Cho A là một ma trận. Ma trận có được từ A bằng cách xóa đi một số dòng và một số cột được gọi là ma trận con của A. Định thức của ma trận con cấp k của A được gọi là định thức con cấp k của A. Show
Hạng của ma trận A là r nếu: A có một định thức con cấp r khác 0 và mọi định thức con cấp s (s > r) đều bằng 0. Ta thường ký hiệu của ma trận A là R(A) Ví dụ: Cho ma trận \(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,1\,\,\,\,1\\ 0\,\,\,\,1\,\,\,\,1\\ 0\,\,\,\,0\,\,\,1 \end{array} \right)\). Tìm hạng của A Vì \(\left| A \right| = 1 \ne 0\) nê R(A)=3 Ví dụ: Cho ma trận \(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,2\,\,\,\,3\\ 4\,\,\,\,5\,\,\,\,6\\ 7\,\,\,\,8\,\,\,9 \end{array} \right)\). Tìm hạng của A Vì \(\left| A \right| = 0\,và\,\left| \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,2\\ 4\,\,\,\,5 \end{array} \right| = - 3 \ne 0\)nên R(A)=2 Một số hệ quả: \(\begin{array}{l} R({A_{m\,x\,n}}) \le \,\min \left\{ {m,n} \right\}\\ R(A) = R({A^T})\\ R({A_{n\,x\,n}}) = n \Leftrightarrow \left| {{A_{m\,x\,n}}} \right| \ne 0 \end{array}\) Xét ma trận A. Ta có: R(A) = hạng của hệ vectơ dòng của A = hạng của hệ vectơ cột của A. 2. Ma trận bậc thang2.1 Định lý.
Ví dụ: Xét ma trận \(A = \left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,0\\ 0\,\, - 3\,\,\,\,\,0\,\,\,\,2\\ 1\,\,\,\,\,2\,\, - 3\,\,\,\,1\\ 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,0 \end{array} \right)\) Ta có: Dòng thứ 1 là dòng không tầm thường bậc 1. Dòng thứ 2 là dòng không tầm thường bậc 2. Dòng thứ 3 là dòng không tầm thường bậc 1. Dòng thứ 4 là dòng tầm thường. 2.2 Định nghĩa.Một ma trận A có dạng bậc thang nếu:
Ví dụ: \(A = \left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,0\\ 0\,\, - 3\,\,\,\,\,0\,\,\,\,2\\ 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \end{array} \right)\) là một ma trận bậc thang Một ma trận bậc thang thu gọn là một ma trận bậc thang có thêm các tính chất:
Ví dụ: \(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,4\\ 0\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,2\,\,\,\,0\,\, - 1\\ 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,1\,\,\,\,\,2 \end{array} \right)\)là một ma trận bậc thang thu gọn 2.3 Hạng của ma trận bậc thangCho A là một ma trận bậc thang. Khi đó, từ định nghĩa hạng cùa ma trận, ta dễ thấy: R(A) = số dòng không tầm thường của ma trận A Ví dụ: Xét \(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,3\,\,\,\,\,4\\ 0\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,4\\ 0\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,0 \end{array} \right)\). Vì A có dạng bậc thang và có 2 dòng không tầm thường nên R(A)=2. 3. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng.3.1 Định nghĩa.Các phép biến đổi sau đây trên ma trận được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng
Dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng, ta có thể đưa một ma trận vê dạng bậc thang hay dạng bậc thang thu gọn. 3.2 Đưa ma trận về dạng bậc thang.Ta có thuật toán đưa một ma trận về dạng bậc thang như sau :
Ví dụ Đưa ma trận sau đây về dạng bậc thang \(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,2\,\,\, - 3\,\,\,0\\ 2\,\,\,4\,\,\, - 2\,\,\,2\\ 3\,\,\,6\,\,\, - 4\,\,\,3 \end{array} \right)\) Giải Ta có: dạng bậc thang3.3 Đưa ma trận bậc thang về dạng bậc thang thu gọnTa có thuật toán đưa một ma trận bậc thang về dạng bậc thang thu gọn như sau: Cho \(A=({a_{{\rm{ij}}}} )\) là ma trận có dạng bậc thang với các phần tử dẫn đầu lần lươt là \({a_{{\rm{1j_1}}}} ,{a_{{\rm{2j_2}}}},...,{a_{{\rm{rj_r}}}}\) . Bước 1: Nhân dòng r với \(\frac{1}{{{a_{{\rm{r}}{{\rm{j}}_{\rm{r}}}}}}}\) để có phần tử dẫn đầu của dòng r là 1. Bước 2 : Dùng phần tử \({a_{{\rm{r}}{{\rm{j}}_{\rm{r}}}}}=1\) như là phần tử trụ, đưa các phần tử cùng cột và ở trên a về số 0 bằng phép biến đôi sơ cấp \(d_i-{a_{{\rm{r}}{{\rm{j}}_{\rm{r}}}}}d_r\). Bước 3 : Lặp lại các bước trên đối với các dòng r-1, r-2,...,2. Bước 4 : Nhân dòng 1 với \(\frac{1}{{{a_{{\rm{1}}{{\rm{j}}_{\rm{1}}}}}}}\). Để đưa về dạng bậc thang thu gọn, ta có thể áp dụng hai thuật toán nêu trên, đưa ma trận về dạng bậc thang rồi đưa về dạng bậc thang thu gọn. Ngoài ra, ta có thể áp dụng thuật toán đưa ma trận về dạng bậc thang có sửa đổi một chút: Ở bước 3, thay vì chỉ đưa các số khác 0 đứng dưới và cùng cột với phân tử dẫn đầu về số 0, thì ta đưa cả các số khác 0 đứng trên và cùng cột với phần tử dẫn đầu về số 0. Cuối cùng, khi đã có được dạng bậc thang, ta chia các dòng tầm thường cho phần tử dẫn đầu của chúng để đưa các phần tử dẫn đầu về số 1. Ví dụ: Đưa ma trận sau đây về dạng bậc thang thu gọn \(A = \left( \begin{array}{l} 2\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,5\,\,\,\,\,\,3\\ 1\,\, - 4\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,3\\ 3\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,2 \end{array} \right)\) Giải Ta có dạng bậc than thu gọn.4. Định lý.Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng của một ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận.. Ví dụ: Tìm hạng của ma trận \(A = \left( \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\, - 3\,\,\,\,\,\,0\\ 2\,\,\,\,4\,\,\,\,\, - 2\,\,\,\,\,\,2\\ 3\,\,\,\,6\,\,\,\,\, - 4\,\,\,\,\,\,3 \end{array} \right)\) Ta có: Vì R(B) = 2 nên R(A) = 2. Ứng dụng: Để kiểm tra tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của một hệ n vectơ, ta có thể sắp các vectơ ấy thành các dòng của một ma trận A, rồi tìm hạng của A. Nếu R(A) = n thì hệ đó là một hệ độc lập tuyến tính, nếu R(A) < n thì hệ đó là một hệ phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ: Xét tính độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ sau đây: V = {(1,2,0,3), (2,1,-4,0), (-2,0,1,1)} Giải Ta lập ma trận Suy ra: R(A) = 3. Vậy, V độc lập tuyến tính. Để tìm một cơ sở và số chiều của không gian vectơ con sinh bởi một hệ vectơ, ta lập ma trận A gồm các dòng là các vectơ đó, rồi đưa A về dạng bậc thang. Các dòng không tầm thường của A tạo thành một cơ sở của không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ đó, và số dòng không tâm thường tối đa của A ở dạng bậc thang là số chiều của không gian sinh. Hạng của ma trận bằng 0 khi nào?Ma trận đơn vị cấp n kí hiệu là In. - dòng có tất cả các phần tử đều bằng 0 (nếu có) nằm phía dưới dòng có phần tử khác 0; - phần tử khác 0 đầu tiên (tính từ trái sang phải) của mỗi dòng dưới nằm bên phải so với phần tử khác 0 đầu tiên của dòng trên. Ma trận còn là gì?Ma trận con chính là một ma trận con vuông thu được bằng cách xóa đi một số hàng và cột. Mỗi tác giả có một cách định nghĩa khác nhau. Theo một số tác giả, ma trận con chính là một ma trận con mà tập chỉ số hàng còn lại bằng tập chỉ số cột còn lại. Hai ma trận bằng nhau khi nào?Hai ma trận được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng kích thước và các phần tử tương ứng bằng nhau. A T là gì?Trong đại số tuyến tính, ma trận chuyển vị (tiếng Anh: transpose) là một ma trận mà ở đó các hàng được thay thế bằng các cột, và ngược lại. Để có được ma trận chuyển vị, chúng ta có thể sử dụng toán tử lật ma trận theo đường chéo chính của nó. Ma trận chuyển vị của ma trận A được ký hiệu là AT. |