Phương pháp ma trận bậc thang (phương pháp Gauss) Xét hệ phương trình tuyến tính AX B . • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A B về dạng bậc thang bởi PBĐSC trên dòng. • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên. Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu: - có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng; - có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó; Bạn đang xem nội dung tài liệu Bài giảng Toán cao cấp - Chương 2: Hệ Phương trình tuến tính, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên 10/13/2012 1 §3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 3.1. Định nghĩa Hệ gồm n ẩn ( 1,..., ) i x i n và m phương trình: 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... ... ............................................ ... n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ( )I trong đó, các hệ số ( 1,..., ; 1,..., ) ij a i n j m ¡ , được gọi là hệ phương trình tuyến tính. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Đặt: 11 1 1 ... ... ... ... ... n ij m n m mn a a A a a a , 1 ... T m B b b và 1 ... T n X x x lần lượt là ma trận hệ số, ma trận cột hệ số tự do và ma trận cột ẩn. Khi đó, hệ ( )I trở thành AX B . • Bộ số 1 ... T n hoặc 1; ...; n được gọi là nghiệm của ( )I nếu A B . Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 1. Cho hệ phương trình: 1 2 3 4 1 2 3 2 3 2 4 4 2 4 3 2 7 5. x x x x x x x x x Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận: 1 2 3 4 1 1 2 4 4 2 1 4 0 3 0 2 7 0 5 x x x x và (1; 1; 1; 1) là 1 nghiệm của hệ. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 3.2. Định lý Crocneker – Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX B . Gọi ma trận mở rộng là 11 12 1 1 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n m m mn m a a a b A A B a a a b . Định lý Trong trường hợp hệ AX B có nghiệm thì: § Nếu ( ) :r A n kết luận hệ có nghiệm duy nhất; § Nếu ( ) :r A n kết luận hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n r tham số. Hệ AX B có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ).r A r A Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 3.3. Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a) Phương pháp ma trận (tham khảo) Cho hệ phương trình tuyến tính AX B , với A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có: 1 .AX B X A B VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp ma trận: 2 1 3 3 2 1. x y z y z x y z Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Giải. 1 2 1 1 1 1 2 1 0 1 3 3 2 3 2 2 1 1 1 0 1 A A . Hệ phương trình 1X A B 1 1 2 1 3 1 3 2 3 3 6 2 1 0 1 1 1 x x y y z z . Vậy hệ đã cho có nghiệm 3, 6, 1. x y z Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 10/13/2012 2 Cho hệ AX B , với A là ma trận vuông cấp n . • Bước 1. Tính các định thức: 11 1 1 1 ... ... det ... ... ... ... ... ... ... j n n nj nn a a a A a a a , 1 1 1 11 ... ... ... ... ... ... , 1, .. ... . ... n n j n nn a a j ba b n a (thay cột thứ j trong bởi cột tự do). b) Phương pháp định thức (hệ Cramer) Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Bước 2. Kết luận: § Nếu 0 thì hệ có nghiệm duy nhất: , 1, .j j x j n § Nếu 0, 1, j j n thì hệ có vô số nghiệm (ta thay tham số vào hệ và tính trực tiếp). § Nếu 0 và 0, 1, j j n thì hệ vô nghiệm. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 5. Giải hệ phương trình sau bằng định thức: 2 1 3 3 2 1. x y z y z x y z Giải. Ta có: 2 1 1 0 1 3 4 2 1 1 , 1 1 1 1 3 1 3 1 12 1 1 , Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1 3 2 1 0 3 24 2 1 1 , 3 1 3 2 1 0 1 4 2 11 . Vậy 1 2 33, 6, 1.x y z Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 6. Hệ phương trình ( 1) 2 ( 1) 0 m x y m x m y có nghiệm khi và chỉ khi: A. 2m ; B. 2 0m m ; C. 0m ; D. 2m . Giải. Ta có: 1 1 ( 2) 1 1 m m m m 0 2 0m m . Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • 2 :m Hệ 0x y hệ có vô số nghiệm. • 0 :m Hệ 2 0 x y x y hệ vô nghiệm. Vậy với 0m thì hệ có nghiệm C . Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 10/13/2012 3 c) Phương pháp ma trận bậc thang (phương pháp Gauss) Xét hệ phương trình tuyến tính AX B . • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A B về dạng bậc thang bởi PBĐSC trên dòng. • Bước 2. Giải ngược từ dòng cuối cùng lên trên. Chú ý. Trong quá trình thực hiện bước 1, nếu: § có 2 dòng tỉ lệ thì xóa đi 1 dòng; § có dòng nào bằng 0 thì xóa dòng đó; § có 1 dòng dạng 0...0 , 0b b thì hệ vô nghiệm. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 7. Giải hệ sau bằng phương pháp Gauss: 2 1 3 3 2 1. x y z y z x y z Giải. Ta có: 2 1 1 1 0 1 3 3 2 1 1 1 A B 3 3 1 2 1 1 1 0 1 3 3 . 0 0 2 2 d d d Hệ 2 1 3 3 3 6 2 2 1 x y z x y z y z z . Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Giải. Ta có: 5 2 5 3 3 4 1 3 2 1 2 7 1 0 1 A B VD 8. Giải hệ phương trình tuyến tính: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 5 2 5 3 3 4 3 2 1 2 7 = 1. x x x x x x x x x x x Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 2 1 3 3 1 5 4 5 2 5 2 5 3 3 0 13 5 2 7 0 39 15 6 11 d d d d d d 3 3 23 5 2 5 3 3 0 13 5 2 7 0 0 0 100 d d d . Vậy hệ phương trình vô nghiệm. Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 9. Tìm nghiệm của hệ x 4 5 1 2 7 11 2 3 11 6 1 y z x y z x y z . A. ; B. Hệ có vô số nghiệm; Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Giải. Ta có: 1 4 5 1 1 4 5 1 2 7 11 2 0 1 21 4 3 11 6 1 0 1 21 4 . Hệ 15 79 4 5 1 4 21 21 4 x x y z y D y z z ¡ . Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 10/13/2012 4 Giải. Ta có: 3 1 2 3 3 1 2 3 2 1 2 7 0 5 10 15 . VD 10. Tìm nghiệm của hệ 3 2 3 2 2 7 x y z x y z . Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Hệ 2 3 2 3 3 2 2 3 x x y z y B y z z ¡ . 3 4 1 2 2 7 2 4 1 5 3 6 3 c c m m Giải. Ta có: 1 2 7 2 2 4 5 1 3 6 3 m A B m VD 11. Giá trị của tham số m để hệ phương trình tuyến tính 2 (7 ) 2 2 4 5 1 3 6 3 x y m z x y z x y mz có vô số nghiệm là: A. 1m ; B. 1m ; C. 7m ; D. 7m . Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1 2 2 7 1 2 2 7 0 0 3 2 19 0 0 3 2 19 0 0 3 4 21 0 0 0 2 2 m m m m m m . Hệ có vô số nghiệm ( ) ( ) 3 1r A r A m . Ø Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Các file đính kèm theo tài liệu này: - baigiangtoancaocap_gv_ngoquangminh_chuong2_3315.pdf
Tóm tắt nội dung tài liệu - Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Bài 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Mục tiêu Nội dung • Nắm được khái niệm về các loại hệ Hệ phương trình đại số tuyến tính là một trong những vấn đề quan trọng của Đại số phương trình đại số tuyến tính. tuyến tính. Các hệ số cũng như các giá trị
• Nắm được phương pháp giải hệ phương của các ẩn số là các số thực.Trong dạng trình có số phương trình và số ẩn bằng tổng quát số phương trình và số ẩn số có nhau theo phương pháp Cramer và thể là bất kỳ và hai loại số này có thể phương pháp Gauss. không bằng nhau.
• Nắm được phương pháp giải hệ phương Bài 3 gồm những nội dung sau: trình đại số tuyến tính tổng quát; hệ • D ạ ng c ủ a H ệ p h ươ ng trình đ ạ i s ố phương trình thuần nhất. t uy ế n tính
• Giải được các bài toán về hệ phương • Giải hệ phương trình đại số tuyến tính trình đại số tuyến tính, theo cách tự luận • Hệ phương trình thuần nhất và theo trắc nghiệm. • Phương pháp Gauss Thời lượng Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT + 8 giờ làm bài tập. 39
- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Bài toán mở đầu: Mô hình cân bằng
Trong mô hình ma trận nói ở chương trước, ta đã có ai j xj là lượng sản phẩm ngành i cung cấp
cho ngành j. Tổng lượng sản phẩm ngành i coi là chi phí để sản xuất sản phẩm cho cả n ngành là: n ∑a x ij j j=1 Lượng sản phẩm ngành i còn lại kí hiệu là yi thường được gọi là sản phẩm cuối cùng của ngành i.
Nếu mô hình là cân bằng thì ta có n ∑a x + yi = xi , i = 1,2,…, n ij j j=1 Ta có một hệ phương trình đại số tuyến tính n phương trình và n ẩn số. Ở đây xi, i = 1,2,…, n là các ẩn số ai j và yi là các hằng số đã biết. 3.1. Dạng của hệ phương trình đại số tuyến tính Dạng tổng quát của hệ phương trình đại số tuyến tính được viết như sau ⎧a11x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1 ⎪a x + a x + ... + a x = b ⎪ 21 1 22 2 ( 3.1) 2n n 2 ⎨ ⎪.............................................. ⎪a m1x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = b m ⎩ Hệ này được viết dưới dạng ma trận là Ax = b (3.2) ở đây A là ma trận được thành lập từ các hệ số của các biến A = ( a ij ) m× n x: véc tơ cột của các biến. ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ x = ⎢ 2⎥ (3.3) ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣xn ⎦ b: véc tơ cột các số hạng tự do. ⎡ b1 ⎤ ⎢b ⎥ b=⎢ 2 ⎥ (3.4) ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣bm ⎦ Hệ phương trình đại số tuyến tính được gọi là: • thuần nhất nếu tất cả các bi = 0,i = 1, 2,..., m; • không thuần nhất nếu có ít nhất một bi ≠ 0; 40
- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính • tương thích nếu hệ có ít nhất một nghiệm, tức là tồn tại một bộ giá trị của x1 , x 2 ,..., x n mà khi thay vào sẽ có một đồng nhất thức; • không tương thích nếu không có một nghiệm nào; • xác định nếu hệ chỉ có một nghiệm duy nhất; • bất định nếu tồn tại quá một nghiệm. Muốn giải hệ phương trình đại số tuyến tính thì trước hết phải xác định xem hệ đã cho tương thích hay không tương thích. Nếu là hệ tương thích thì lại phải xem hệ là xác định hay bất định. Nếu hệ phương trình là xác định thì ta đi tìm nghiệm duy nhất của nó. Ví dụ 1: ⎧ x − 2y = 1 ⎨ ⎩ x + 2y = 5 là một hệ hai phương trình 2 ẩn. Ví dụ 2: ⎧2 x − 3y + z = −1 ⎪ ⎨x + y + z = 6 ⎪ ⎩3x + y − 2z = −1 là một hệ 3 phương trình 3 ẩn. Ví dụ 3: ⎧2x − 3y + 4z = 5 ⎨ ⎩3x + 2y − 7z = 6 là một hệ hai phương trình 3 ẩn. 3.2. Giải hệ phương trình đại số tuyến tính Khi giải hệ phương trình đại số tuyến tính có thể xảy ra hai trường hợp: m = n và m ≠ n. • Trường hợp m = n Lúc này ma trận A có dạng ⎡ a11 a12 ... a1n ⎤ ⎢a a 22 ... a 2n ⎥ A = ⎢ 21 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ a n1 a n 2 ... a nn ⎦ Định nghĩa: Hệ (3.2) gọi là hệ Cramer nếu det (A) ≠ 0 (ma trận A không suy biến) Khi đó sẽ tồn tại ma trận nghịch đảo A −1. Định lí 3.1 (Cramer): Hệ Cramer có nghiệm duy nhất tính bằng công thức Δi xi = i = 1, 2,..., n Δ 41
- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Chứng minh Ta nhân hai vế của đẳng thức (3.2) với A −1 về bên trái, ta được: A −1Ax = A −1b Bởi vì A −1A = E , mà nhân bất cứ ma trận nào với E sẽ được đúng ma trận đó, nên x = A −1b (3.5) −1 Sau khi thế A bởi biểu thức của nó và thay các véc tơ cột x và b, ta có: ⎡ A11b1 + A 21b 2 + ... + A n1b n ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 ⎥ = 1 ⎢ A12 b1 + A 22 b 2 + ... + A n 2 b n ⎥ ⎢ ⎥ A⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎣ A1n b1 + A 2n b 2 + ... + A nn b n ⎦ ⎣xn ⎦ Vì hai ma trận chỉ bằng nhau khi các phần tử tương ứng của chúng bằng nhau nên ⎧ 1 ( A11b1 + A 21b 2 + ... + A n1b n ) ⎪ x1 = A ⎪ ⎪...................................................... ⎪ ⎪ 1 ( A1i b1 + A 2i b 2 + ... + A ni bn ) ⎨xi = (3.6) A ⎪ ⎪..................................................... ⎪ 1 ⎪ ⎪ x n = A ( A1n b1 + A 2n b 2 + ... + A nn b n ) ⎩ Theo định lí khai triển: Định thức bằng tổng các tích của các phần tử của hàng hoặc cột với các phần phụ đại số của chúng. Vì vậy bất cứ hàng nào trong biểu thức (3.6) cũng thay được bằng các định thức tương ứng với véc tơ b là một cột của nó, chẳng hạn đối với x i sẽ có a 11 a12 ... a1,i −1 b1 a1,i +1 ... a1n a 21 a 22 ... a 2,i −1 b2 a 2,i +1 ... a 2n A1i b1 + A 2i b 2 + ... + A ni b n = (3.7) ... ... ... ... ... ... ... ... a n1 a n 2 ... a n,i −1 bn a n,i +1 ... a nn Điều đó có nghĩa là muốn tìm x i thì phải chia định thức Δi thiết lập từ định thức A = Δ bằng cách thay cột i bởi cột số hạng tự do cho định thức Δ , tức là Δi xi = i = 1, 2,..., n (3.8) Δ Vì vậy, có thể phát biểu quy tắc Cramer: Nếu định thức gồm các hệ số của hệ n phương trình tuyến tính với n ẩn khác 0 thì hệ có một nghiệm duy nhất được tính bằng công thức (3.8). ⎧ x + 0y + 2z = 6 ⎪ ⎨−3x + 4y + 6z = 30 Ví dụ: Giải hệ ⎪− x − 2y + 3z = 8 ⎩ 42
- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Giải: Ta có: ⎛ 1 0 2⎞ ⎡6 ⎤ ⎜ ⎟ A = ⎜ −3 4 6 ⎟ , b = ⎢30 ⎥ ⎢⎥ ⎜ −1 −2 3 ⎟ ⎢8 ⎥ ⎝ ⎠ ⎣⎦ ⎛ 6 0 2⎞ ⎛ 1 6 2⎞ ⎛1 0 6⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A1 = ⎜ 30 4 6 ⎟ , A 2 = ⎜ −3 30 6 ⎟ , A 3 = ⎜ −3 4 30 ⎟ ⎜ 8 −2 3 ⎟ ⎜ −1 8 3 ⎟ ⎜ −1 −2 8 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ta tính được det(A) = 44 ≠ 0; det(A1) = –40; det(A2) = 72; det(A3) = 152. Ta có nghiệm của hệ đã cho là: 40 10 72 18 152 38 = − ; x2 = = , x3 = = x1 = – . 44 11 44 11 44 11
• Trường hợp m ≠ n Ta gọi A = ( a ij ) là ma trận của hệ. Sau khi thêm cột các số hạng tự do b vào ma m× n trận A, ta lập được ma trận mở rộng B. ⎡ a 11 b1 ⎤ a12 ... a1n ⎢a b2 ⎥ a 22 ... a 2n B = ⎢ 21 ⎥ ⎢... ... ⎥ ... ... ... ⎢ ⎥ ⎣a m1 a m2 ... a mn bm ⎦ Để giải trường hợp này, ta dựa vào định lí sau: Định lí 3.2 (Croneker – Capeli): Điều kiện cần và đủ để hệ (3.1) có nghiệm là hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận mở rộng B. Nếu r ( A ) = r ( B ) = n thì hệ (3.1) có một nghiệm duy nhất. Nếu r ( A ) = r ( B ) < n thì hệ (3.1) có vô số nghiệm. Chứng minh: Cần: Giả sử hệ (3.1) có nghiệm. Ta phải chứng minh r ( A ) = r ( B ) . Thật vậy, hệ (3.1) có nghiệm, tức là có x1 = c1 , x 2 = c 2 ,..., x n = c n để cho a11c1 + a12 c 2 + ... + a1n c n = b1 a 21c1 + a 22 c 2 + ... + a 2n cn = b 2 ............................................ a m1c1 + a m2 c 2 + ... + a mn c n = b m Hay b = c1A1 + c 2 A 2 + ... + c n A n ⎡ b1 ⎤ ⎡ a1i ⎤ ⎢b ⎥ ⎢a ⎥ Víi b = ⎢ 2 ⎥ A i = ⎢ 2i ⎥ i = 1, 2,..., n ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎣bm ⎦ ⎣ a mi ⎦ 43
- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Điều đó chứng tỏ rằng cột cuối cùng của ma trận B là tổ hợp tuyến tính của n cột đầu. Theo tính chất hạng của ma trận, ta có thể bỏ cột cuối cùng mà không làm ảnh hưởng đến hạng của ma trận B. Vì vậy, r ( A ) = r ( B ) . Đủ: Giả sử r ( A ) = r ( B ) = k. Ta phải chứng minh hệ (3.2) có nghiệm. Không giảm tính tổng quát, có thể coi định thức cấp k khác 0 của A và B nằm ở góc trái. Khi đó, k cột đầu tiên độc lập tuyến tính và các cột còn lại có thể biểu diễn qua k cột đầu. Trong trường hợp riêng, cột b biểu diễn được qua k cột đầu b = λ1A1 + λ 2 A 2 + ... + λ k A k b1 = a11λ1 + a12 λ 2 + ... + a1k λ k b 2 = a 21λ1 + a 22 λ 2 + ... + a 2k λ k ............................................ b m = a m1λ1 + a m2 λ 2 + ... + a mk λ k . Thật vậy, nếu lấy x1 = λ1 ,..., x k = λ k , x k +1 = x k + 2 = ... = x n = 0 thì chúng tạo nên một nghiệm của hệ (3.1). Đó là điều phải chứng minh. Ví dụ: Giải hệ phương trình: ⎧ x1 + 3x 2 + x 3 − x 4 = 7 ⎪ ⎨2x1 + 5x 2 − x 3 + 2x 4 = 22 ⎪3x + 8x + x − x = 24 ⎩1 2 3 4 Giải: Ở đây m = 3, n = 4 . −1 7 ⎤ ⎡1 3 1 −1 7 ⎤ ⎡1 3 1 ⎢ 2 5 −1 2 22 ⎥ → ⎢0 −1 −3 4 8 ⎥ B=⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢3 8 1 −1 24 ⎥ ⎢0 −1 −2 2 3 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ −1 7 ⎤ ⎡1 3 1 ⎢0 −1 −3 4 8 ⎥ →⎢ ⎥ ⎢0 0 1 −2 −5⎥ ⎣ ⎦ Ta có r ( A ) = r ( B ) = 3 < n = 4. Vậy hệ có vô số nghiệm. Với ma trận cuối cùng ta có: ⎧ x1 + 3x 2 + x 3 − x 4 = 7 ⎪ ⎨ − x 2 − 3x 3 + 4x 4 = 8 ⎪ x 3 − 2x 4 = −5 ⎩ Đặt x 4 = c , ta được: ⎧ x1 + 3x 2 + x 3 = 7 + c ⎧ x 3 = −5 + 2c ⎪ ⎪ ⎨ − x 2 − 3x 3 = 8 − 4c ⇒ ⎨ x 2 = −8 + 4c + 15 − 6c = 7 − 2c ⎪ ⎪ ⎩ x1 = 7 + c − 21 + 6c + 5 − 2c = −9 + 5c x 3 = −5 + 2c ⎩ 44
- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Vậy các nghiệm có dạng ⎧ x1 = −9 + 5c ⎪ x = 7 − 2c ⎪2 với mỗi giá trị của c ta có một nghiệm. ⎨ ⎪ x 3 = −5 + 2c ⎪x 4 = c ⎩ 3.3. Hệ phương trình thuần nhất Đây là trường hợp riêng của hệ (3.1), khi bi = 0 víi mäi i = 1, 2,..., n nên Định lí Croneke – Capeli vẫn đúng. Nhưng với trường hợp này, ta luôn có r ( A ) = r ( B ) nên hệ thuần nhất luôn có nghiệm. Chẳng hạn, ta thấy ngay x1 = 0, x 2 = 0,..., x n = 0 là một nghiệm của hệ, gọi là nghiệm tầm thường. Vậy khi nào hệ thuần nhất có nghiệm không tầm thường? Định lí 3.3: Nếu r ( A ) = n thì hệ thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường, nếu r ( A ) < n thì hệ thuần nhất có vô số nghiệm, nghĩa là ngoài nghiệm tầm thường phải có nghiệm không tầm thường. Chứng minh: Nếu r ( A ) = n thì theo quy tắc Cramer, hệ có nghiệm duy nhất, chính là nghiệm tầm thường. Nếu r ( A ) < n thì ta chuyÓn n − r ( A ) tự do sang phải và hệ sẽ có vô số nghiệm. Hệ quả: Đối với hệ thuần nhất n phương trình n ẩn số thì điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm không tầm thường là định thức Δ = 0. Thật vậy, vì Δ = 0 thì r ( A ) = r ( B ) < n . Do đó, hệ thuần nhất có vô số nghiệm, tức là có nghiệm không tầm thường. Ta cũng có các định nghĩa tương tự cho hệ (3.2) như đối với hệ (3.1). Ví dụ: Giải hệ phương trình ⎧ x1 − 2x 2 + 3x 3 = 0 ⎪ ⎨2x1 + x 2 − x 3 = 0 ⎪ ⎩ x1 + 3x 2 − 4x 3 = 0 Giải : 1 −2 3 Δ= 2 −1 = −4 + 2 + 18 − 3 − 16 + 3 = 0. Ta có 1 −4 1 3 Hệ có vô số nghiệm. 1 −2 = 1 + 4 = 5 ≠ 0. Xét định thức cấp 2 21 Bởi vậy, ta lấy 2 phương trình đầu ⎧ x1 − 2x 2 + 3x 3 = 0 ⎨ ⎩2x1 + x 2 − x 3 = 0 45
- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Chuyển x 3 sang vế phải (a ) ⎧ x1 − 2x 2 = −3x 3 ⎪ ⎨ ⎪2x1 + x 2 = x 3 (b) ⎩ Lấy (b) nhân với 2 rồi cộng với (a), ta có: 1 5x1 = − x 3 ⇒ x1 = − x 3 5 2 7 x 2 = x 3 − 2x1 = x 3 + x 3 = x 3 5 5 Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm xác định bởi ⎧ 1 ⎪ x1 = − 5 x 3 ⎪ ⎪ 7 ⎨x 2 = x3 5 ⎪ ⎪x3 ∈ ⎪ ⎩ 3.4. Phương pháp Gauss Nội dung của phương pháp Gauss là dùng cách khử dần các ẩn số để đưa hệ (2.18) về dạng tam giác ⎧ x1 + α 2 x 2 + α 3 x 3 = α 4 ⎪ x 2 + β3 x 3 = β 4 (3.9) ⎨ ⎪ γ3x3 = γ 4 ⎩ rồi giải hệ này. Hệ tam giác (3.9) rất dễ giải: từ phương trình thứ 3, ta suy ra x 3 , thế x 3 vào phương trình thứ 2, ta suy ra x 2 , thế x 2 và x 3 vào phương trình thứ nhất, ta suy ra x1 . Sau đây, ta xét một ví dụ cụ thể rồi nêu ra các quy tắc thực hành Ví dụ: Xét hệ (a ) ⎧2x1 + 3x 2 + 5x 3 = 2 ⎪ ( b) ⎨3x1 − 2,5x 2 + 4x 3 = 10 ⎪−4x + 3x + 2x = 2 (c) ⎩ 1 2 3 Giải : Trước hết, ta chia (a) cho hệ số của x1 , tức là cho 2, ta được: ( a′) x1 + 1, 5x 2 + 2,5x 3 = 1 Sau đó khử x1 khỏi (b). Muốn thế ta nhân (a') với hệ số của x1 ở (b), tức là với 3, ta có: (b′) 3x1 + 4,5x 2 + 7,5x 3 = 3 Sau đó, đem phương trình ( b') này trừ đi phương trình (b) theo từng vế, ta được: 7x 2 + 3,5x 3 = −7 (b″) 46
- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính Tương tự, ta khử x1 ra khỏi (c): nhân (a') với hệ số của x1 ở (c), tức là với (–4), ta có −4x1 − 6x 2 − 10x 3 = −4. (c′) Sau đó đem ( c′ ) trừ (c) ta được: −9x 2 − 12x 3 = −6. (c″) Bây giờ, ta chú ý đến hai phương trình ( b′′ ) và ( c′′ ) , trong đó chỉ còn hai ẩn là x 2 và x 3 . Lặp lại quá trình như trên. Trước hết, ta chia ( b′′ ) cho hệ số của x 2 , tức là cho 7, ta được: x 2 + 0,5x 3 = −1 . (b″′) Sau đó, ta khử x 2 khỏi ( c′′ ) bằng cách nhân ( b′′′ ) với hệ số của x 2 ở ( c′′ ) , tức là với (–9) −9x 2 − 4,5x 3 = 9 . (b″″) Sau đó đem ( b′′′′ ) trừ đi ( c′′ ) ta được: 7,5x 3 = 15. (c″′) Kết hợp các phương trình ( a ′ ) , ( b′′′ ) , ( c′′′ ) ta được tam giác mong muốn. 15 Từ ( c′′′ ) ta suy ra x 3 = = 2. 7,5 Thế x 3 = 2 vµo ( b′′′ ) ta được: x 2 + 0,5 × 2 = −1 ⇒ x 2 = −2 . Thế x 3 = 2, x 2 = − 2 vào ( a ′ ) ta được: x1 + 1,5 × ( −2 ) + 2,5 × 2 = 1 x1 − 3 + 5 = 1 ⇒ x1 = −1. ⎧ x 1 = −1 ⎪ Vậy nghiệm của hệ đã cho là: ⎨ x 2 = −2 ⎪ ⎩ x 3 = 2. Trên đây, ta đã trình bày phương pháp Gauss một cách trình tự. Trong thực hành, ta có thể thực hiện biến đổi ma trận như sau:
⎡2 5 2⎤ ⎡ 1 1,5 2,5 1 ⎤ ⎡1 1,5 2,5 1 ⎤ 3 1
⎢ 3 −2,5 4 10 ⎥ ⎯⎯⎯⎯ ⎢ 3 −2,5 4 10 ⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎢0 −7 −3,5 7 ⎥ L1 . → L1 L 2 −3L1 → L 2 → ⎥ L3 + 4L1 →L3 → ⎢ 2
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ −4 2 2⎥ ⎢ −4 2⎥ ⎢0 9 12 6 ⎥ 3 3 2
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎡1 1,5 2,5 1 ⎤ ⎡1 1,5 2,5 1 ⎤ ⎛ 1⎞ ⎢0 1 0,5 −1⎥ ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎢ 0 1 0,5 −1⎥ L2 ×⎜ − ⎟ → L 2 L3 −9L 2 → L3 ⎯⎯⎯⎯⎯ ⎢ → →⎢ ⎝ 7⎠ ⎥ ⎥ ⎢0 9 12 6 ⎥ ⎢ 0 0 7,5 15 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎧ x 1 = −1 ⎪ Từ đây, ta có ngay nghiệm của hệ ⎨ x 2 = −2 ⎪ ⎩ x 3 = 2. 47
- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
• Nắm được phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo phương pháp Cramer và phương pháp Gauss;
• Nắm được phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát. Nắm được phương pháp giải hệ phương trình thuần nhất;
• Giải được các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính.
Bài tiếp theo các bạn sẽ được học về Phép toán và Cấu trúc đại số. 48
- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính BÀI TẬP 1. Giải hệ phương trình ⎧3x1 − 5x 2 + 2x 3 + 4x 4 = 2 ⎪ a. ⎨7x1 − 4x 2 + x 3 + 3x 4 = 5 ⎪5x + 7x − 4x − 6x = 3 ⎩1 2 3 4 ⎧ x1 + 5x 2 − x 3 + x 4 = 0 ⎪ b. ⎨3x1 + 9x 2 − 13x 3 + 11x 4 = 0 ⎪2x + 2x − 6x + 5x = 1 ⎩1 2 3 4 2. Giải và biện luận theo a hệ phương trình ⎧ax1 + x 2 + x 3 + x 4 = 1 ⎪ a. ⎨ x1 + ax 2 + x 3 + x 4 = a ⎪ ⎩ x1 + x 2 + ax 3 + x 4 = a 2 ⎧( 2 − a ) x1 + x 2 + x 3 = 0 ⎪ b. ⎨ x1 + ( 2 − a ) x 2 + x 3 = 0 ⎪ ⎩ x1 + x 2 + ( 2 − a ) x 3 = 0 3. Cho hệ phương trình ⎧ x1 + 2x 2 + ax 3 = 3 ⎪ ⎨3x1 − x 2 − ax 3 = 2 ⎪2x + x + 3x = b ⎩1 2 3 a. Xác định a, b để hệ có nghiệm duy nhất. b. Xác định a, b để hệ có vô số nghiệm.
4. Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Gauss ⎧3x1 + x 2 + x 3 = 1 ( I ) ⎪ x1 + 3x 2 + x 3 = 3 ⎨ ⎪ x + x + 3x = 9 ⎩1 2 3 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Hãy chọn phương án đúng.
1. Cho hệ phương trình ⎧ x − ay + a 2 z = a ⎪ ⎨ax − a y + az = 1 trong đó a là tham số thực. 2 ⎪ax + y − a 3 z = 1 ⎩ Khi đó, hệ có nghiệm duy nhất nếu 49
- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính A. a ≠ 0, a ≠ ±1 B. a = 0 C. a = 1 D. a = −1 2. Cho hệ phương trình thuần nhất 3 ẩn ⎡2 − a 1 0 ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ −1 −a 1 ⎥ ⎢ y ⎥ = ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 3 1 − a ⎥ ⎢ z ⎥ ⎢0 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Khi đó, hệ chỉ có nghiệm tầm thường nếu A. a ≠ 2 B. a ≠ −1 C. a ≠ 2 và a ≠ −1 D. a = 2 hoÆc a = −1 3. Xét hệ phương trình đại số tuyến tính Ax = b . Khi đó A. Nếu det ( A ) = 0 thì hệ vô nghiệm; B. Nếu det ( A ) ≠ 0 thì hệ có vô số nghiệm; C. Nếu Ax = 0 có nghiệm không tầm thường thì det ( A ) = 0; D. Nếu Ax = 0 có nghiệm không tầm thường thì det ( A ) ≠ 0 . 4. Xét hệ phương trình ⎧ x1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 ⎪ ⎨ x 2 + 4x 3 = 0 ⎪5x = 0 ⎩3 Khi đó: A. Hệ vô nghiệm. B. Hệ có vô số nghiệm. C. Hệ có nghiệm không tầm thường. D. Hệ chỉ có nghiệm tầm thường. 50
Page 2 YOMEDIA Nắm được khái niệm về các loại hệ phương trình đại số tuyến tính. Nắm được phương pháp giải hệ phương trình có số phương trình và số ẩn bằng nhau theo phương pháp Cramer và phương pháp Gauss. Nắm được phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính tổng quát; hệ phương trình thuần nhất. Giải được các bài toán về hệ phương trình đại số tuyến tính, theo cách tự luận và theo trắc nghiệm 24-02-2011 1727 188 Download Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2009-2019 TaiLieu.VN. All rights reserved.
|
