Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 3 - Hoàng Văn Thắng - Chương 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH (LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT) Ta đã biết một phương pháp sơ cấp để giải hệ pttt (pp Gauss). Chương này sẽ đưa thêm một phương pháp khác để khảo sát hệ pttt một cách tổng quát hơn nhờ vào công cụ ma trận và định thức.
- Các vấn đề định tính và định lượng, chẳng hạn: Khi nào hệ có nghiệm? Có bao nhiêu nghiệm? Mô tả tập hợp nghiệm? Tìm nghiệm? Sẽ được giải đáp trong chương quan trọng này. Tât nhiên trong thực hành ta có thể kết hợp nhiều phương pháp để cho kết quả nhanh chóng và gọn gàng nhất!!
- Trước tiên ta xét hai phương pháp là phương pháp ma trận và phương pháp định thức để giải một loại hệ đặc biệt là: Hệ Cramer § 1: Phương pháp ma trận và định thức 1. Hệ Cramer:
- Định nghĩa: Hệ Cramer là hệ pttt thỏa mãn 2 điều kiện: Số phương trình bằng số ẩn. Ma trận hệ số không suy biến ( ( )≠ ) Ví dụ: Hãy cho biết hệ sau có là hệ Cramer?
- + − = + − = − + + = Giải: Hiển nhiên: số PT = số ẩn (= ) − = = − = ≠ Vậy hệ đã cho là hệ Cramer.
- 2. Phương pháp ma trận. Một hệ pttt luôn viết được dưới dạng ma trận: AX = B (1) Nếu hệ (1) là hệ Cramer thì = ( )≠ ⟶∃ . Từ đó, = ⟺ = ⟺ = ⟺ =
- Như vậy, Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất: = Phương pháp giải hệ nhờ công thức trên được gọi là phương pháp ma trận Ví dụ: Giải hệ sau bằng phương pháp ma trận (phương pháp ma trận nghịch đảo):
- + − = + − = − + + = Giải: − = = − = ≠ Hệ trên là hệ Cramer nên nó có nghiệm duy nhất: =
- GABRIEL CRAMER ( 1704 – 1752) Gabriel Cramer sinh ngày 31/7/1704 tại Geneva, Thụy Sĩ mất 4/1/1752 ở Bangnols-sur-ceze Pháp, Gabriel có rất nhiều cố gắng trong việc học tập.
- Năm 1722, khi mới 18 tuổi ông đã đạt được học vị tiến sĩ cho luận án dựa trên lý thuyết của âm thanh. Cramer nổi tiếng là một người biên soạn thiên tài. Cuốn sách nổi tiếng nhất của ông là “ Introduction à l’analyse des lignes courbes algébraique”, trong đó có qui tắc Cramer nổi tiếng.
- Định lý sau đây còn gọi là Quy tắc Cramer: Định lý: Hệ Cramer n ẩn số , , … , luôn có nghiệm duy nhất xác định bởi công thức: = , = ,…, = Trong đó, = ( ), A - ma trận hệ số
- Cột thứ j Các cột còn lại giống hệt = của d ⋮ Chứng minh: Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất: =
- ⋯ ⋯ ⋮ = ⋱ ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⟶ = ⋯ ⋮ = + +⋯+ Chính là
- ⟶ = ∎ Ví dụ: Giải hệ sau bằng quy tắc Cramer + − = + − = − + + = Giải: − = = − = ≠
- Ví dụ: Tìm m để hệ sau đây là hệ Cramer, khi đó hãy giải hệ bằng quy tắc Cramer. + − = − + − = − + + = Giải: − = = − − = +
- §2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT 1. Các dạng biểu diễn của hệ phương trình. Dạng khai triển (dạng tổng quát): Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số , ,…, có dạng:
- + + ⋯ + = + + ⋯ + = ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ + + ⋯ + = Dạng ma trận = = : ma trận hệ số × = : cột ẩn số ⋮ ×
- Nhận xét: Hệ có nghiệm ⟺ Cột = số hạng tự do B cột số hạng tự do. : biểu diễn tuyến ⋮ tính qua các cột của ma trận hệ số ×, , … , . Dạng véc tơ: + + ⋯+ = :cột hệ số của ẩn thứ j(cột j của ma trận hệ số)
- 2. Điều kiện có nghiệm Định lý (Cronecker - Capelli) “Hệ phương trình tuyến tính có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận hệ số bằng hạng của ma trận mở rộng: = ” Chứng minh(gồm hai phần)
- Giả sử hệ có nghiệm, ta cần chứng minh: = . + Thật vậy, theo định nghĩa về hạng ta có: = , ,…, = ( , ,…, ; ) + Vì hệ có nghiệm nên: B bdtt qua , ,…, ⟶ = ⟶ , ,…, = , ,…, ;
|
