hệ số tương quan mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 4.1.4. Ý nghĩa của hệ số tương quan mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 4.2. Hồi quy tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Bài tập chương 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Các bảng số thông dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5 Chương 1 Các khái niệm cơ bản về xác suất 1.1 Bổ túc về giải tích tổ hợp 1.1.1 Các nguyên lý đếm cơ bản a) Nguyên lý cộng Giả sử có k công việc, việc thứ nhất có n1 scách làm, việc thứ hai có n2 cách làm,..., việc thứ k có nk cách làm,... các công việc này không làm đồng thíi. Khi đó ta có n1 + n2 + ... + nk cách làm k công việc trổn. b) Nguyên lý nhân. Giả sử hành động H được thực hiện qua k giai đoạn liên tiếp H1 , H2 , H3 , ..., Hk . Giai đoạn H1 có n1 cách làm,...,Hk có nk cách làm. Khi đó n1 .n2 ...nk cách làm công việc H. 1.1.2 Hoán vị Định nghĩa 1.1.1. Cho tập M có n phần tử, mỗi cách sắp xếp n phần tử này theo một thứ tự nhất định gọi là một hoán vị của tập M . Gọi số các hoán vị của tập M là: Pn = n! = 1.2.3...(n − 1)n Ví dụ 1. a) Ta có 3 người A, B, C xếp vào 3 chỗ ngồi. Khi đó ta có 3! = 3.2.1 = 6 cách xếp như sau: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA b) Số cách sắp xếp cho 80 sinh viên vào 80 chỗ ngồi là P80 = 80! 1.1.3 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.1.2. Cho tập M có n phần tử, 0 ≤ k ≤ n, một chỉnh hợp chập k của n phần tử là một bộ sắp thứ tự (phân biệt) lấy từ n phần tử đã cho và được ký hiệu là Akn = n! (n − k)! 6 Ví dụ 2. a) Cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp chập 2 của ba phần tử đó là: 23, 25, 32, 35, 52, 53 b) Mỗi lớp phải học 6 môn, mỗi ngày học 2 môn. Hỏi có bao nhiêu cách xắp xếp thời khóa biểu cho mỗi ngày. HD: Vì mỗi cách xắp xếp thời khóa biểu trong một ngày là ghép 2 môn trong 6 môn. Các cách này do ít nhất 1 môn khác nhau hoặc chỉ do thứ tự sắp xếp trước sau giữa hai môn. Vì thế mỗi cách sắp xếp ứng với một chỉnh hợp chập 2 của 6. A26 = 30 1.1.4 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa 1.1.3. Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là 1 nhóm thứ tự gồm k phần tử lấy từ n phần tử đã cho trong đó mỗi phần tử có thể có mặt 1,2, 3,....k lần trong k nhóm tạo thành. Ký hiệu An = nk Ví dụ 3. a) Cho ba phần tử 2,3,5. Các chỉnh hợp lặp chập 2 của ba phần tử đó là: 22, 23, 25, 32, 33, 35, 52, 53, 55 b) Để đăng ký mỗi loại máy mới người ta dùng 3 con số trong 9 con số 1,2,....9. Hỏi có thể đánh số được bao nhiêu máy. k Mỗi số của máy là chỉnh hợp lặp chập 3 của 9 số: An = 93 = 729 1.1.5 Tổ hợp Định nghĩa 1.1.4. Tổ hợp chập k của n phần tử, 0 ≤ k ≤ n là một tập con của k phần tử lấy từ n phần tử đã cho và được ký hiệu là Cnk = n! Akn = k! k!(n − k)! Ví dụ 4. Có 10 đội bóng đá thi đấu với nhau theo thể thức vòng tròn một lượt. Hỏi có bao nhiêu trận đấu? HD: Ta thấy mỗi trận đấu giữa 2 đội đấu với nhau là 1 tổ hợp chập 2 của 10 phần tử 2 (Vì hai đội đấu với nhau không cần xếp thứ tự) C10 = 45 1.2 1.2.1 Phép thử ngẫu nhiên và biến cố Phép thử ngẫu nhiên Phép thử ngẫu nhiên là một hành động mà ta chưa biết trước được kết quả của nó. Tuy chưa biết trước được kết quả của phép thử nhưng biết được tập tất cả các khả 7 năng và ký hiệu là Ω và gọi là không gian biến cố sơ cấp. Mỗi ω ∈ Ω gọi là biến cố sơ cấp. Ta ký hiệu phép thử là G Ví dụ 5. a) Tung đồng tiền thì Ω = {S, N } b) Tung con xúc xắc: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1.2.2 Biến cố Khi thực hiện một phép thử có rất nhiều câu hỏi liên quan đến kết quả của nó. Một sự kiện liên quan đến phép thử mà việc nó xảy ra hay không xảy ra phụ thuộc hoàn toàn vào phép thử gọi là một biến cố ngẫu nhiên. Ký hiệu A, B, C, ... Biến cố sơ cấp ω gọi là thuận lợi cho biến A nếu khi kết quả của phép thử là ω thì A xảy ra Biến cố không thể là biến cố không thể xảy ra và ký hiệu là: ∅ Biến cố chắc chắn: là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phếp thử, ký hiệu là: Ω Ví dụ 6. Tung con xúc xắc ⇒ Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Biến cố xuất hiện mặt chấm lẻ là A ⇒ A = {1, 3, 5} Biến cố xuất hiện mặt chấm nhỏ hơn 5 là B: ⇒ B = {1, 2, 3, 4} 1.2.3 Quan hệ và phép toán giữa các biến cố. a. Quan hệ kéo theo Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu A xảy ra thì B xảy ra. Ký hiệu A ⊂ B b. Quan hệ bằng Hai biến cố A, B gọi là bằng nhau. Ký hiệu A=B nếu A ⊂ B, A ⊃ B c. Giao của hai biến cố Giao của haibiến cố là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A, B đồng thời xảy ra. Ký hiệu A ∩ B hoặc AB TQ: A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi với mọi Ai xảy ra. d. Hợp của hai biến cố Hợp của haibiến cố là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. Ký hiệu A∪B TQ: A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi ít nhất một Ai xảy ra. e. Hiệu của hai biến cố. Hiệu của hai biến cố A và B ký hiệu là A \ B là một biến cố xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra và B không xảy ra. g. Biến cố đối Biến cố đối của biến cố A là A, là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra. h. Biến cố xung khắc Hai biến cố A và B là xung khắc nếu chúng không đồng thời xảy ra, tức là AB = ∅. Biến cố đối thì xung khắc. h. Nhóm đầy đủ các biến cố Nhóm n biến cố A1 , A2 , ..., An gọi là nhóm đầy đủ các biến cố nếu. 8 i) Chúng xung khắc với nhau đôi một Ai Aj = ∅, (i 6= j) ii) Hợp của chúng là biến cố chắc chắn A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = Ω Ví dụ 7. Hai xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn vào đích. Gọi Ai là biến cố người thứ i trúng đích. Hãy viết biến cố sau qua A1 , A2 a. Biến cố chỉ người thứ nhất trúng đích: A1 A2 b Có 1 người bắn trúng đích: A1 A2 ∪ A2 A1 c. Có ít nhất một người bắn trúng đích: A1 ∪ A2 d. Không có ai bắn trúng: A1 A2 1.3 1.3.1 Các định nghĩa về xác suất Định nghĩa xác suất theo cổ điển Giả sử không gian biến cố sơ cấp Ω của phép thử G có n kết quả đồng khả năng và có m kết quả thuận lợi cho biến cố A. Khi đó xác suất của biến cố A được ký hiệu và được định nghĩa là m P (A) = n Ví dụ 8. Một hộp có 16 quả cầu đen và 4 quả cầu đỏ lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu. Hãy tính xác suất a) Lấy được hai quả cầu đen. b) Lấy được 1 quả cầu đen, một quả đỏ. HD: a) Gọi A là biến cố lấy được hai quả cầu đen. Khi đó 2 2 n = C20 , m = C16 ⇒ P (A) = 2 C16 2 C20 b) Gọi B là biến cố lấy được 1 quả đen, 1 quả đỏ thì P (B) = 1 C41 C16 2 C20 Ví dụ 9. Một nhóm học tập có 10 hs, trong đó có 7 hs yếu. Kiểm tra ngẫu nhiên 3 em. Tính xác suất để: a) Ba em kiểm tra là học sinh yếu b) Trong 3 em được kiểm tra có 1 em yếu c) Có ít nhất 1 học sinh yếu được kiểm tra. 1.3.2 Định nghĩa xác suất theo tần suất và thống kê Một phép thử được thực hiện n lần mà có m biến cố A xuất hiện thì tỷ số m/n gọi là tần suất của biến cố A Khi n thay đổi, tần suất m/n cũng thay đổi nhưng nó luôn dao động quanh một số cố định nào đó, n càng lớn thì m/n càng gần số cố định đó. Số cố định này được gọi là 9 xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê. Trên thực tế khi n đủ lớn ta xấp xỉ P (A) bởi m/n tức là m P (A) = n 1.3.3 Tính chất của xác suất 1) 0 ≤ P (A) ≤ 1, P (∅) = 0, P (Ω) = 1 2) P (A) = 1 − P (A). 3) Nếu A ⊂ B thì P (A) ≤ P (B) với P (B/A) = P (B) − P (A). 4) P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (AB) Ví dụ 10. Một hộp cứa 5 cầu trắng, 3 cầu xanh và 4 cầu đen cùng kích thước, chọn ngẫu nhiên cùng lúc 3 cầu. Tìm xác suất để. a) Cả 3 cầu cùng mầu (A) b) Có đúng 2 cầu cùng mầu(B) c) Có ít nhất hai cầu cùng mầu(C) d) Cả 3 cầu khác mầu nhau(D) HD: a) Gọi A1 = { 3 quả cầu rút ra đều mầu trắng} A2 = { 3 quả cầu rút ra cùng mầu đen} A3 = { 3 quả cầu rút ra đều mầu xanh} Khi đó: A = A1 + A2 + A3 =⇒ P (A1 ) + P (A2 ) + P (A3 =⇒ P (A) = 3 C53 + C33 + C43 = 3 C12 44 b) Gọi B1 = { 2 quả cầu rút ra cùng mầu trắng} B2 = { 2 quả cầu rút ra cùng mầu đen} B3 = { 2 quả cầu rút ra cùng mầu xanh} =⇒ P (B) = P (B1 ) + P (B2 ) + P (B3 ) = C52 C71 + C42 C81 + C32 C91 29 = 3 C12 44 32 c) P (C) = P (A) + P (B = 44 d) Cách1: P (D) = 1 − P (C) Cách2: làm trực tiếp P (D) = 1.4 C51 C31 C41 3 = 3 C12 11 Dãy phép thử Bernoulli và công thức nhị thức Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến khả năng xảy ra của biến cố khác Hai phép thử gọi là độc lập với nhau nếu việc thực hiện và kết quả của phép thử này không ảnh hưởng và không phụ thuộc vào phép thử kia 10