09:36:4631/10/2020 Show Thực tế, việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng trong không gian tọa độ Oxyz ở chương trình lớp 12 hầu hết các bạn sẽ thấy "dễ thở" hơn rất nhiều với hình không gian ở lớp 11. Bài viết dưới đây chúng ta sẽ cùng ôn lại công thức và cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng trong không gian Oxyz, vận dụng vào việc giải các bài tập mình họa để các em dễ hiểu hơn. Chúng ta cũng nhớ, trong không gian thì giữa 2 mặt phẳng sẽ có 3 vị trí tương đối, đó là: Hai mặt phẳng trùng nhau, hai mặt phẳng cắt nhau và hai mặt phẳng song song. Ở hai trường hợp đầu (trùng nhau, cắt nhau) thì khoảng cách giữa 2 mặt phẳng bằng 0. Như vậy việc tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng cơ bản là dạng tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song. I. Công thức cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: - Cho 2 mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Khoảng cách giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) là khoảng cách từ điểm M bất kỳ trên mặt phẳng (P) đến mặt phẳng (Q) hoặc ngược lại. ký hiệu: d((P);(Q)).  - Như vậy, để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (Q): Ax + By + Cz + D' = 0 (D ≠ D') ta dùng công thức sau:
II. Bài tập vận dụng tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song * Bài 1: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α): x + 2y − 3z + 1 = 0 và (β): x + 2y − 3z − 4 = 0. * Lời giải: - Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song, ta có:
* Bài 2: Tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song (α): x + 2y + 3z - 5 = 0 và (β): 2x + 4y + 6z - 16 = 0 * Lời giải: - Ta cần đưa các hệ số (trước x,y,z) của mp (β) về giống với mp (α). - Ta có, mp (β): 2x + 4y + 6z - 16 = 0 ⇔ x + 2y + 3z - 8 = 0 - Như vậy, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là:
* Bài 3 (Bài 10 trang 81 SGK Hình học 12): giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song. b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên. * Lời giải: - Ta có hình minh họa như sau: - Chọn hệ trục tọa độ như hình trên: Gốc O ≡ A;
⇒ Ta có tọa độ các đỉnh củ hình lập phương như sau: A(0; 0; 0) ; B(1; 0; 0); C(1; 1; 0); D(0; 1; 0). A'(0; 0; 1); B'(1; 0; 1); C'(1; 1; 1); D'(0; 1; 1). a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song. - Ta có: ⇒ Vectơ pháp tuyến của mp (AB'D') là: - Tương tự, có:
⇒ (AB'D') // (BC'D). b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên. - Mặt phẳng (BC'D) có VTPT 1.(x - 1) + 1.(y – 0) - 1.( z - 0)= 0 ⇔ x + y - z - 1 = 0 - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB'D') và (BC'D) chính là khoảng cách từ A đến (BC'D) và bằng:
* Hoặc có thể viết phương trình mặt phẳng (AB'D') rồi tính khoảng cách giữa 2 mặt phẳng này như sau: - Mặt phẳng (AB'D') có VTPT (-1).(x - 0) - 1.(y – 0) + 1.( z - 0)= 0 ⇔ x + y - z = 0 - Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (AB'D') và (BC'D) là:
Trên đây chỉ là một số bài tập minh họa về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong Oxyz. Để có cái nhìn tổng quát các em cũng có thể tham khảo bài viết các dạng toán về phương trình mặt phẳng trong không gian.
Như vậy, qua bài viết về cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song trong không gian Oxyz với phương pháp tọa độ ở trên, các em thấy việc tính toán này là rất "dễ chịu" phải không nào? Nếu bài toán nói tính khoảng cách của 2 mặt phẳng, các em chỉ cần kiểm tra vị trí tương đối của 2 mặt phẳng này, nếu chúng song song thì vận dụng ngay công thức ta có ở trên, còn nếu cắt nhau hoặc trùng nhau thì kết luận ngày khoảng cách này bằng 0, chúc các em học tốt. Hình học giải tích là một kiến thức khá mới và thú vị trong chương trình toán THPT. Chính vì vậy, hôm nay Kiến Guru muốn chia sẻ đến các bạn hướng dẫn giải toán nâng cao 12 cho một số dạng bài tập hay bắt gặp trong các đề thi, mà tập trung chính sẽ là chủ đề phương trình mặt phẳng. Đây là những bài tập đòi hỏi tính vận dụng cao, ngoài kiến thức cơ bản, cũng yêu cầu sự kết hợp nhuần nhuyễn và linh hoạt các công thức mới có thể giải được. Cùng nhau khám phá bài viết nhé: I. Giải toán nâng cao 12 – Kiến thức cần nắm.Vecto pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng: Chú ý: + Nếu + Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu ta biết VTPT của nó và một điểm nó đi qua. + Nếu hai vecto Phương trình tổng quát của mặt phẳng: + Trong không gian Oxyz, mọi mặt phẳng đều có dạng sau: Ax+ By+Cz+D=0 (với A²+B²+C²≠0) + Khi đó vecto (A,B,C) được xem là VTPT của mặt phẳng. + Phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(x0,y0,z0) và xem vecto (A,B,C) ≠ 0 là VTPT là: A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 Một số trường hợp đặc biệt: Xét phương trình mặt phẳng (α): Ax+ By+Cz+D=0 (với A²+B²+C²≠0): + Nếu D=0 thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ. + Nếu A=0, BC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox. + Nếu B=0, AC≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy + Nếu C=0, AB≠0 thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz. + Nếu A=B=0, C≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oxy) + Nếu B=C=0, A≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oyz) + Nếu A=C=0, B≠0 thì mặt phẳng song song hoặc trùng với (Oxz) Như vậy ta rút ra nhận xét: + Nếu trong phương trình (α) không chứa ẩn nào thì mặt phẳng (α) sẽ song song hoặc chứa trục tương ứng (ví dụ A=0, tức là thiếu ẩn x, kết quả là mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox). + Phương trình mặt phẳng đoạn chắn: x/a +y/b + z/c=1. ở đây, mặt phẳng sẽ cắt các trục tọa độ tại các điểm có tọa độ (a,0,0); (0,b,0) và (0,0,c) (với abc≠0) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng: cho (α): Ax+By+Cz+D=0 và (β): A’x+B’y+C’z+D’=0, khi đó: + (α) song song (β): + (α) trùng (β): + (α) cắt (β): chỉ cần Khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng: cho mặt phẳng (α): Ax+By+Cz+D=0 và điểm M(x0,y0,z0), lúc này khoảng cách từ M đến mặt phẳng (α) được tính theo công thức: II. Hướng dẫn các dạng giải toán nâng cao 12 phương trình mặt phẳng.Dạng 1: viết phương trình khi biết 1 điểm và VTPT. Dạng này có thể biến tấu bằng cách cho trước 1 điểm và một phương trình mặt phẳng khác song song với phương trình mặt phẳng cần tìm. Phương pháp: Áp dụng trực tiếp phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có VTPT, áp dụng thêm lưu ý hai mặt phẳng song song thì có cùng VTPT. VD: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;0;-2) và VTPT (1;-1;2)? Hướng dẫn: Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. Phương pháp: Mấu chốt vấn đề là ta phải tìm được VTPT của mặt phẳng, vì đã biết trước được một điểm mà mặt phẳng đi qua rồi (A, B và C). Do A, B, C cùng nằm trên mặt phẳng nên AB, AC là hai đoạn thẳng nằm trong mặt phẳng, lúc này: Trường hợp này có thể biến tấu bằng cách thay vì cho 3 điểm cụ thể, bài toán sẽ cho 2 đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng cần tìm. Cách làm là tương tự, thay các vecto AB, AC bằng các vecto chỉ phương của mặt phẳng, ta sẽ tìm được VTPT. Sau đó, chọn 1 điểm bất kì trên 1 đường thẳng là ta lại quay về dạng 1. Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(1;0;-2), B(1;1;1) và C(0;-1;2). Hướng dẫn: Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (β): Ax+By+Cz+D=0 cho trước và cách điểm M một khoảng k cho trước. Phương pháp: Do (α) song song (β) nên mặt phẳng cần tìm có dạng: Ax+By+Cz+D’=0. Sử dụng công thức khoảng cách để tìm D’. Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (Q): x+2y-2z+1=0 và cách điểm M(1;-2;1) một khoảng là 3. Hướng dẫn: Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) cho trước. Phương pháp: Ta tìm tọa độ tâm I của (S). Do (α) tiếp xúc (S) nên ta sẽ tìm tọa độ tiếp điểm, gọi tiếp điểm là M. Có được điểm đi qua, VTPT lại là vecto MI thì ta dễ dàng áp dụng như dạng 1. Nếu bài toán không cho tiếp điểm mà ta chỉ có thể tìm được VTPT dựa vào 1 số dữ kiện ban đầu, lúc này phương trình mặt phẳng có dạng: Ax+By+Cz+D=0. Sử dụng công thức tính khoảng cách để tìm D. Ví dụ: Xét không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x+2y-2z+1=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x²+y²+z²+2x-4y-2z-3=0. Hướng dẫn: III. Giải toán nâng cao 12 – Các bài tập tự luyện.Đáp án: Trên đây là những vấn đề giải toán nâng cao 12 chủ đề phương trình mặt phẳng mà Kiến Guru muốn chia sẻ tới các bạn. Trong khuôn khổ bài viết, tuy mới chỉ là một trong số rất nhiều dạng trong chương trình Toán THPT, nhưng Kiến hy vọng đây sẽ là một tài liệu ôn tập hữu ích dành cho các bạn. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm nhiều bài viết khác trên trang của Kiến nhé. “Có công mài sắt có ngày nên kim”, chúc các bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong kì thi THPT sắp tới. |
