CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN I – Kiến thức cần nhớ 1, Định nghĩa - Hàm số bậc nhất là hàm số được cho bởi công thức $y=ax+b$ trong đó $a;b$ là các số cho trước và $a\ne 0.$ - Đặc biệt, khi $b=0$ thì hàm số có dạng $y=ax.$ 2, Tính chất - Hàm số bậc nhất $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ xác định với mọi giá trị của $x\in \mathbb{R}$. - Hàm số đồng biến khi $a>0$ - Hàm số nghịch biến khi $a<0$. 3, Đồ thị - Đồ thị của hàm số $y=ax+b$ $\left( a\ne 0 \right)$ là một đường thẳng: + Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $b;$ + Song song với đường thẳng $y=ax$ khi $b\ne 0$ + Trùng với đường thẳng $y=ax$ khi $b=0$ - Chú ý: Đồ thị hàm số $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ còn được gọi là đường thẳng $y=ax+b$; $a$ được gọi là hệ số góc của đường thẳng ; $b$ được gọi là tung độ gốc của đường thẳng. 4, Góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất và trục $Ox$ - Gọi $\alpha $ là góc tạo bởi đường thẳng $y=ax+b\,\,\left( a\ne 0 \right)$ và trục $Ox$. + Nếu $\alpha <{{90}^{0}}$ thì $a>0$. + Nếu $\alpha >{{90}^{0}}$ thì $a<0$. 5, Vị trí tương đôi của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng $\left( {{d}_{1}} \right):y={{a}_{1}}x+{{b}_{1}}$ và $\left( {{d}_{2}} \right):y={{a}_{2}}x+{{b}_{2}},$ trong đó ${{a}_{1}},\,\,{{a}_{2}}\,\,\ne 0$ - $\left( {{d}_{1}} \right)$ cắt $\left( {{d}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow {{a}_{1}}\ne {{a}_{2}}$ - $\left( {{d}_{1}} \right)//\left( {{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\ & {{b}_{1}}\ne {{b}_{2}} \\ \end{align} \right.$ - $\left( {{d}_{1}} \right)\,$ trùng với $\left( {{d}_{2}} \right)$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{a}_{1}}={{a}_{2}} \\ & {{b}_{1}}={{b}_{2}} \\ \end{align} \right.$ - $\left( {{d}_{1}} \right)\bot \left( {{d}_{2}} \right)\Leftrightarrow {{a}_{1}}.{{a}_{2}}=-1$ II – Bài tập vận dụng Đề bài. Cho hàm số bậc nhất $y=\left( m-2 \right)x+m+3\,\,\,\left( d \right)$
Bài giải
$\Leftrightarrow m-2>0$ $\Leftrightarrow m>2$
$\Leftrightarrow m-2<0$ $\Leftrightarrow m<2$
$\Leftrightarrow 2=\left( m-2 \right).1+m+3$ $\Leftrightarrow 2=2m+1$ $\Leftrightarrow 2m=1$ $\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m-2=3 \\ & m+3\ne -3+m \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow m=5$
$\Leftrightarrow 2\left( m-2 \right)=-1$ $\Leftrightarrow m-2=-\frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow \left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( 3;0 \right)$ $\Leftrightarrow 0=3\left( m-2 \right)+m+3$ $\Leftrightarrow 0=3m-6+m+3$ $\Leftrightarrow 4m=3$ $\Leftrightarrow m=\frac{3}{4}$
$\Leftrightarrow \left( d \right)$ đi qua điểm $N\left( 0;3 \right)$ $\Leftrightarrow 3=\left( m-2 \right).0+m+3$ $\Leftrightarrow m=0$
$-x+2=2x-1$ $\Leftrightarrow 3x=3$ $\Leftrightarrow x=1$ $\Rightarrow y=-1+2=1$ $\Rightarrow \left( {{d}_{3}} \right)$ cắt $\left( {{d}_{4}} \right)$ tại điểm $B\left( 1;1 \right)$ Để $\left( d \right),\,\,\left( {{d}_{3}} \right),\,\,\left( {{d}_{4}} \right)$ đồng quy thì $\left( d \right)$ phải đi qua điểm $B$ $\Leftrightarrow 1=\left( m-2 \right).1+m+3$ $\Leftrightarrow 1=2m+1$ $\Leftrightarrow 2m=0$ $\Leftrightarrow m=0$ i)  Vì $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${{45}^{0}}$ nên ta có: $m-2>0$ $\Leftrightarrow m>2$ Đồ thị hàm số $\left( d \right)$cắt$Ox$ tại điểm $E\left( \frac{-m-3}{m-2};0 \right)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $F\left( 0;\,m+3 \right)$ Ta có góc tạo bởi $\left( d \right)$ và trục $Ox$ là: $\widehat{OEF}$ Ta có: $\tan \widehat{OEF}=\frac{OF}{OE}$ $\Rightarrow \tan {{45}^{0}}=\left| \frac{m+3}{\frac{-m-3}{m-2}} \right|=\left| m-2 \right|$ $\Leftrightarrow \left| m-2 \right|=1$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m-2=1 \\ & m-2=-1 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=3\,\,\,(tm) \\ & m=1\,\,\,(l) \\ \end{align} \right.$ Vậy $m=3$ j) Vì $\left( d \right)$ tạo với trục $Ox$ một góc ${{150}^{0}}$ nên $m-2<0$ $\Leftrightarrow m<2$ Đồ thị hàm số $\left( d \right)$cắt$Ox$ tại điểm $E\left( \frac{-m-3}{m-2};0 \right)$ và cắt trục $Oy$ tại điểm $F\left( 0;\,m+3 \right)$ Góc tạo bởi $\left( d \right)$ và trục $Ox$ là $\widehat{FEx}$ $\Rightarrow \widehat{FEx}={{150}^{0}}$ $\Rightarrow \widehat{OEF}={{180}{0}}-{{150}{0}}={{30}^{0}}$ $\tan \widehat{OEF}=\frac{OF}{OE}$ $\Rightarrow \tan {{30}^{0}}=\frac{\left| m+3 \right|}{\left| \frac{-m-3}{m-2} \right|}=\left| m-2 \right|$ $\Leftrightarrow \left| m-2 \right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{l}} \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & m-2=\frac{\sqrt{3}}{3} \\ \text{ }\!\!~\!\!\text{ } & m-2=-\frac{\sqrt{3}}{3} \\\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2+\frac{\sqrt{3}}{3}(l) \\ & m=2-\frac{\sqrt{3}}{3}(tm) \\ \end{align} \right.$ Vậy $m=2-\frac{\sqrt{3}}{3}$ k) Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $O$ đến $\left( d \right)$ Khi đó khoảng cách từ $O$ đến $\left( d \right)$ là $OH$ Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta OEF$ vuông tại $O$ , đường cao $AH$ ta có: $\frac{1}{O{{H}{2}}}=\frac{1}{O{{E}{2}}}+\frac{1}{O{{F}^{2}}}$ $\frac{1}{{{1}{1}}}=\frac{{{\left( m-2 \right)}{2}}}{{{\left( m+3 \right)}{2}}}+\frac{1}{{{\left( m+3 \right)}{2}}}$ $\Rightarrow {{\left( m-2 \right)}{2}}+1={{\left( m+3 \right)}{2}}$ $\Leftrightarrow {{m}{2}}-4m+4+1={{m}{2}}+6m+9$ $\Leftrightarrow 10m=-4$ $\Leftrightarrow m=-\frac{2}{5}$
$\Rightarrow OE.OF=2{{S}_{OEF}}$ $\Rightarrow \left| \frac{-m-3}{m-2} \right|.\left| m+3 \right|=2.2$ $\Leftrightarrow \left| \frac{{{\left( m+3 \right)}^{2}}}{m-2} \right|=4$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \frac{{{\left( m+3 \right)}{2}}}{m-2}=4 \\ & \frac{{{\left( m+3 \right)}{2}}}{m-2}=-4 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{\left( m+3 \right)}{2}}=4\left( m-2 \right) \\ & {{\left( m+3 \right)}{2}}=-4\left( m-2 \right) \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{m}{2}}+6m+9=4m-8 \\ & {{m}{2}}+6m+9=-4m+8 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & {{m}{2}}+2m+17=0\,\, \\ & {{m}{2}}+10m+1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=-5-2\sqrt{6} \\ & m=-5+2\sqrt{6} \\ \end{align} \right.$ (Phương trình đầu tiên là vô nghiệm)
$\Leftrightarrow {{y}_{0}}=\left( m-2 \right){{x}_{0}}+m+3$ với mọi $m$ $\Leftrightarrow {{y}_{0}}=m{{x}_{0}}-2{{x}_{0}}+m+3$ với mọi $m$ $\Leftrightarrow m\left( {{x}_{0}}+1 \right)=2{{x}_{0}}+{{y}_{0}}-3$ với mọi $m$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2{{x}_{0}}+{{y}_{0}}-3=0 \\ & {{x}_{0}}+1=0 \\ \end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{0}}=-1 \\ & {{y}_{0}}=5 \\ \end{align} \right.$ $\Rightarrow N\left( -1;5 \right)$ III – Bài tập luyện tập Bài 1. Cho hàm số $y=\left( m+5 \right)x+2m-10$
Bài 2. Cho hàm số $y=\left( 2m+3 \right)x-2+m$
Vuông góc với đường thẳng $x-2y+1=0?$
Bài 3. Cho $\left( d \right):y=\left( m-2 \right)x+2$
Bài 4. Cho hàm số $y=\left( 2-m \right)x+m-1\,\,\,\,\,\left( 1 \right).$ Với giá trị nào của $m$ thì:
Bài 5. Cho hàm số $y=-x-3\,\,\,\left( {{d}_{1}} \right)$ và $y=3x+1\,\,\left( {{d}_{2}} \right)$
|
