Định nghĩa quỹ tích là gì?Một hình H, theo định nghĩa, được gọi là quỹ tích của điểm M sẽ có tính chất T khi và chỉ khi hình H chứa các điểm có tính chất T. Show
Các loại quỹ tích cơ bản
Định nghĩa quỹ tích là gì?Một hình H, theo định nghĩa, được gọi là quỹ tích của điểm M sẽ có tính chất T khi và chỉ khi hình H chứa các điểm có tính chất T. Các loại quỹ tích cơ bảnTập hợp các điểm bao gồm hai điểm A, B và tất cả những điểm nằm giữa A và B là đoạn thẳng AB.Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định chính là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy.Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc chính là tia phân giác của góc đó.Tập hợp các điểm cách đường thẳng (d) một khoảng bằng I là hai đường thẳng song song với (d) và sẽ cách đường thẳng (d) một khoảng chính bằng I.Tập hợp các điểm M tạo với hai đầu mút của đoạn thẳng AB cho trước một góc \(\widehat{AMB}\) sẽ có số đo bằng \(\alpha\) không đổi là hai cung tròn đối xứng nhau qua AB (được gọi là cung tròn chứa góc \(\alpha\) vẽ trên đoạn AB).Tập hợp những cặp điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng là mặt phẳng chứa đường thẳng đó.Tập hợp các điểm trong mặt phẳng với tổng khoảng cách tới hai điểm cố định cho trước (nằm trong mặt phẳng đó) chính là đường elíp nhận hai điểm cố định đó là tiêu điểm.Tập hợp các điểm cách đều một điểm và một đường thẳng cố định sẽ là đường Parabol trong mặt phẳng đi qua điểm và đường cố định đó.Định nghĩa quỹ tích là gì?Một hình H, theo định nghĩa, được gọi là quỹ tích của điểm M sẽ có tính chất T khi và chỉ khi hình H chứa các điểm có tính chất T. Các loại quỹ tích cơ bản
Lý thuyết: Bài toán quỹ tíchĐây là dạng toán nâng cao thường xuất hiện ý cuối cùng trong một bài toán hình học thi vào lớp 10, và thường là ý khó nhất của bài hình. Một hình\( \mathscr{H} \)được gọi là quỹ tích của những điểm \(M\) có một tính chất \(\alpha\) (hay tập hợp của những điểm \(M \)có tính chất \(\alpha\) ) khi nó chứa và chỉ chứa những điểm có tính chất \(\alpha\). Phần thuận: Mọi điểm có tính chất \(\alpha\) đều thuộc hình\( \mathscr{H} \). Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình\( \mathscr{H} \)đều có tính chất \(\alpha\) . Việc trình bày lời giải bài toán này cần hai phần là phần thuận và phần đảo, tuy nhiên trong các đề thi vào lớp 10 gần đây người ra đề thường chỉ đặt câu hỏi yêu cầu học sinh làm phần thuận. Khi làm các bài thuộc dạng toán này chúng ta cần tìm phải nắm đượcnhững yếu tố đặc trưng cho bài toán. Trong một
bài toán quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng: a) Loại yếu tố cố định: thông thường
là các điểm. b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài
đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích hình v.v... Các yếu tố cố định
hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ “cố định”, “cho trước”,
“không đổi”. c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích. Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v.... Phương pháp chứng minh phần thuận: Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thông cơ sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau: 1)Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm ấy. 2)Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của góc ấy. 3)Tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng \(b\) một khoảng \(l\) cho trước là hai đường thẳng song song với đường thẳng \(b\) và cách đường thẳng \(b\) một khoảng \(l\). 4)Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định \(O\) một khoảng không đổi \(r\) là đường tròn tâm \(O\), bán kính \(r\). 5)Tập hợp các điểm \(M\) tạo thành với hai mút của đoạn thẳng \(AB\) cho trước một góc AMB có số đo bằng \(\alpha\) (\(\alpha\) không đổi) là hai cung tròn đối xứng nhau qua \(AB\) (gọi là cung chứa góc \(\alpha\)vẽ trên đoạn \(AB\)). Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm \(M\) luôn nhìn hai điểm cố định \(A, B\) dưới một góc vuông là đường tròn đường kính \(AB\). Khó khăn thường gặpHọc sinh thường gặp khó khăn khi dự đoán quỹ tích của hình do kỹ năng tưởng tượng hình chưa tốt, hoặc có thể do các yếu tố khác như hình vẽ bị rối, phức tạp, tâm lý làm bài thi chưa tốt (vì đây là câu cuối của một bài hình nên học sinh thường gặp áp lực tâm lý với câu hỏi loại này). Thi lớp 10 chuyên- Quỹ tích điểm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (115.52 KB, 3 trang ) Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM 1 ; R 1 ), (O 2 ; R 2 ) thay đổi nhưng luôn có tỉ số 1 2 R R không đổi. Đường tròn (O 1 ) luôn tiếp xúc d tại A; đường tròn (O 2 ) luôn tiếp xúc d tại B và chúng cùng phía đối với đường thẳng d. Tìm quỹ tích các giao điểm của hai tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn đó. Bài 2. Cho ba đường thẳng song song d 1 , d 2 , d 3 cố định; ∆ABC cố định và ∆A'B'C' di động sao cho A, A' ∈ d 1 ; B, B' ∈ d 2 ; C, C' ∈ d 3 và ba đoạn AA', BB', CC' song song cùng chiều. Tìm quỹ tích trọng tâm M của ∆A'B'C'. Thầy giáo : Nguyễn Ngọc Sơn Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM 1 CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN Bài 3. Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Dựng hai đường tròn bán kính bằng nhau: một đường qua A, B và đường tròn kia qua B, C. Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai M của hai đường tròn ấy. Phần II. QUỸ TÍCH VÀ ĐƯỜNG TRÒN I. Các dạng toán: 1. Điểm M cách điểm cố định O một khoảng không đổi R ⇒ Quỹ tích là (O; R). Ví dụ 5. Cho đường tròn (O; R), A là điểm cố định nằm ngoài (O), B là điểm di động trên (O) và M là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho MA 1 MB 2 = . Tìm quỹ tích các điểm M. 2. Điểm M nhìn đoạn cố định AB dưới góc không đổi α ⇒ Quỹ tích là hai cung chứa góc α dựng trên đoạn AB. Ví dụ 6. Cho đường tròn cố định (O; R) và dây cố định BC; A là điểm chạy trên cung BC lớn. Tìm quỹ tích các tâm I của đường tròn nội tiếp ∆ABC. * Đặc biệt: Nếu α = 90 0 thì quỹ tích là đường tròn đường kính AB. Ví dụ 7. Cho đường tròn cố định (O; R) và dây cố định AB; M là điểm chạy trên cung lớn AB. Gọi H là hình chiếu của A trên tia phân giác Mx của góc AMB. Tìm quỹ tích các điểm H. 3. Phương pháp tứ giác nội tiếp: Để tìm quỹ tích các điểm M, ta có thể chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp (ở đó A, B, C cố định) ⇒ Quỹ tích M là đường tròn (ABC). Ví dụ 8. Cho ∆ABC đều. Tìm quỹ tích các điểm M sao cho khoảng cách từ M đến A bằng tổng các khoảng cách từ M đến B và C. 4. Điểm M chia đoạn cố định AB theo tỉ số k không đổi (tức là: MA k MB = ; k ≠ 1) ⇒ Quỹ tích là đường tròn đường kính CD, với C, D là hai điểm chia trong và chia ngoài đoạn AB theo cùng tỉ số k (đường tròn Apollonius). Ví dụ 9. Cho ba điểm A, C, B theo thứ tự đó trên một đường thẳng. Tìm quỹ tích các điểm M nhìn các đoạn CA, CB dưới những góc bằng nhau. Từ đó suy ra quỹ tích các trọng tâm của ∆AMB. II. Bài tập: Bài 4. Cho điểm M chạy trên đường tròn cố định (O; R). A là điểm cố định sao cho OA = 2R. Kẻ phân giác OD của ∆OAM. Tìm quỹ tích các điểm D. Bài 5. Cho ∆ABC cân tại A ( µ A 2= α ) nội tiếp đường tròn (O; R) cố định. Một điểm M di động trên cung AB không chứa điểm C. Trên tia CM lấy điểm N sao cho CN = AM. Tìm quỹ tích các điểm N. Bài 6. Cho điểm A cố định trên đường tròn cố định (O; R), B là điểm di động trên (O). Dựng hình bình hành OACB. Tìm tập hợp các trọng tâm G của ∆ABC. Bài 7. Cho ∆ABC cân tại A cố định; đường thẳng d quay quanh A không cắt cạnh BC. Trên d lấy điểm M sao cho tổng khảng cách từ M đến B và C nhỏ nhất. Tìm quỹ tích các điểm M. Nguyễn Ngọc Sơn Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM 2 CÁC CHUYÊN ĐỀ ÔN THI VÀO 10 MÔN TOÁN Bài 8. Cho đoạn thẳng cố định AB = 6 cm. M là điểm chuyển động sao cho MA 1 MB 2 = . Tìm quỹ tích các điểm M. Nguyễn Ngọc Sơn Vấn đề 4. QUỸ TÍCH ĐIỂM 3 Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp vectơ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (508.86 KB, 67 trang ) Khoá luận tốt nghiệp các bài toán hình học bằng phơng pháp véctơ v..v. Nhng cha có tài liệu nào viết sâu về quy trình sử dụng phơng pháp véctơ để giải bài toán quỹ tích. Vì 1 Khoá luận tốt nghiệp những lí do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứa là:"Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phuơng pháp véctơ". II- mục đích nghiên cứu - Xây dựngvà vận dụng quy trình vào giải các bài toán quỹ tích. - Nêu các biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình. - Xây dựng hệ thống các bài toán rèn luyện kỹ năng giải bài toán quỹ tích bằng véctơ. - Góp phần nâng cao chất lợng việc dạy học phần véctơ ở chơng trình toán phổ thông. iii- giả thuyết nghiên cứu Nếu biết xây dựng đợc các quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ , đồng thời đề xuất đợc hệ thống bài tập thích hợp vận dụng quy trình thì sẽ góp phần nâng cao hiệu quả dạy học véctơ ở trờng phổ thông. IV-bố cục của luận văn Phần I: IIIIIIPhần II: Mở đầu Lý do chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Giả thuyết nghiên cứu nội dung Chơng I: Một số nét đại cơng về lôgic trình bày kiến thức ở sgk hình học 10 IMục đích, nội dung cuả việc trình bày chơng véctơ ở sgk hình học lớp 10 IINội dung kiến thức véctơ trình bày trong sgk hình học lớp 10 Ptth và các yêu cầu dạy học nội dung trên chơng ii: Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ và các biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình IQuy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ i.1. Quy trình là gì? i.2. Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ ii- biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình 2 Khoá luận tốt nghiệp phần phụ lục: Thực nghiệm s phạm IMục đích thực nghiệm IINội dung thực nghiệm III- Tổ chức thực nghiệm IV- Đánh giá kết quả thực nghiệm phần III: kết luận 3 Khoá luận tốt nghiệp phần II: nội dung Chơng I: Một số nét đại cơng về lôgic trình bày kiến thức véctơ trong sgk hình học hiện nay Kiến thức véctơ đợc trình bày ở chơng I và chơng II sách giáo khoa hình học 10 -sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000. I. - Mục đích, nội dung của việc trình bày ch ơng véctơ ở sách giáo khoa lớp 10. Mục đích: Chơng véctơ đợc đa vào chơng trình sách giáo khoa lớp 10 phổ thông với mục đích sau: 1- Phơng pháp véc tơ cho phép tiếp cận những kiến thức toán học phổ thông một cách gọn gàng, sáng sủa (nh chứng minh định lý Pitago, định lý côsin, hệ thức lợng trong tam giác v..v). Đồng thời phơng pháp véctơ còn là phơng pháp giải toán có hiệu quả một cách nhanh chóng, tổng quát đôi khi không cần đến hình vẽ. Mặt khác, nó còn có tác dụng tích cực phát triển t duy trừu tợng, năng lực phân tích tổng hợp. 2 - Từ phơng pháp véctơ có thể xây dựng chặt chẽ phơng pháp tiên đề theo tinh thần toán học hiện đại, từ đó với phơng pháp tiên đề có thể xây dựng lý thuyết hình học cũng nh công cụ giải toán, cho phép giới thiệu cách đại số hoá hình học và hình học hoá đại số 3- Việc nghiên cứu véctơ góp phần mở rộng nhân quan toán học cho học sinh, nh tạo khả năng cho học sinh làm quen với những phép toán trênđói tợng không phải số, nhng lại có tính chất tơng tự. Điều đó sẽ dẫn đến sự hiểu biết về tính thống nhất của toán học, về các phép toán đại số, các cấu trúc đại số. Đặc biệt là nhóm và không gian véctơ một trong những khái niệm quan trọng nhất của toán học hiện đại 4 Khoá luận tốt nghiệp 4-Véctơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó công cụ véctơ tạo điều kiện thực hiện mối quan hệ bên trong trờng phổ thông. 5 - Hiện nay nhiều phân môn toán ở trờng đại học và cao đẳng đợc xây dựng trên cơ sở véctơ nh hình học, giải tích, đại số tuyến tính, hình học vi phân... Vì thế nắm vững kiến thức véctơ ở phổ thông sẽ tạo điều kiện thuận lợi để học sinh tiếp tục không đột ngột nắm chơng trình toán cao đẳng, đại học. Nội dung: Nội dung chơng véctơ là nội dung mới đối với đối tợng là học sinh lớp 10. Nội dung véctơ là nội dung khó, trừu tợng đối với các em. Chơng véctơ là chơng quan trọng nhất của chơng trình hình học lớp 10, bởi vì nó không những làm giảm nhẹ một số vấn đề lý thuyết mà những vấn đề đó trình bày hoặc chứng minh bằng con đờng tổng hợp khá cồng kềnh mà nó còn cung cấp phơng pháp giải toán khá hiệu quả, ngoài ra nó còn là cơ sở để xây dựng các phơng pháp khác vv... II -Nội dung kiến thức véctơ trình bày trong sách giáo khoa hình học 10 PTTH và các yêu cầu dạy học nội dung trên. Nội dung: Véctơ đợc trình bày trong sách giáo khoa chỉnh lý hợp nhất năm 2000 với nội dung cơ bản sau: Định nghĩa véctơ: Véctơ là một đoạn thẳng đã định hớng, nghĩa là đã chỉ rõ diểm mút nào của đoạn thẳng đó là điểm đầu và điểm mút nào là điểm cuối. Có nhiều cách định nghĩa véctơ nh định nghĩa theo lớp tơng đơng, định nghĩa theo hệ tiên đề. Tuy nhiên sách giáo khoa đã định nghĩa theo cách truyền thống tức là định nghĩa dựa trên đoạn thẳng định hớng. Sự lựa chọn cách định nghĩa đó là phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh. Định nghĩa phơng, hớng và độ dài của véctơ: - Hai véctơ gọi là có cùng phơng (hoặc nói gọn là cùng phơng) nếu chúng lần lợt nằm trên hai đờng thẳng song song với nhau (hoặc trùng nhau) - Cho hai véctơ cùng phơng AB và CD , khi đó chúng có thể cùng hoặc ngợc hớng. Sách giáo khoa đã đa các hình ảnh trực quan để làm sáng tỏ điều vừa 5 Khoá luận tốt nghiệp nêu - Độ dài của véctơ AB là độ dài của đoạn thẳng A: | AB |= A=A Định nghĩa hai véctơ bằng nhau: - Hai véctơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hớng và cùng độ dài Các phép toán véctơ : Sách giáo khoa đã giới thiệu 3 phép toán ở chơng I là phép cộng các véctơ, phép trừ hai véctơ và phép nhân véctơ với một số và một phép toán ở chơng II là phép nhân một véctơ với một véctơ (tích vô hớng của hai véctơ). Phép cộng xuất phát từ định nghĩa có tính chất kiến thiết về tổng hai véctơ (chỉ ra cách xác định véctơ tổng), từ đó định nghĩa phép cộng hai véctơ. - Định nghĩa phép cộng hai véctơ: Cho hai véctơ a và b . Từ một điểm A nào đó vẽ véctơ AB = a , rồi lại từ điểm vẽ vectơ BC = b . Khi đó véctơ AC đợc gọi là tổng của hai véctơ a và b và ta viết AC = a + b Sau đó sách giáo khoa đã giới thiệu quy tắc thực hiện phép toán: quy tắc 3 điểm, quy tắc đờng chéo của hình bình hành. Phép trừ đợc đa ra dựa trên khái niệm phép cộng các vectơ và khái niệm véctơ đối của một véctơ. - Định nghĩa phép trừ hai véctơ: Hiệu của véctơ a và véctơ b là tổng của véctơ a và véctơ đối của véctơ b . Nói cách khác, hiệu của véctơ a và b là a +(- b ) Phép nhân véctơ với một số cũng có tính chất kiến thiết: Định nghĩa phép nhân véctơ với một số: Tích của véctơ a với một số thực k (hoặc tích của số thực k với véctơ a ) là một véctơ kí hiệu là k a (hoặc a k) đợc xác định nh sau: Véctơ k a cùng hớng với a nếu k0 và ngợc hớng với a nếu k<0 Độ dài của véctơ k a bằng |k| nhân với độ dài của véctơ a , nghĩa là: | ka | = | k | . | a | . Đặc biệt từ các cách xác định véctơ tổng, véctơ hiệu, véctơ ka ta có các công thức quan trọng nh: công thức về sự phân tích một véctơ thành tổng hoặc hiệu hai véctơ, công thức hình bình hành: 6 Khoá luận tốt nghiệp AB = AO + OB AB = OB - OA ;Với O là điểm bất kì. AC = AB + AD ;Với ABCD là hình bình hành. Với điểm O bất kì ta có: 2 OI = OA + OB , trong đó I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tích vô hớng của hai véctơ: - Định nghĩa tích vô hớng của hai véctơ: Tích vô hớng của hai véctơ a và b là một số, kí hiệu là a . b đợc xác định bởi công thức: a . b = | a | .| b | .cos( a , b ). Từ đó, hai véctơ a và b vuông góc với nhau khi và chỉ khi a . b =0 Tính chất của các phép toán véctơ: Phép cộng: - Với mọi véctơ a ta có: a +0 =0 +a = a - Với hai véc tơ a và b bất kỳ, tacó: a + b = b + a - Với ba véctơ a , b , c bất kỳ, ta có: ( a + b )+ c = a +( b + c ) Phép trừ: Xây dựng trên phép cộng nên có đầy đủ các tính chất của phép cộng Phép nhân véctơ với một số: Với mọi véctơ a , b và mọi số thực k, l ta có: +) k(l a ) = (kl) a +) (k+l) a = ka+la +) k( a + b ) = k a + k b +) 1. a = a , 0. a =0, k. 0 = 0 Tích vô hớng của hai véctơ: Với mọi véctơ a , b , c và mọi số thực k ta có: +) a . b = b . a (Tính chất giao hoán) +) a .( b + c ) = a . b + a . c (Tính chất phân phối). +) (k. a ). b = k.( a . b ) (Tính chất kết hợp) 7 Khoá luận tốt nghiệp Mục đích yêu cầu: - Học sinh nắm vững các định nghĩa - Học sinh nắm đợc các phép toán và tính chất của các phép toán - Học sinh biết vận dụng các kiến thức véctơ vào giải toán 3 -Thực tiễn vận dụng kiến thức trong việc giải các bài toán quỹ tích Thực sự ta phải thừa nhận rằng trong sách giáo khoa phổ thông việc vận dụng véctơ để giải các bài toán quỹ tích còn rất nhiều hạn chế. Sách giáo khoa chỉ giới thiệu bài toán tìm quỹ tích ở dạng tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hớng hoặc độ dài: Bài 1: Cho 2 điểm A,B cố định và một số dơng k không đổi. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho: MA . MB =k (Bài 6 trang 44 sách giáo khoa lớp10- chỉnh lý hợp nhất năm 2000 ) ài 2: Cho tam giác AC. Tìm quỹ tích điểm M sao cho: MA2+M2+MC2= k2. trong đó k lá một số cho trớc (Bài 3c trang 64 SGK hình học 10- Chỉnh lý hợp nhất 2000) Ngoài ra còn có một dạng toán cơ bản mà việc sử dụng phơng pháp véctơ để giải rất hữu hiệu sách giáo khoa đã không giới thiệu đó là: Tìm quỹ tích những điểm thoã mãn một đẳng thức véctơ hoặc một đẳng thức về môdul. Ví dụ: Cho A và là 2 điểm cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn : -| MA + MB |= | MA - MB |MA +2 MB = 0 Tuy nhiên đã có những tài liệu tham khảo khắc phục đợc ít nhiều khó khăn trên nh: -Các sách : Toán nâng cao cho học sinh hình học 10 của tác giả Phan Huy Khải, toán chọn lọc hình học lớp 10 của tác giả Trịnh Bằng Giang, toán nâng cao hình học 10 của nhóm tác giả Nguyễn Minh Hà- Nguyễn Xuân Bìnhvv... - Một số bài của báo toán học tuổi trẻ, các tạp chí giáo dục vv... 8 Khoá luận tốt nghiệp Chơng II Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ và các biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình. I -Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơnh pháp véctơ . I.1-Quy trình là gì ? Theo các tác giả thì quy trình là một tổ hợp các bớc có thứ tự để thực hiện một công việc nào đó . Theo từ điển Tiếng Việt _ NXB KHXH _ 1992 thì : Quy trình là trình tự phải tuân theo để tiến hành một công việc nào đó. Ví dụ 1: Quy trình để giải một phơng trình bậc hai một ẩn : a x2+ b x+c= 0 Bớc 1: Tìm biệt số delta (). Bớc 2: So sánh biệt số delta () với 0 Bớc 3: Kết luận nghiệm của phơng trình. Ví dụ 2: Quy trình để dựng đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau a và b là: Bớc 1: Dựng mặt phẳng qua b ( hoặc a ) và song song với a ( hoặc b) là (P) . Bớc 2: Dựng hình chiếu vuông góc a của a (hoặc b của b) lên mặt phẳng (P). Bớc 3:Tìm giao điểm của a với b (hoặc b với a) là N Bớc 4: Qua N dựng đờng thẳng vuông góc với (P) là d. Bớc5: Kết luận d là đờng vuông góc chung của hai đờng thẳng chéo nhau a và b . 9 Khoá luận tốt nghiệp Đối với một công việc nói chung và đối với việc giải các lớp bài toán nói riêng đều có quy trình thực hiện .Đối với lớp bài toán quỹ tích giải bằng phơng pháp véctơ cũng vậy nó cũng có một quy trình cơ bản để thực hiện. I.2- Quy trình giải bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ. 2.1 Quy trình giải bài toán. Để giải một bài toán, chúng ta phải lập đợc một lợc đồ xác định và mạch lạc những thao tác .(Lôgic,toán học hay thực tiễn) bắt đầu từ giả thiết và kết thúc bằng kết luận,dẫn dắt từ các sự kiện đến ẩn,từ cac sự kiện mà ta có trong tay đến các đối tợng mà ta muốn đạt tới. Quy trình giải là quy trình sơ đồ các thao tác,hệ thống các kết luận, kết thúc bằng việc tìm ra ẩn trong bài toán. (Trích sáng tạo toán học của G.Polia-Tập II) 2.2 -Bài toán quỹ tích giải bằng phơng pháp véctơ đợc tiến hành theo quy trình cơ bản sau: Bớc 1: Phiên dịch các dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ Bớc 2: Giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ nhằm đa bài toán về dạng quỹ tích cơ bản Bớc 3: Dịch các kết luận véctơ sang tính chất hình học tổng hợp và kết luận 2.3- Cách thức thực hiện các bớc: Để có thể giải đợc các bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ bớc đầu tiên đó là phiên dịch các dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ. Một dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp có thể phát triển bằng chuyển đổi tơng đơng với nhiều hệ thức véctơ khác nhau. Chẳng hạn: A=CD đó là một đẳng thức hình học đợc diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp khi chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ sẽ là | 2 2 AB | =| CD | hoặc AB = CD . Cho A CD là vị trí tơng đối của hai đờng thẳng A và CD đợc viết bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp khi 10 Khoá luận tốt nghiệp phiên dịch sang ngôn ngữ véc tơ là AB . CD =0. Hoặc cho 0 là trung điểm của A là cho dới dạng ngôn ngữ của hình học tổng hợp nhng khi chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ là AO = OB hoặc OA + OB = 0 hoặc là | OA | =| OB | v..v. Tuy nhiên sự phiên dịch từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ không phải lúc nào cũng dễ dàng. Bởi vậy ta cần xây dựng, tích luỹ thành lập từ điển véctơ cho mình một cách phong phú thì mới giúp chúng ta có sự phiên dịch ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ một cách dễ dàng. Một số yếu tố hình học cơ bản đợc chuyển đổi nh: Khi cho yếu tố độ dài diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp thì chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ sẽ tơng đơng với yếu tố môdul của véctơ, hoặc khi cho hai đờng thẳng vuông góc là ngôn ngữ hình học tổng hợp khi phiên dịch sang ngôn ngữ véctơ là tích vô hớng của hai véctơ chỉ phơng của hai đờng thẳng đó bằng không, cho hai đờng thẳng song song là ngôn ngữ hình học tổng hợp khi chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ ta đợc hai véctơ chỉ phơng của hai đờng thẳng đó cộng tuyến với nhau vv... Ví dụ 1: Cho tứ diện ACD có góc tam diện vuông đỉnh B. Biết AB=1, BC=BD, CD=2 2 . Gọi M, N lần lợt là trung điểm của cạnh BC và CD. Tính độ dài đờng vuông góc chung của AM và BN là EF. Đây là một bài toán hoàn cho bởi ngôn ngữ hình học tổng hợp nhng để giải nó bằng phơng pháp véctơ thì ta phải phiên dịch các dữ kiện đã biết và dữ kiện cần tìm của bài toán sang ngôn ngữ của bài toán sang ngôn ngữ véctơ. AB=1, BC=BD, CD=2 2 . Vì BCD vuông cân tại B nên BC=BD=2 là các yếu tố độ dài cho dới dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp khi dịch sang ngôn véctơ là: | AB |=1, | BC |=| BD | =2và | CD |=2 2 . M là trung điểm của BC khi chuyển sang ngôn ngữ véctơ là BM =1/2 BC , N là trung điểm của CD thì chuyển sang ngôn ngữvéctơ ta đợc CN =1/2 CD hoặc 11 Khoá luận tốt nghiệp CN = ND hoặc là BN =1/2( BC + BD ) Và A,M,E thẳng hàng hoặc E thuộc đờng thẳng AM Chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ là xR để AE =x. AM . F thuộc đờng thẳng BN hay B, N, F thẳng hàng. Suy ra khi chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ ta đợc yR để BF = yBN . Giả thiết bài toán còn cho EF AM, EF BN và tứ diện ABCD có góc tam diện vuông tại đỉnh B là các dữ kiện cho bởi ngôn ngữ hình học tổng hợp ta phiên dịch các dữ kiện đó sang ngôn ngữ véctơ là: EF . AM =0, EF . BN =0, BA . BC =0 BA . BD =0 và BC . BD =0 Kết luận của bài toán cũng cho dới dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp đó là tính độ dài đờng vuông góc chung EF ta chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ Là: Tính| EF | hoặc tính EF 2. Ví dụ 2: Cho ABC. Tìm tập hợp điểm M của không gian, thoả mãn đẳng thức: MA2+MB2=MC2. Bài toán đợc cho bởi ngôn ngữ hình học tổng hợp để giải bằng phơng pháp véctơ thì ta phải phiên dịch từ ngôn ngữ tổng hợp sang các dữ kiện của bài toán ngôn ngữ véctơ. Ta tiến hành nh sau: Bài toán đã cho: MA2+MB2=MC2 là đẳng thức hình học viết dới dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp ta chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ là MA 2+ MB 2= MC 2. Ví dụ 3: Cho tam giác vuông ABC(C=90). Tìm tập hợp điểm M sao cho: 2MC2= MA2 +MB2 Tơng tự với ví dụ 2 thì ví dụ 3 cũng là một bài toán cho bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp. Muốn giải nó bằng phơng pháp véctơ thì ta phải dịch dữ kiện của bài toán sang ngôn ngữ véctơ . Cụ thể: 2MC 2=MA2+MB2 chuyển sang ngôn ngữ véctơ sẽ là 2 MC 2= MA 2+ MB 2 và bài toán còn cho tam giác ABC vuông tại C nên dữ kiện này đợc dịch sang ngôn ngữ véctơ là CA . CB =0. Qua các ví dụ trên chúng ta một phần nào biết cách chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ. Tuy nhiên một dữ kiện hình học tổng hợp có thể chuyển đổi tơng đơng với nhiều hệ thức véctơ khác nhau. Do 12 Khoá luận tốt nghiệp đó tuỳ vào mỗi bài toán cụ thể mà ta có sự chuyển đổi thích hợp sao cho với sự chuyển đổi này bài toán sẽ đợc giải quyết dễ dàng và chính xác nhất. Ví dụ: Cho một nửa đờng tròn đờng kính AB=2R. Gọi C là một điểm chuyển động trên nửa đờng tròn. Trên tia đối của tia CA lấy một điểm D sao cho CD= CA. Tìm quỹ tích điểm D. - Để giải bài toán này trớc hết ta chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp về ngôn ngữ véctơ. Đó là AB=2R sẽ tơng đơng với | AB | =2R hoặc AB 2= 4R2, C là một điểm chuyển động trên nửa đờng tròn đờng kính AB chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ sẽ là: 2 2 2 CA . CB =0 hoặc BC + AC = AB . Bài toán còn cho CD=CA hay C là trung điểm của AD đợc chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ là: DC = CA hay DC = 1 1 DA hoặc là BC = ( BD + BA ). 2 2 Tuy nhiên theo yêu cầu của bài toán là tìm quĩ tích của điểm D nên ta tìm mối liên hệ giữa điểm D với một điểm cố định nào đó, ở đây là A và B. Nhìn vào sự chuyển đổi trên ta nên lựa chọn sự chuyển đổi phù hợp đó là giả thiết của bài toán cho C là trung điểm của đoạn AD ta sẽ dịch sang ngôn ngữ 1 véctơ bởi hệ thức BC = ( BD + BA ). 2 Từ đó ta giải bài toán nh sau: 1 Từ BC = ( BD + BA ) 2 BD =2 BC - BA = BC + AC BD 2= BC 2+ AC 2+2 BC . AC Vì theo giả thiết của bài toán cho CA . CB =0 BC . AC =0 và 2 2 2 BC + AC = AB BD 2 = AB 2=4R2. Do đó ta có mối liên hệ giữa điểm biến thiên D với điểm cố định B bằng một hệ thức BD 2=4R2. Kết luận: Quỹ tích điểm D là nửa đờng tròn tâm B bán kính bằng 2R (Vì C chạy trên nửa đờng tròn). 13 Khoá luận tốt nghiệp Sau khi phiên dịch bài toán quỹ tích từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ một cách phù hợp thì bớc tiiếp theo là ta phải giải bài toán trên ngôn ngữ véctơ để đa bài toán quỹ tích về các dạng quỹ tích cơ bản . Từ yêu cầu đó ta phải nắm vững các phép toán véctơ và các tính chất của phép toán véctơ, ngoài ra ta cần nắm vững đợc các dạng của quỹ tích cơ bản quen thuộc nh : Quỹ tích là đờng thẳng,quỹ tích là đờng tròn. Khi đó từ cácc hệ thức véctơ đã đợc chuyển đổi chúng ta phải bằng kỹ năng toán học của mình biến đổi các hệ thức véctơ đã đợc phiên dịch về hệ thức véctơ cơ bản của các dạng quỹ tích cơ bản. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Tìm quỹ tích điểm M thoả mãn đẳng thức: MA2+MB2=2MC2 Bớc 1:Phiên dịch các dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ là MA 2+ MB 2=2 MC 2 Bớc 2: Giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ đã đợc phiên dịch đó qua các phép biến đổi véctơ. Nếu nhìn bài toán đã cho với 4 điểm M,A,B,C thì ta sẽ không giải bài toán bằng phơng pháp véctơ đợc mà phải xét bài toán với những điểm đặc biệt nào đó có thể liên quan đến tam giác ABC. Chẳng hạn nh trọng tâm G, tâm đờng tròn ngoại tiếp O, trực tâm, tâm đờng tròn nội tiếp.vv... Từ đó ta có thể giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ nh sau: Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Khi đó: OA = OB = OC =R. Trong đó R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Mặt khác: MA 2=( OM - OA )2 2 2 MB =( OM - OB ) 2 2 MC =( OM - OC ) 2 2 2 Từ : MA + MB =2 MC ( OM - OA )2+( OM - OB )2=2( OM - OC )2 2 OM ( OA + OB + OC -3 OC )=0 OM ( OA + OB + OC -3 OC )=0 (1) Mà ta có tổng OA + OB + OC nên ta phải nghĩ ngay đến một điểm đặc biệt của tam giác ABC đó là trọng tâm G. Vì OA + OB + OC =3 OG . Do đó : 14 Khoá luận tốt nghiệp (1) OM (3 OG -3 OC )=0 3 OM . CG =0 OM . CG =0 OMCG. Vậy quỹ tích điểm M là đờng thẳng vuông góc với trung tuyến của tam giác ABC vẽ từ đỉnh C và đi qua tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Cuối cùng là sau khi giải đợc bài toán trên ngôn ngữ véctơ để đa bài toán về dạng quỹ tích cơ bản,ta phải chuyển cá kết luận véctơ sang tính chất hình học tổng hợp tơng ứng. Ví dụ: AM . BC =0 trong đó M là điểm biến thiên A,B,C là các điểm cố định thì quỹ tích điểm M là đờng thẳng đi qua A và vuông góc với đờng thẳng BC. Hoặc OM 2=k2 trong đó O là một điểm cố định, k là hằng số. Khi đó quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm O, bán kính k . Hoặc MA =k MB trong đó A và B là hai điểm cố định, k là một số thực thì quỹ tích điểm M là đờng thẳng AB. 2.3.1 Một số ví dụ cụ thể Ví dụ 1: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB cố định.Gọi C là 1 điểm chuyển động trên đờng tròn (O) .Tìm quỹ tích tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAC. Giải: Bớc1: Phiên dịch các dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ . Từ O tâm của đờng tròn đờng kính AB và C là một điểm chuyển động trên đờng tròn ta chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ sẽ đợc: OA = BO hay BO = 1 2 2 2 BA , AC . CB =0 hoặc CA + CB = AB 2 và I là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác OAC nên phiên dịch sang ngôn ngữ véctơ là: | IA | =| IO | =| IC | 15 Khoá luận tốt nghiệp Bớc 2: Giải bài toán trên ngôn ngữ véctơ 1 Vì BO = BA mà A, B cố định nên 2 O là một điểm cố định . Mặt khác : | IA | =| IO | Bớc 3: Từ | IA | =| IO | và A và O là hai điểm cố định ta kết luận tập hợp hay quỹ tích điểm I là đờng trung trực d của đoạn thẳng OA Ví dụ 2: Cho đờng tròn tâm(O,R) và một dây cung BC cố định., A là điểm di động trên cung lớn BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC Giải: Bớc 1: Phiên dịch các dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ. Bài toán đã cho A, B, C là 3 điểm thuộcđờng tròn tâm O bán kính R nên ta chuyển sang ngôn ngữ véctơ là: | OA | =| OB | =| OC |= R 2 2 2 2 hay OA = OB = OC = R G là trọng tâm của tam giác ABC ta chuyển sang ngôn ngữ véctơ là GA + GB + GC = 0 Bớc 2: Bằng kĩ năng toán học và sử dụng các hệ thức véctơ đã đợc chuyển đổi ta sẽ giải bài toán quỹ tích này bằng phơng pháp véctơ. Cụ thể: Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó : MG = 1 MA 3 Từ G kẻ GK// AO (KOM) Vì GK//AO nên ta đợc MG MA = MK MO = KG OA = 1 3 Vì B, C là hai điểm cố định nên trung điểm của đoạn thẳng BC cũng là điểm cố định M là điểm cố định. 1 Mặt khác: MK = MO và M, O là hai điểm 3 cố định nên K là điểm cố định. 16 Khoá luận tốt nghiệp Ta lại có: 1 OA 3 1 1 R KG 2= OA 2= R2=( )2 9 9 3 KG = Bớc 3: Kết luận tập hợp điểm G là đờng tròn tâm K bán kính R . 3 Ví dụ 3: Gọi A là một điểm cố định nằm trong đờng tròn (O, R) và M là một điểm chuyển động trên đờng tròn đó. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn AM. Giải: Bớc 1: Chuyển dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ : M là một điểm nằm trên đờng tròn ta chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơlà: | MO | =R hay MO 2= R2 I là trung điểm của AM nên chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ ta đợc IA + IM = 0 Bớc 2: Giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ . Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng AO KA = 1 OA . 2 Vì A và O là hai điểm cố định nên K cũng là một điểm cố định. Từ đó : 1 1 OA - MA . 2 2 1 1 KI = ( OA - MA )= MO 2 2 1 1 R KI 2= MO 2= R2=( )2. 4 4 2 KI = KA + AI = R Bớc 3: KI 2 =( )2 và K là một điểm cố định ta kết luận quỹ tích điểm I là đ2 ờng tròn tâm K bán kính R . 2 17 Khoá luận tốt nghiệp II. Biện pháp khắc sâu thực hiện quy trình. Một bài toán quỹ tích ở trong chơng trình phổ thông muốn giải đợc đều phải đa về các dạng quỹ tích cơ bản. Để có thể giải đợc bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ ta phải nắm đợc các quỹ tích cơ bản ở các dạng véctơ. Do đó biện pháp đầu tiên là: II.1.Biện pháp 1: Chuyển các bài toán quỹ tích cơ bản ở ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ. 1.1. Quỹ tích là đờng thẳng. 1.1.1.Tập hợp điểm M là đờng thẳng AB. Khi đó theo ngôn ngữ hình học tổng hợp là: Với mọi điểm M ba điểm A, B , M tổng hợp thẳng hàng phiên dịch sang ng Khi đó theo ngôn ngữ hình học tổng hợp là: Với mọi điểm M ba điểm A, B , M tổng hợp thẳng hàng phiên dịch sang ngôn ngữ véctơ sẽ là: AM =k AB hoặc OM =x OA +y OB ;Với O và x+y=1. 1.1.2. Tập hợp điểm M là đoạn thẳng AB. Khi đó AM =k AB với 0k1 hoặc O ta có OM =x OA +y OB ;x+y=1 và 0 x,y 1.1.3 Tập hợp điểm M là tia OA. Khi đó OM =t OA với t 0. 1.1.4. Quỹ tích những điểm M cách đều hai điểm cố định A và B là đờng trung trực của đoạn thẳng AB. Với ngôn ngữ hình học tổng hợp tổng hợp quỹ tích này đợc diễn đạt nh sau: A và B là hai điểm cố định và MA=MB. Khi đó. Quỹ tích M là đờng trung trực của đoạn thẳng AB. Quỹ tích này đợc chuyển đổi sang ngôn ngữ véctơ là A và B là hai điểm cố định và MA = OM MA 2= MB 2. Khi đó quỹ tích của điểm M là đờng trung trực của đoạn thẳng AB 18 Khoá luận tốt nghiệp Ví dụ 1: Cho một góc vuông xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Một góc vuông có đỉnh là A và quay quanh A cắt Ox tại B và cắt Oy tại C. Tìm quỹ tích trung điểm của đoạn thẳng BC Giải: Gọi M là trung điểm của BC khi đó độ dài MA = MB = MC (*) Mặt khác: tam giác BOC vuông tại O và M là trung điểm của BC nên MB = MC = MO (**) Từ (*) và (**) ta có: MA = MO mà A và O là Hai điểm cố định nên quỹ tích điểm M là một phần đờng trung trực của đoạn thẳng OA. Ví dụ 2: Cho hai điểm A và B cố định. Tìm quỹ tích tâm O của những đờng tròn mà từ A và B ta có thể vẽ đợc hai tiếp tuyến AM và BN bằng nhau (M và N là các tiếp điểm). Hớng dẫn giải: Trớc hết ta phiên dịch các dữ kiện của bài toán từ ngôn ngữ hình học tổn hợp sang ngôn ngữ véctơ. Vì AM và BN là các tiếp tuyến của đờng tròn và M, N là các tiếp điểm nên AM OM và BN ON. Ta chuyển sang ngôn ngữ véctơ sẽ đợc kết quả tơng đơng là MO = NO và MA . MO =0 và ON . NB =0. Tiếp theo bằng các hệ thức véctơ vừa đợc phiên dịch ta tìm mối liên hệ giữa điểm biến thiên là tâm O và các điểm cố định là A và B. Ta có: OA = OM + MA OA 2= OM 2+ MA 2+2 OM . MA . Vì OM . MA =0 nên OA 2= OM 2+ MA 2. Tơng tự: OB = ON + NB OB 2= ON 2+ NB 2+2 ON . NB Vì ON . NB =0 nên OB 2= ON 2+ NB 2. Mặt khác: 19 Khoá luận tốt nghiệp OM = ON OM 2= ON 2 NB = MA NB = MA 2 OM 2+ MA 2= ON 2+ NB 2 OA 2= OB 2 OA=OB. 2 Bây giờ ta phải chuyển kết quả thu đợc sang tính chất hình học tơng ứng. Đó là quỹ tích tâm O là đờng trung trực của đoạn thẳng AB. 1.1.5. Quỹ tích những điểm M cách đều hai cạnh Ox và Oy của góc xOy là đờng phân giác Oz của góc xOy . Quỹ tích này đợc cho đới dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp là: Kẻ MH vuông góc với Oy và MK vuông góc với Ox, H và K là hai điểm lần lợt thuộc Oy và Ox. Khi đó tập hợp điểm M thoã mãn MH=MK là đờng phân giác Oz của góc xOy . Quỹ tích đó đợc chuyển sang ngôn ngữ véctơ là: MH . OH =0 và MK . OK =0 và MH = MK (KOx, HOy). Quỹ tích của điểm M là đờng phân giác Oz của góc xOy . Ví dụ: Cho hai đờng thẳng a và b cắt nhau tại A. Tìm quỹ tích tâm O của các đờng tròn tiếp xúc với hai đờng thẳng đó. Giải: Gọi M và N lần lợt là các tiếp điểm của đờng thẳng a và đờng thẳng b với đờng tròn (O). Khi đó ta có: OM = ON và OM . AM =0 và ON . NA =0 do đó theo quỹ tích cơ bản của đờng phân giác ta kết luận quỹ tích tâm O là các đơng phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng a và b. 20 Khoá luận tốt nghiệp 1.1.6. Quỹ tích những điểm M cách đều hai đờng thẳng song song d1 và d2 là đờng thẳng xy song song với d1 và d2 đồng thời cách đều hai đờng thẳng d1 và d2. Quỹ tích này diễn đạt bằng ngôn ngữ hình học tổng hợp là: Gọi H vầ K lần lợt là chân đờng vuông góc của M tới d1 và d2 và điểm M thoã mãn: MH d1, MK d2 và MH = MK. Quỹ tích của điểm M là đờng thẳng xy song song với d1 và d2 đồng thời cách đều d1 và d2. Nhng khi dịch sang ngôn ngữ véctơ ta đợc: Gọi P và Q lần lợt là các điểm thuộc d1 và d2 khác hai điểm H và K. Điểm M thoã mãn điều kiện MH . HP = 0 và MK . KQ = 0 và MH = MK Quĩ tích của điểm M là đờng thẳng xy song song với d1 và d2 đong thời cách đều d1 và d2. Ví dụ1: Cho hai đờng thẳng d1 và d2 song song với nhau. Gọi A và B là hai điểm di động trên d1 và d2. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB. Giải: Dựng IH vuông góc với đờng thẳng d1 và IK vuông góc với đờng thẳng d2. Trong đó: H và K lần lợt thuộc đờng thẳng d1 và d2. Khi đó IH . HA =0 và IK . BK =0. Ta lại có IHA= IKB IH=IK hay IH = IK . Do đó quỹ tích trung điểm I là đờng thẳng d song song với d1 và d2 đồng thời cách đều hai đờng thẳng d1 và d2. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định, đỉnh A của tam giác di chuyển trên đờng thẳng d cố định song song với BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác ABC Giải: Gọi M là trung điểm Của đoạn thẳng BC G AM và AG = 2 AM hay 3 AG =2 GM . 21 Khoá luận tốt nghiệp Gọi N là trung điểm của AG thì: AN = NG = GM . Từ điểm A dựng AH vuông góc với BC , H BC thì AH =h không đổi. Lần lợt qua G và N ta dựng các đờng thẳng d2 và d1 cùng song song với BC lần lợt cắt AH tại K và I. Khi đó: AI = IK và IK = KH AI = IK = KH = AI = 1 AH . 3 1 = KH = h. 3 Nói cách khác: Bốn đờng thẳng d,d1,d2và BC là những đờng thẳng song song IK và cách đều nhau một khoảng 1 h không đổi. 3 Do vậy, quỹ tích điểm G là đờng thẳng d2 song song với BC và cách BC một khoảng không đổi 1 h ( h là khoảng cách của đờng thẳng d và đờng thẳng 3 BC). 1.1.7.Quỹ tích những điểm M cách đờng thẳng xy một khoảng không đổi d là hai đờng thẳng là hai đờng thẳng d1 và d2 song song với xy và cách đều xy một khoảng d không đổi. Ngôn ngữ hình học tổng hợp của dạng quỹ tích này là: MH xy và MH=d Nếu điểm M thoã mãn điều kiện đó thì quỹ tích của điểm M là hai đờng thẳng d1 và d2 song song với nhau và song song với đờng thẳng xy đồng thời cách đều xy một khoảng không đổi d. ta chuyển dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp của dạng quỹ tích trên sang ngôn ngữ véctơ là: Gọi N là điểm bất kỳ thuộc đờng thẳng xy, khi đó điểm M thoã mãn: 22 Khoá luận tốt nghiệp MH . HN =0 và MH = d. Thì quỹ tích những điểm M thoã mãn điều kiện đó là hai đờng thẳng d1và d2 cùng song song với xy và cách đều xy một khoảng không đổi d. Ví dụ: Tìm quỹ tích tâm của các đờng tròn có bán kính R không đổi và tiếp xúc đờng thẳng cho trớc. Giải: Gọi O là tâm của đờng tròn có bán kính không đổi và với đờng thẳng tiếp xúc với đờng thẳng xy cho trớc. Gọi P là tiếp điểm của đờng thẳng xy với đờng tròn và Q là một điểm bất kỳ thuộc đờng thẳng xy. Khi đó ta có OP . PQ =0 và OP =R. Vậy quỹ tích tâm O của đờng tròn là hai đờng thẳng d và d1 song song với xy và cách xy một khoảng không đổi R. 1.1.8.Quỹ tích những điểm M cách đều hai đờng thẳng giao nhau d1 và d2 là hai đờng thẳng 1 và 2 vuông góc với nhau và là phân giác của góc tạo bởi hai đờng thẳng d1 và d2. Quỹ tích cơ bản này cho dới dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp là: Quỹ tích điểm M thoã mãn d1 d2 =O MH d1, MK d2 và MH=MK Là hai đờng thẳng 1 và 2 với 1 và 2 là hai đờng phân giác vuông góc với nhau của các góc lập bởi d1 và d2. Bài toán quỹ tích cơ bản cho dới dạng ngôn ngữ hình học tổng hợp đợc phiên dịch sang dạng ngôn ngữ véctơ là: Tìm quỹ tích những điểm M thoã mãn điều kiện 23 Khoá luận tốt nghiệp d1 d2 =O, MH . OH =0, MK . OK =0 MK = MH . Khi đó quỹ tích điểm M thoã mãn điều kiện trên là hai đờng thẳng 1 và 2 , trong đó 1 và 2 là hai đờng phân giác vuông góc với nhau của các góc tạo bởi d1 và d2. 2.Quỹ tích những điểm M là tam giác ABC . với O, ta có OM =x OA +y OB +z OC ;x+y+z=1; 0 x,y,z . 3.Quỹ tích là đờng tròn . Một loại quỹ tích cơ bản nữa vô cùng quan trọng cho quá trình giải các bài toán quỹ tích nói chung và các bài toán quỹ tích bằng phơng pháp véctơ nói riêng. Nhng để sử dụng quỹ tích cơ bản này vào quy trình giải các bài toán quỹ tích bắng phơng pháp véctơ thì ta phải chuyển đổi ngôn ngữ hình học tổng hợp của loại quỹ tích cơ bản này sang ngôn ngữ véctơ. Ngôn ngữ hình học tổng hợp của dạng quỹ tích cơ bản này là: Quỹ tích của một điểm chuyển động cách một điểm cố định cho trớc một khoảng cách cho trớc là đờng tròn có tâm là điểm cố định cho trớc và bán kính là khoảng cách cho trớc . (Trích sách Quỹ tích Hứa Thuần Phỏng 1994 ) Ta chuyển đổi từ ngôn ngữ hình học tổng hợp sang ngôn ngữ véctơ của quỹ tích này nh sau: Nếu gọi điểm cố định cho trớc là điểm O. Điểm chuyển động là M và khoảng cách cho trớc là R. Thì dạng véctơ của quỹ tích cơ bản này nh sau: Nếu điểm M thoã mãn OM = R thì tập hợp điểm M đờng tròn tâm O bán kính R. Ngôn ngữ hình học tổng hợp của quỹ tích cơ bản đờng tròn này còn có thể 24 Khoá luận tốt nghiệp hiện dới dạng khác là: Quỹ tích đỉnh của một góc vuông chuyển động có hai cạnh góc vuông luôn luôn đi qua haiđiểm cố định cho trớc là một đờng tròn có đờng kính bằng khoảng cách giữa hai điểm cố định ấy (Trích sách Quỹ tích Hứa Thuần Phỏng 1994) Ta gọi hai điểm cố định cho trớclà A và B, và điểm chuyển động là M thì ta chuyển đổi dạng quỹ tích đó sangngôn ngữ véctơ là: Nếu MA . MB =0 thì quỹ tích của điểm M là đờng tròn đờng kính AB Ví du 1: Một đoạn thẳng AP có đầu A là một điểm cố định nằm trong đờng tròn tâm O bán kính R cho trớc. Tìm quỹ tích trung điểm của AP khi P chuyển động trên đờng tròn tâm O. Giải: Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AP. Khi đó Ta cần tìm quỹ tích của điểm M. Ta giải bài toán này theo phơng pháp véctơ. Cụ thể : Bớc 1: Chuiyển đổi các giả thiết kết luận bài toán sang ngôn ngữ véctơ. - Nối O với P thì ta có : | OP | = R Gọi N là trung điểm của đoạn OA khi đó N là điểm cố định vì A và O là hai điểm cố định cho trớc Bớc 2: Giải bài toán trong ngôn ngữ véctơ. 1 1 Ta có: MN = MA + AN = PA + AO 2 2 = - 1 1 AP + AO 2 2 1 1 ( AO - AP ) = PO 2 2 1 1 | MN | = | PO | = R. 2 2 = Bớc 3: Dịch kết luận véctơ sang tính chất hình học tơng ứng 1 Ta có | MN | = R mà N là điểm cố định nên theo quỹ tích của 2 điểm M là đờng tròn tâm N bán kính 1 R cho trớc. 2 25 |