Nguyên hàm hàm hợp là kiến thức toán học quan trọng trong chương trình GDPT bậc THPT hiện nay. Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về dạng bài tập này chi tiết, hãy cùng Monkey tìm hiểu rõ hơn ngay trong bài viết sau đây nhé. Show Nguyên hàm hàm hợp là gì?Nguyên hàm hàm hợp được biết đến là một trong những dạng toán của nguyên hàm. Trong đó: Nguyên hàm là của một hàm số thực cho trước f là một hàm F có đạo hàm bằng f, nghĩa là, F′ = f. Để có thể tìm được một nguyên hàm sẽ khó hơn so với tìm đạo hàm, nên không phải lúc nào cũng thực hiện được. Hàm hợp là một phép toán nhân hai hàm số f và g và cho ra một hàm số h sao cho h(x) = g(f(x)). Trong dạng toán này, hàm số f : X → Y và g : Y → Z được hợp lại để tạo thành một hàm mới biến x thuộc X thành g(f(x)) thuộc Z. Tuy nhiên, với hàm hợp liên tục trên đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, thì đều tồn tại nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn/khoảng từ a đến b nêu trên. Ngoài ra, nguyên hàm hàm hợp được liên hệ với tích phân thông qua định lý cơ bản của giải tích, để hỗ trợ quá trình tính toán tích phân hàm hợp dễ dàng hơn. Công thức nguyên hàm hàm hợp chi tiết nhấtDựa vào định nghĩa cơ bản về nguyên hàm của hàm hợp, mọi người cũng hiểu được phần nào về dạng bài toán này. Tuy nhiên, để có thể giải được bài toán nguyên hàm hợp cần phải có công thức tính toán cụ thể. Dưới đây sẽ là bảng công thức nguyên hàm hàm hợp chi tiết để học sinh có thể áp dụng và thực hành trong bài toán gặp phải.  Lưu ý: Vì đây là bảng nguyên hàm của hàm hợp cơ bản. Nên học sinh khi học cần phải thuộc và nắm rõ công thức để có thể áp dụng trong giải bài tập toán. Tuy nhiên, trong một số dạng toán nguyên hàm nâng cao, công thức này sẽ chỉ mang tính chất cơ bản. Đòi hỏi các em cần phải biết vận dụng một cách khoa học để có thể giải toán chính xác nhất. Đồng thời, mọi người nên tránh tình trạng học vẹt, học thuộc lòng công thức mà không biết vận dụng và mở rộng. Thay vào đó hãy kết hợp thêm một số công thức nguyên hàm liên quan để có thể hiểu rõ bản chất của từng công thức toán, để từ đó có thể giải được nhiều dạng bài tập toán từ cơ bản đến nâng cao hiệu quả hơn. Các dạng bài tập về nguyên hàm hàm hợp thường gặp và cách giảiKhi thuộc công thức nguyên hàm của hàm hợp trên chỉ giúp học sinh giải được các bài toán ở mức độ cơ bản. Tuy nhiên trong toán học, nhất là dạng toán nguyên hàm sẽ có nhiều dạng nhỏ hơn với nhiều mức độ khó dễ khác nhau. Đòi hỏi học sinh phải biết áp dụng công thức sao cho phù hợp với từng dạng bài tập chính xác. Vậy nên, ngoài việc thuộc công thức nguyên hàm hàm hợp, các em cũng nên nắm được một số dạng bài tập liên quan để có thể luyện tập và áp dụng khi gặp chúng. Dưới đây là một số dạng toán về nguyên hàm các hàm số hợp để mọi người có thể tham khảo: Các bài tập toán nguyên hàm hàm hợp tự luyệnĐể có thể giúp học sinh nắm vững được kiến thức về nguyên hàm của hàm hợp, cùng với việc vận dụng công thức tính hiệu quả hơn. Dưới đây là một số bài tập tự luyện để các em có thể luyện tập: Lưu ý: Học sinh nên tự làm các câu hỏi trước và đối chiếu với lời giải để đảm bảo mình hiểu rõ dạng bài tập này, để có thể nâng cao khả năng học toán của mình tốt hơn. Xem thêm: Nguyên hàm căn x và tất tần tật thông tin về dạng toán căn x nguyên hàm chi tiết nhất Kết luậnTrên đây là tổng hợp những kiến thức về dạng bài tập nguyên hàm hàm hợp. Qua đó có thể thấy đây là một dạng toán khá khó, nhưng nếu học sinh nắm vững được công thức, biết cách vận dụng thì sẽ giúp các em cảm thấy bớt lo lắng hay thấy kiến thức này khó đối với mình. Chúc các em đạt được kết quả tốt! Cơ quan chủ quản: Công ty Cổ phần Đầu tư và Dịch vụ Giáo dục MST: 0102183602 do Sở kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội cấp ngày 13 tháng 03 năm 2007 Địa chỉ: - Văn phòng Hà Nội: Tầng 4, Tòa nhà 25T2, Đường Nguyễn Thị Thập, Phường Trung Hoà, Quận Cầu Giấy, Hà Nội. - Văn phòng TP.HCM: 13M đường số 14 khu đô thị Miếu Nổi, Phường 3, Quận Bình Thạnh, TP. Hồ Chí Minh Hotline: 19006933 – Email: [email protected] Chịu trách nhiệm nội dung: Phạm Giang Linh Giấy phép cung cấp dịch vụ mạng xã hội trực tuyến số 597/GP-BTTTT Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 30/12/2016. Xét dấu g'(x) dựa vào dấu của f'(u(x)) và u'(x) theo quy tắc nhân dấu. Lưu ý khi xét dấu f'(u(x)) dựa vào dấu của f'(x) như sau: Nếu f'(x) không đổi dấu trên D thì f'(u(x)) không đổi dấu khi u(x) ∈ D. Bài toán 2: Cho hàm y = f(x) hoặc y = f'(x) xét sự biến thiên của hàm g(x) = f(u(x)) + h(x) Phương pháp:
Bài toán 3: Cho hàm y = f(u(x)) hoặc hàm y = f'(u(x)) xét sự biến thiên của hàm y = f(x) Phương pháp: Giả sử ta có: f'(u(x)) > 0 ⇔x ∈ D. Ta cần giải BPT f'(x) > 0
2. Ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1. Cho hàm số f(x) , bảng xét dấu của f'(x) như sau: Hàm số f(5 - 2x) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Lời giải Ta có y = f(5 - 2x) → y' = -2f'(5 - 2x) Hàm số nghịch biến khi y' = -2f'(5 - 2x) ≤ 0 ⇔ f'(5 - 2x) ≥ 0 Dựa vào bảng xét dấu ta thấy khi Nên Vậy hàm số y = f(5 - 2x) nghịch biến trên các khoảng (3,4) và (-∞;2) Chọn B Ví dụ 2. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R và có đồ thị hàm f'(x) như hình vẽ dưới đây. Hàm số g(x) = f(x 2 - x) đồng biến trên khoảng nào? Từ bảng xét dấu ta có hàm số g(x) đồng biến trên khoảng Chọn C. Lưu ý: Dấu của g'(x) ở bảng trên có được nhờ nhân dấu của hai biểu thức (2x - 1) và f'(x 2 - x) Ví dụ 3. Cho hàm số f(x) có bảng xét dấu của đạo hàm như sau: Hàm số y = 3f(x + 2) - x 3 + 3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Lời giải Ta có y' = 3f'(x + 2) - 3x 2 + 3 = 3[f'(x + 2) + (1 - x 2 )] Xét f'(x + 2) = 0 ⇔ x + 2 ∈ ⇔ x ∈ {-1,0,1,2} Xét 1 - x 2 = 0 ⇔ x = 1, x = - Lại có: Bảng xét dấu Từ bảng xét dấu suy ra trên khoảng (-1,0) hàm số đồng biến. Chọn C. Ví dụ 4. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Hàm số y = f'(3x - 1) có đồ thị như hình vẽ: Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
C. (-∞;-6) D.Lời giải Ta cần giải BPT dạng f'(x) > 0**.** Ta có Chọn C. 3. Bài tập tự luyện. Bài 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R. Đồ thị hàm số y = f'(3x + 5) như hình vẽ. Hàm số y = f(x) nghịch trên khoảng nào? Bài 2. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hàm số y = f'(2 - x) như hình vẽ bên. Hỏi hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. (-2,4). B. (-1,3) C. (-2,0) D. (0,1)Bài 3. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên R. Đồ thị hàm số y = f'(x) như hình vẽ bên dưới. Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
Bài 4. (Đề tham khảo BGD năm 2017-2018) Cho hàm số y = f(x). Hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình bên. Hàm số y = f(2 - x) đồng biến trên khoảng: A. (1;3) B. (2;+∞)C. (-2;1) D. (-∞;2)Bài 5. (Sở GD&ĐT Nam Định năm 2018-2019) Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có đạo hàm f’(x) thỏa mãn f’(x) = (1-x)(x+2)g(x) + 2018 với g(x) < 0,∀x ∈ R. Hàm số y = f(1-x) + 2018x + 2019 nghịch biến trên khoảng nào?
Bài 9. (Chuyên Quốc Học Huế năm 2018-2019) Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R là f’(x) = (x-1)(x+3). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10;20] để hàm số y = f(x 2 +3x-m) đồng biến trên khoảng (0;2)? |
