Hệ phương trình 2 ẩn là gì? Ví dụ, bài tập và cách giải hệ phương trình 2 ẩn? Trong phạm vi bài viết dưới đây, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề này nhé! Show
Định nghĩa hệ phương trình hai ẩn?Hệ phương trình hai ẩn là gì? Lý thuyết và phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn sẽ được cụ thể qua nội dung dưới đây. Khái quát về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Gọi (d): ax + by = c; (d’): a’x + b’y = c’. Khi đó ta có
Phương pháp giải hệ phương trình hai ẩn bậc nhấtPhương pháp thế
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x – y = 3\\ 3x – 4y = 4 \end{matrix}\right.\) Cách giải: \(\left\{\begin{matrix} x – y = 3\\ 3x – 4y = 4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = y + 3\\ 3(y+3) – 4y = 4 \end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = y + 3\\ 3y + 9 – 4y = 4 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = y + 3\\ y = 5 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = 8\\ y = 5 \end{matrix}\right.\) Vậy hệ có nghiệm duy nhất là (8;5) Phương pháp cộng đại số
Ví dụ 2: Giải phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x – 5y = 19\, (1)\\ 3x + 2y = 6\, (2) \end{matrix}\right.\) Cách giải: Nhân cả 2 vế của phương trình (1) với 3 ta được: \(\left\{\begin{matrix} 3x – 15y = 57\\ 3x + 2y = 6 \end{matrix}\right.\) Trừ từng vế của (1) cho (2) ta có: \(-17y = 51 \Rightarrow y=-3\) Thay y = -3 vào (1) được: \(x – 5.(-3) = 19 \Leftrightarrow x = 4\) Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{\begin{matrix} x = 4\\ y = -3 \end{matrix}\right.\) Một số dạng hệ phương trình đặc biệtHệ phương trình đối xứng loại 1Hệ hai phương trình hai ẩn x và y được gọi là đối xứng loại 1 nếu ta đổi chỗ hai ẩn x và y đó thì từng phương trình của hệ không đổi. Cách giải: Đặt \(S = x + y; P = xy\, (S^2\geq 4P)\) Giải hệ để tìm S và P Với mỗi cặp (S;P) thì x và y là hai nghiệm của phương trình \(t^2 – St + P = 0\) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x + y + 2xy = 2\\ x^3 + y^3 = 8 \end{matrix}\right.\) Cách giải: Đặt S = x + y, P = xy. Khi đó phương trình trở thành: \(\left\{\begin{matrix} S + 2P = 2\\ S(S^2-3P) = 8 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} P= \frac{2 – S}{2}\\ S(S^2-\frac{6-3S}{2})=8 \end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow 2S^3 + 3S^2 – 6S -16 = 0 \Leftrightarrow (S-2)(2S^2+7S+8)=0 \Leftrightarrow S = 2 \Rightarrow P=0\) Suy ra x, y là nghiệm của phương trình \(t^2-2t=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t = 0 \\ t = 2 \end{array}\right.\) Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là (0;2) hoặc (2;0) Hệ phương trình đối xứng loại 2
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} x^2 = 3x + 2y\\ y^2 = 3y + 2x \end{matrix}\right.\) Cách giải: Trừ vế với vế của hai phương trình của hệ, ta được: \(x^2 – y^2 = x-y \Leftrightarrow (x-y)(x+y-1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=y \\ x=1-y \end{array}\right.\) Với \(x=y \Rightarrow x^2 = 3x \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=0 \\ x=3 \end{array}\right.\) Với \(x=1-y \Rightarrow y^2 = 3y + 2(1-y) \Leftrightarrow y^2 -y -2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=-1 \Rightarrow x=0 \\ y= 2 \Rightarrow x=-1 \end{array}\right.\) Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x;y) = (0;0), (3;3), (-1;2), (2;-1) Hệ phương trình đẳng cấp bậc haiHệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: \(\left\{\begin{matrix} f(x;y) = a\\ g(x;y) = b \end{matrix}\right.\) Trong đó f(x;y) và g(x;y) là phương trình đẳng cấp bậc hai, với a và b là hằng số. Cách giải: Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phương trình không Nếu x = 0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phương trình trong hệ Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình ta khử x rồi giải hệ tìm t Thay y = tx vào một trong hai phương trình của hệ để được phương trình một ẩn (ẩn x) Giải phương trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx Ví dụ 5: Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} 2x^2 + 3xy + y^2 = 15\, (1)\\ x^2 + xy + 2y^2 = 8\, (2) \end{matrix}\right.\) Cách giải: Khử số hạng tự do từ hệ ta được: \(x^2 + 9xy – 22y^2 = 0\, (3)\) Đặt x = ty, khi đó \((3) \Leftrightarrow y^2(t^2+9t-22) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y=0 \\ t=2 \\ t=-11 \end{array}\right.\) Với y = 0, hệ có dạng: \(\left\{\begin{matrix} 2x^2 = 15\\ x^2 = 8 \end{matrix}\right.\) vô nghiệm Với t = 2, ta được x = 2y \((2) \Leftrightarrow y^2 = 1 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y_{1} = 1 \\ y_{2} = -1 \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} x_{1} = 2\\ y_{1} = 1 \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2} = -2\\ y_{2} = -1 \end{matrix}\right. \end{array}\right.\) Với t = -11 ta được x = -11y, \((2) \Leftrightarrow y^2 = \frac{1}{14} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} y_{3} =\frac{1}{\sqrt{14}}\\ y_{4} = \frac{-1}{\sqrt{14}} \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} x_{3} = \frac{-1}{\sqrt{14}}\\ y_{3} = \frac{1}{\sqrt{14}} \end{matrix}\right. \\ \left\{\begin{matrix} x_{2} = \frac{1}{\sqrt{14}}\\ y_{2} = \frac{-1}{\sqrt{14}} \end{matrix}\right. \end{array}\right.\) Vậy hệ phương trình có 4 cặp nghiệm. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Trên đây là lý thuyết và cách giải hệ phương trình 2 ẩn. Hy vọng với những kiến thức mà DINHNGHIA.VN đã cung cấp sẽ hữu ích cho bạn trong quá trình học tập của bản thân cũng như nắm vững cách giải hệ phương trình 2 ẩn. Chúc bạn học tốt! Please follow and like us:
|