Định lý Vi-et đóng vai trò quan trọng trong chương trình học phổ thông. Nó có mặt ở chương trình lớp 10, 11 và 12. Trong bài viết này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu định lý Viet bậc 2, định lý Viet bậc 3 và ứng dụng của nó để giải một số bài tập thường gặp trong chương trình cấp 3 nhé! Show 1. Định lý Vi-et là gì?- Hai số và là các nghiệm của phương trình bậc hai khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức - Ba số và là các nghiệm của phương trình bậc ba khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức 2. Ứng dụng của định lý Vi-et trong giải toán• Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai. • Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức có hai nghiệm và thì nó có thể phân tích thành nhân tử. • Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng làvà tích làthì chúng là nghiệm của phương trình. • Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình bậc hai(1), kí hiệu. Khi đó: + Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi. + Phương trình (1) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi. + Phương trình (1) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi. 3. Ví dụ minh họa vận dụng định lý Vi-et3.1. Ứng dụng định lý Viet trong các bài toán ở lớp 10Ví dụ 1. Không giải phương trình, cho biết dấu các nghiệm: Lời giải: a) Ta có Vì nên hai nghiệm cùng dấu và nên hai nghiệm cùng dấu dương. b) Ta có Vì nên hai nghiệm cùng dấu và nên hai nghiệm cùng dấu âm. c) Ta cónên hai nghiệm trái dấu. Ví dụ 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) b) c) d) Lời giải: a) Phương trìnhhoặc. Suy ra. b) Phương trìnhhoặc. Suy ra. c) Ta coi phương trìnhlà phương trình bậc hai ẩn. Ta có. Suy ra phương trình có nghiệm là hoặc. Do đó. d) Ta có. Ta coi đây là phương trình bậc hai ẩn và có. Suy ra phương trình có nghiệm là hoặc. Do đó. Ví dụ 3. a) Cho phương trình. Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức. b) Cho phương trình. Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức. Lời giải: a) Theo hệ thức Vi-et, ta cóvà. Do đó b) Ta có. Theo định lý Vi-et, ta có: • •. Suy ra nên. Do đó Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của để phương trình a) có hai nghiệm thỏa mãn. b) có hai nghiệm thỏa mãn. c) có hai nghiệm thỏa mãn. d) có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn. Lời giải: a) • Nếu thì phương trình đã cho trở thành: không thỏa mãn. • Nếu. Ta có. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là. (*) Với điều kiện (*) giả sử là hai nghiệm của phương trình. Từ yêu cầu bài toán và áp dụng định lý Vi-et ta có Thay vào phương trình, ta được hoặc. Đối chiếu điều kiện ta được hoặc thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) Ta có. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là. Theo định lý Vi-et, ta có. Thay vào hệ thức, ta được hoặc. Đối chiếu điều kiện ta được thỏa mãn yêu cầu bài toán. c) Ta có. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là. Ta có Theo định lý Vi-et, ta có. Thay vào hệ thức, ta được Đối chiếu điều kiện ta được thỏa mãn yêu cầu bài toán. d) Ta có. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là hoặc. Ta có Theo định lý Vi-et, ta có và Thay vào hệ thức, ta được Đối chiếu điều kiện ta được hoặc thỏa mãn yêu cầu bài toán. 3.2. Ứng dụng của định lý Viet trong các bài toán lớp 11 và 12Ví dụ 1. Tìm điều kiện của tham số để phương trình a) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng. b)có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng. Lời giải: a) Phương trình đã cho có ba nghiệmkhi So sánh hai vế ta có. Nếu ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì Thay nghiệm vào phương trình, ta được Với, phương trình trở thành Yêu cầu bài toán ⇔ phương trình có hai nghiệm. Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán. b) Ta có (1) . Đặt. Phương trình trở thành (2) Phương trình (1) có bốn nghiệm khi phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt Khi đó bốn nghiệm của phương trình (1) theo thứ tự là. Bốn nghiệm này lập thành cấp số cộng. Theo định lý Vi-et, ta có Từ và suy ra. Thay vào, ta được hoặc.
Ví dụ 2. Tìm các giá trị của m để hàm số
Lời giải: 1. Hàm số đã cho có các điểm cực đại, cực tiểu có hoành độ là các số dương khi và chỉ khi phương trình:có 2 nghiệm dương phân biệt, nghĩa là ta luôn có: Vậy, là giá trị cần tìm thỏa mãn đề bài. 2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên Ta có :. Hàm số có cực đại , cực tiểu khicó hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua mỗi nghiệm đó Khi đó : Gọilà các điểm cực trị của đồ thị hàm số thì x1,x2 là nghiệm của phương trình. Trong đó: Theo định lí Vi-ét, ta có: Theo bài toán: So với điều kiện bài toán, vậy là giá trị cần tìm. Ví dụ 3. Trên tập số phức, xét phương trình ( là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn? Lời giải: Chọn D Ta có. Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Nên để phương trình đó có hai nghiệm phân biệtthỏa mãn ta xét hai trường hợp: TH1:, trong trường hợp nàylà hai nghiệm thực nên TH2: nên không tồn tại số nguyên dương trong trường hợp này. Vậy có 1 giá trị nguyên dương của thỏa mãn điều kiện bài ra. Ví dụ 4. Cho số phức và hai số thực. Biết rằng và là hai nghiệm của phương trình. Tổng bằng Lời giải: Chọn B . Đặt . Vì và phương trình có hai nghiệm là, nên. Theo định lý Vi-et: Vậy 4. Bài tập tự luyện về định lý Vi-etBài 1. Cho phương trình, với là tham số. a) Chứng minh rằng phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu với mọi. b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là. Tìm để biểu thức đạt giá trị lớn nhất. ĐÁP ÁNa) Xét,. Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi. b) Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là. Theo câu a) thì, do đóđược xác định với mọi. Do trái dấu nên và, suy ra. Đặt với, suy ra. Khi đó mang giá trị âm vàđạt giá trị lớn nhất khicó giá trị nhỏ nhất. Ta có, suy ra. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi. Với ta có Vậy với thì biểu thứcđạt giá trị lớn nhất là -2. Bài 2. Cho phương trình, với là tham số. Gọi là hai nghiệm phân biệt của phương trình. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức. ĐÁP ÁNTa có. Để phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi. Theo định lý Vi-et, ta có và. Khi đó (do) Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi. Vậy giá trị lớn nhất củabằng, khi. Bài 3. Cho phương trình, với là tham số. Gọi là hai nghiệm của phương trình. a) Tìm hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào. b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức ĐÁP ÁNTa có, với mọi. Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của. Theo hệ thức Vi-et, ta có và. a) Thayvào, ta được. Vậy hệ thức liên hệ giữa không phụ thuộc vào là. b) Ta có. Suy ra Vì Suy ra. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi. Và Suy ra. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi. Vậy GTLN củabằng 1, khi; GTNN củabằng, khi. Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức ta làm như sau: Xét. Khi đó để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thì tử số là biếu thức phải biểu diễn được dưới dạng bình phương hay hoặc. Vì vậy ta mới đi xét như trên. Bài 4. Cho phương trình, với là tham số. Gọi là nghiệm của phương trình, chứng minh rằng ĐÁP ÁNTa có. Để phương trình có hai nghiệm. Theo định lý Vi-et, ta có và. Ta có Vì, suy ra. Do đó Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi. Bài 5. Cho phương trình, với là tham số. Tìm tất cả các giá trị để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho biểu thức có giá trị là số nguyên. ĐÁP ÁNTa có Để phương trình có hai nghiệm phân biệt Theo định lý Vi-et, ta có và . Do đó Suy ra. Do nên. Để thì ta phải có là ước của 5, suy ra. Thử lại với, ta được: thỏa mãn. Vậy là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Như vậy, nội dung trên đã tổng hợp kiến thức để học sinh hiểu thế nào định lý Vi-et và đưa ra phương pháp giải các dạng bài tập thường gặp trong chương trình phổ thông. Hy vọng qua bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh nắm vững kiến thức ở phần này từ đó các bạn có thể làm tốt các bài tập trên lớp. |
