 Show Trong toán học, hàm hyperbolic là tương tự của các hàm lượng giác thông thường, nhưng được xác định bằng cách sử dụng hyperbol thay vì đường tròn. Cũng như các điểm (cos t, tội t) tạo thành một vòng tròn với bán kính đơn vị, các điểm (cosh t, sinh t) tạo thành nửa bên phải của hyperbol đơn vị. Ngoài ra, cũng giống như các dẫn xuất của tội(t) và cos (t) Chúng tôi cos (t) và -tội(t), các dẫn xuất của sinh (t) và cosh (t) Chúng tôi cosh (t) và + sinh (t). Hàm hyperbolic xảy ra trong các phép tính về góc và khoảng cách trong hình học hyperbol. Chúng cũng xuất hiện trong các nghiệm của nhiều phương trình vi phân tuyến tính (chẳng hạn như phương trình xác định một bậc tam cấp), phương trình bậc ba và phương trình Laplace trong hệ tọa độ Descartes. Phương trình Laplace rất quan trọng trong nhiều lĩnh vực vật lý, bao gồm lý thuyết điện từ, truyền nhiệt, động lực học chất lỏng và thuyết tương đối hẹp. Các hàm hypebolic cơ bản là:
từ đó có nguồn gốc:
tương ứng với các hàm lượng giác suy ra. Các hàm hyperbolic nghịch đảo là:
Một tia qua hyperbol đơn vị x2 − y2 = 1 tại điểm (cosh a, sinh a), Ở đâu a là hai lần diện tích giữa tia, hyperbola và x-axis. Đối với các điểm trên hyperbola bên dưới x- trục, diện tích được coi là âm (xem phiên bản hoạt hình so sánh với các hàm lượng giác (hình tròn)). Các hàm hyperbolic nhận một đối số thực được gọi là một góc hypebol. Kích thước của một góc hypebol gấp đôi diện tích của cung hypebol của nó. Các hàm hypebolic có thể được định nghĩa theo các chân của một tam giác vuông bao phủ cung này. Trong phân tích phức tạp, các hàm hypebol phát sinh dưới dạng các phần ảo của sin và cosin. Sin hyperbol và cosin hyperbol là toàn bộ các hàm. Kết quả là, các hàm hypebolic khác là đồng dạng trong toàn bộ mặt phẳng phức. Theo định lý Lindemann – Weierstrass, các hàm hyperbolic có giá trị siêu việt với mọi giá trị đại số khác 0 của đối số. Các hàm hyperbolic được Vincenzo Riccati và Johann Heinrich Lambert giới thiệu vào những năm 1760 một cách độc lập. Riccati được sử dụng Sc. và Cc. (vòng tuần hoàn xoang / vũ trụ) để chỉ các hàm tròn và Sh. và Ch. (sin / cosinus hyperbolico) để chỉ các hàm hypebol. Lambert đã sử dụng các tên này, nhưng thay đổi các từ viết tắt thành những từ được sử dụng ngày nay. Các chữ viết tắt sh, ch, thứ tự, cth hiện cũng đang được sử dụng, tùy thuộc vào sở thích cá nhân. Các định nghĩaCó nhiều cách tương đương khác nhau để xác định các hàm hypebol. Định nghĩa hàm mũsinh x là một nửa sự khác biệt của ex và e−x cosh x là mức trung bình của ex và e−x Về mặt hàm mũ:
Định nghĩa phương trình vi phânCác hàm hyperbolic có thể được định nghĩa là nghiệm của phương trình vi phân: sin và cosin hyperbol là nghiệm duy nhất (S, c) của hệ thống c ′ ( x ) = S ( x ) S ′ ( x ) = c ( x ) { displaystyle { begin {align} c '(x) & = s (x) s' (x) & = c (x) end {align}}} như vậy mà S(0) = 0 và c(0) = 1. (Các điều kiện ban đầu S ( 0 ) = 0 , c ( 0 ) = 1 { displaystyle s (0) = 0, c (0) = 1} ( a e x + b e − x , a e x − b e − x ) { displaystyle (ae ^ {x} + be ^ {- x}, ae ^ {x} -be ^ {- x})} Sinh (x) và cosh (x) cũng là nghiệm duy nhất của phương trình f ″(x) = f (x), như vậy mà f (0) = 1, f ′(0) = 0 đối với cosin hyperbolic, và f (0) = 0, f ′(0) = 1 đối với sin hypebol. Định nghĩa lượng giác phức tạpCác hàm hyperbolic cũng có thể được suy ra từ các hàm lượng giác với các đối số phức tạp:
Ở đâu Tôi là đơn vị tưởng tượng với Tôi2 = −1. Các định nghĩa trên có liên quan đến các định nghĩa hàm mũ thông qua công thức Euler (Xem § Các hàm hyperbolic cho số phức phía dưới). Miền và phạm vi
ℝ là tập hợp tất cả các số thực. Đặc điểm tính chấtCosin hyperbolicCó thể chứng minh rằng diện tích dưới đường cong của cosin hypebol (trên một khoảng hữu hạn) luôn bằng độ dài cung ứng với khoảng đó: khu vực = ∫ a b cosh x d x = ∫ a b 1 + ( d d x cosh x ) 2 d x = độ dài cung. { displaystyle { text {area}} = int _ {a} ^ {b} cosh x , dx = int _ {a} ^ {b} { sqrt {1+ left ({ frac {d} {dx}} cosh x right) ^ {2}}} , dx = { text {độ dài cung.}}} Tiếp tuyến hyperbolTiếp tuyến hyperbol là nghiệm (duy nhất) của phương trình vi phân f ′ = 1 − f 2, với f (0) = 0. Quan hệ hữu íchCác hàm hyperbolic thỏa mãn nhiều đồng dạng, tất cả chúng đều có dạng tương tự với đồng dạng lượng giác. Trong thực tế, Quy tắc của Osborn nói rằng người ta có thể chuyển đổi bất kỳ nhận dạng lượng giác nào cho θ { displaystyle theta} ,2 θ { displaystyle 2 theta} 3 θ { displaystyle 3 theta} θ { displaystyle theta} vàφ { displaystyle varphi} Hàm lẻ và chẵn: sinh ( − x ) = − sinh x cosh ( − x ) = cosh x { displaystyle { begin {align} sinh (-x) & = - sinh x cosh (-x) & = cosh x end {align}}} Vì thế: tanh ( − x ) = − tanh x coth ( − x ) = − coth x sech ( − x ) = sech x csch ( − x ) = − csch x { displaystyle { begin {align} tanh (-x) & = - tanh x coth (-x) & = - coth x tên toán tử {sech} (-x) & = tên toán tử {sech} x tên toán tử {csch} (-x) & = - tên người điều hành {csch} x end {align}}} Vì vậy, cosh x và sech x là các hàm chẵn; những cái khác là những hàm kỳ quặc. arsech x = arcosh ( 1 x ) vòng cung x = arsinh ( 1 x ) arcoth x = artanh ( 1 x ) { displaystyle { begin {align} operatorname {arsech} x & = operatorname {arcosh} left ({ frac {1} {x}} right) operatorname {arcsch} x & = operatorname {arsinh } left ({ frac {1} {x}} right) tên toán tử {arcoth} x & = operatorname {artanh} left ({ frac {1} {x}} right) end { thẳng hàng}}} Sin và sin hyperbolic thỏa mãn: cosh x + sinh x = e x cosh x − sinh x = e − x cosh 2 x − sinh 2 x = 1 { displaystyle { begin {align} cosh x + sinh x & = e ^ {x} cosh x- sinh x & = e ^ {- x} cosh ^ {2} x- sinh ^ {2} x & = 1 end {căn chỉnh}}} cuối cùng trong số đó tương tự như nhận dạng lượng giác Pythagore. Một người cũng có sech 2 x = 1 − tanh 2 x csch 2 x = coth 2 x − 1 { displaystyle { begin {align} operatorname {sech} ^ {2} x & = 1- tanh ^ {2} x tên toán tử {csch} ^ {2} x & = coth ^ {2} x- 1 end {căn chỉnh}}} cho các chức năng khác. Tổng số đối sốsinh ( x + y ) = sinh x cosh y + cosh x sinh y cosh ( x + y ) = cosh x cosh y + sinh x sinh y tanh ( x + y ) = tanh x + tanh y 1 + tanh x tanh y { displaystyle { begin {align} sinh (x + y) & = sinh x cosh y + cosh x sinh y cosh (x + y) & = cosh x cosh y + sinh x sinh y [6px] tanh (x + y) & = { frac { tanh x + tanh y} {1+ tanh x tanh y}} end {align}}} đặc biệt cosh ( 2 x ) = sinh 2 x + cosh 2 x = 2 sinh 2 x + 1 = 2 cosh 2 x − 1 sinh ( 2 x ) = 2 sinh x cosh x tanh ( 2 x ) = 2 tanh x 1 + tanh 2 x { displaystyle { begin {align} cosh (2x) & = sinh ^ {2} {x} + cosh ^ {2} {x} = 2 sinh ^ {2} x + 1 = 2 cosh ^ {2} x-1 sinh (2x) & = 2 sinh x cosh x tanh (2x) & = { frac {2 tanh x} {1+ tanh ^ {2} x}} end {căn chỉnh}}} Cũng thế: sinh x + sinh y = 2 sinh ( x + y 2 ) cosh ( x − y 2 ) cosh x + cosh y = 2 cosh ( x + y 2 ) cosh ( x − y 2 ) { displaystyle { begin {align} sinh x + sinh y & = 2 sinh left ({ frac {x + y} {2}} right) cosh left ({ frac {xy} {2 }} right) cosh x + cosh y & = 2 cosh left ({ frac {x + y} {2}} right) cosh left ({ frac {xy} {2}} right) end {căn chỉnh}}} Công thức trừsinh ( x − y ) = sinh x cosh y − cosh x sinh y cosh ( x − y ) = cosh x cosh y − sinh x sinh y tanh ( x − y ) = tanh x − tanh y 1 − tanh x tanh y { displaystyle { begin {align} sinh (xy) & = sinh x cosh y- cosh x sinh y cosh (xy) & = cosh x cosh y- sinh x sinh y tanh (xy) & = { frac { tanh x- tanh y} {1- tanh x tanh y}} end {align}}} Cũng thế: sinh x − sinh y = 2 cosh ( x + y 2 ) sinh ( x − y 2 ) cosh x − cosh y = 2 sinh ( x + y 2 ) sinh ( x − y 2 ) { displaystyle { begin {align} sinh x- sinh y & = 2 cosh left ({ frac {x + y} {2}} right) sinh left ({ frac {xy} { 2}} right) cosh x- cosh y & = 2 sinh left ({ frac {x + y} {2}} right) sinh left ({ frac {xy} {2 }} right) end {căn chỉnh}}} Công thức nửa đối sốsinh ( x 2 ) = sinh x 2 ( cosh x + 1 ) = sgn x cosh x − 1 2 cosh ( x 2 ) = cosh x + 1 2 tanh ( x 2 ) = sinh x cosh x + 1 = sgn x cosh x − 1 cosh x + 1 = e x − 1 e x + 1 { displaystyle { begin {align} sinh left ({ frac {x} {2}} right) & = { frac { sinh x} { sqrt {2 ( cosh x + 1)} }} && = operatorname {sgn} x , { sqrt { frac { cosh x-1} {2}}} [6px] cosh left ({ frac {x} {2}} right) & = { sqrt { frac { cosh x + 1} {2}}} [6px] tanh left ({ frac {x} {2}} right) & = { frac { sinh x} { cosh x + 1}} && = tên toán tử {sgn} x , { sqrt { frac { cosh x-1} { cosh x + 1}}} = { frac {e ^ {x} -1} {e ^ {x} +1}} end {căn chỉnh}}} Ở đâu sgn là hàm dấu. Nếu x ≠ 0, sau đó tanh ( x 2 ) = cosh x − 1 sinh x = coth x − csch x { displaystyle tanh left ({ frac {x} {2}} right) = { frac { cosh x-1} { sinh x}} = coth x- operatorname {csch} x} Công thức hình vuôngsinh 2 x = 1 2 ( cosh 2 x − 1 ) cosh 2 x = 1 2 ( cosh 2 x + 1 ) { displaystyle { begin {align} sinh ^ {2} x & = { frac {1} {2}} ( cosh 2x-1) cosh ^ {2} x & = { frac {1} {2}} ( cosh 2x + 1) end {căn chỉnh}}} Bất bình đẳngBất đẳng thức sau hữu ích trong thống kê: cosh ( t ) ≤ e t 2 / 2 { displaystyle operatorname {cosh} (t) leq e ^ {t ^ {2} / 2}} Nó có thể được chứng minh bằng cách so sánh từng số hạng với chuỗi Taylor của hai hàm. Hàm nghịch đảo dưới dạng logaritarsinh ( x ) = ln ( x + x 2 + 1 ) arcosh ( x ) = ln ( x + x 2 − 1 ) x ⩾ 1 artanh ( x ) = 1 2 ln ( 1 + x 1 − x ) | x | < 1 arcoth ( x ) = 1 2 ln ( x + 1 x − 1 ) | x | > 1 arsech ( x ) = ln ( 1 x + 1 x 2 − 1 ) = ln ( 1 + 1 − x 2 x ) 0 < x ⩽ 1 vòng cung ( x ) = ln ( 1 x + 1 x 2 + 1 ) x ≠ 0 { displaystyle { begin {align} operatorname {arsinh} (x) & = ln left (x + { sqrt {x ^ {2} +1}} right) tên toán tử {arcosh} (x ) & = ln left (x + { sqrt {x ^ {2} -1}} right) && x geqslant 1 tên toán tử {artanh} (x) & = { frac {1} {2} } ln left ({ frac {1 + x} {1-x}} right) && | x | <1 tên toán tử {arcoth} (x) & = { frac {1} {2} } ln left ({ frac {x + 1} {x-1}} right) && | x |> 1 tên toán tử {arsech} (x) & = ln left ({ frac { 1} {x}} + { sqrt {{ frac {1} {x ^ {2}}} - 1}} right) = ln left ({ frac {1 + { sqrt {1- x ^ {2}}}} {x}} right) && 0 Các dẫn xuấtd d x sinh x = cosh x d d x cosh x = sinh x d d x tanh x = 1 − tanh 2 x = sech 2 x = 1 cosh 2 x d d x coth x = 1 − coth 2 x = − csch 2 x = − 1 sinh 2 x x ≠ 0 d d x sech x = − tanh x sech x d d x csch x = − coth x csch x x ≠ 0 d d x arsinh x = 1 x 2 + 1 d d x arcosh x = 1 x 2 − 1 1 < x d d x artanh x = 1 1 − x 2 | x | < 1 d d x arcoth x = 1 1 − x 2 1 < | x | d d x arsech x = − 1 x 1 − x 2 0 < x < 1 d d x vòng cung x = − 1 | x | 1 + x 2 x ≠ 0 { displaystyle { begin {align} { frac {d} {dx}} sinh x & = cosh x { frac {d} {dx}} cosh x & = sinh x { frac {d} {dx}} tanh x & = 1- tanh ^ {2} x = operatorname {sech} ^ {2} x = { frac {1} { cosh ^ {2} x}} { frac {d} {dx}} coth x & = 1- coth ^ {2} x = - operatorname {csch} ^ {2} x = - { frac {1} { sinh ^ {2} x}} && x neq 0 { frac {d} {dx}} operatorname {sech} x & = - tanh x operatorname {sech} x { frac {d} {dx}} operatorname {csch} x & = - coth x operatorname {csch} x && x neq 0 { frac {d} {dx}} operatorname {arsinh} x & = { frac {1} { sqrt {x ^ { 2} +1}}} { frac {d} {dx}} operatorname {arcosh} x & = { frac {1} { sqrt {x ^ {2} -1}}} && 1 |
