✪ Định nghĩa : ${M_0}({x_0};{y_0})$ là điểm cực trị của hàm $z=f(x;y)$ Nếu với mọi điểm $M({x_0} + \Delta x;{y_0} + \Delta y)$ là lân cận của ${M_0}({x_0};{y_0})$ thì ta luôn có : $\Delta f = f({x_0};{y_0}) - M({x_0} + \Delta x;{y_0} + \Delta y)$ không đổi dấu, Với : $$\left[ \matrix{ \Delta f \ge 0 \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{đại} }\\ \Delta f \le 0 \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{tiểu} } } \right.$$ (M là lân cận của ${M_0}$ khi $\Delta x$,$\Delta y$ khá nhỏ). Show ✪ Quy tắc tìm cực trị: Giả sử hàm số $z=f(x;y)$ có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng $(M_0(x_0;y_0)$ Đặt $\matrix{ {A = z''_{xx}}&;&{B = z''_{xy}}&;&{C = z''_{yy}} }$ Khi đó: $$\left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ {B^2} - AC < 0\\ \matrix{ {A > 0}&{({\rm{or}}}&{C > 0)} } } \right. \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{tiểu} }\\ \left\{ \matrix{ {B^2} - AC < 0\\ \matrix{ {A < 0}&{({\rm{or}}}&{C < 0)} } } \right. \Rightarrow \matrix{ {{M_0}}&{là}&{điểm}&{cực}&{đại} }\\ {B^2} - AC > 0 \Rightarrow \matrix{ {Hàm}&{không}&{đạt}&{cực}&{trị}&{tại}&{{M_0}} }\\ {B^2} - AC = 0 \Rightarrow \matrix{ {Dùng}&{định}&{nghĩa}&{để}&{xác}&{định} } } \right.$$ ✪ Các bước làm bài : ●Bước 1 :Giải hệ phương trình $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 0\\ z{'_y} = 0 } \right. \Rightarrow \matrix{ {Tìm}&{được}&{nghiệm}&{({x_1};{y_1})}&{({x_2};{y_2})}&{...}&{({x_n};{y_n})} }$$ ●Bước 2 :Tìm các đạo hàm cấp 2. $$\left\{ \matrix{ A = z'{'_{xx}}\\ B = z'{'_{xy}}\\ C = z'{'_{yy}} } \right.$$ ●Bước 3 :Xét các điểm nghiệm $({x_1};{y_1})$, $({x_2};{y_2})$,...,$({x_n};{y_n})$ để tính A, B, C và xem nó thuộc trường hợp nào để tính và kết luận ✪Ví dụ 1 : Tìm cực trị hàm số $z = 2{x^4} + {y^4} - 4{x^2} + 2{y^2}$ (Bài 7-Đề 1-Giải tích I cuối kì BKHN-K59) Bài làm: ● Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 8{x^3} - 8x = 0\\ z{'_y} = 4{y^3} + 4y = 0 } \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = - 1\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = 1\\ y = 0 } \right. } \right.$$ Suy ra có 3 điểm nghi ngờ ${M_1}( - 1;0),{M_2}(0;0),{M_3}(1;0)$ ● Đặt : $$\matrix{ A = z'{'_{xx}} = 24{x^2} - 8\\ B = z'{'_{xy}} = 0\\ C = z'{'_{yy}} = 12{y^2} + 4 }$$ ● Xét các điểm nghi ngờ _Tại ${M_1}( - 1;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 16,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 64 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_1}( - 1;0) \Rightarrow {z_{CT}} = z( - 1;0) = - 2}$ _Tại ${M_2}(0;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = - 8,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow {B^2} - AC = 32 > 0 }$$ Suy ra hàm không đạt cực trị tại ${M_2}(0;0)$ _Tại ${M_3}(1;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 16,}&{B = 0,}&{C = 4} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 64 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_3}(1;0) \Rightarrow {z_{CT}} = z(1;0) = - 2}$ ✪Ví dụ 2 : Tìm cực trị hàm số $$z = 2{x^2} + 3{y^2} - {e^{ - ({x^2} + {y^2})}}$$ (Bài 7-Đề 3-Giải tích I cuối kì BKHN-K59) Bài làm: ● Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 4x + 2x{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} = 0\\ z{'_y} = 6y + 2y{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} = 0 } \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.$$ Suy ra có 1 điểm nghi ngờ ${M_1}(0;0)$ ● Đặt : $$\left\{ \matrix{ A = z''_{xx} = 4 + 2{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} - 4{x^2}{e^{ - ({x^2} + {y^2})}}\\ B = z''_{xy} = - 4xy{e^{ - ({x^2} + {y^2})}}\\ C = z''_{yy} = 6 + 2{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} - 4{y^2}{e^{ - ({x^2} + {y^2})}} } \right.$$ ● Xét các điểm nghi ngờ _Tại ${M_1}(0;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 6,}&{B = 0,}&{C = 8} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = - 48 < 0\\ A > 0 } \right. }$$ Suy ra hàm đạt cực tiểu tại ${{M_1}(0;0) \Rightarrow {z_{CT}} = z(0;0) = - 1}$ ✪Ví dụ 3 : Tìm cực trị hàm số $$z = {x^3} - \frac{3}{2}{y^4} - 3x{y^2}$$ (Bài 10-Đề 6-Giải tích I cuối kì BKHN-K60) Bài làm: ● Ta có : $$\left\{ \matrix{ z{'_x} = 3{x^2} - 3{y^2} = 0\\ z{'_y} = -6{y^3} - 6xy = 0 } \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ x = 0\\ y = 0 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = -1\\ y = 1 } \right.\\ \left\{ \matrix{ x = -1\\ y = - 1 } \right. } \right.$$ Suy ra có 3 điểm nghi ngờ ${M_1}(0;0)$, ${M_2}(-1;1)$, ${M_3}(-1;-1)$ ● Đặt : $$\left\{ \matrix{ A = z''_{xx} = 6x\\ B = z''_{xy} = -6y\\ C = z''_{yy} = -18{y^2} - 6x } \right.$$ ● Xét các điểm nghi ngờ _Tại ${M_1}(0;0)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = 0,}&{B = 0,}&{C = 0} }\\ \Rightarrow {B^2} - AC = 0 }$$ Suy ra ta phải dùng định nghĩa Giả sử $N(0 + \Delta x;0 + \Delta y)$ là lân cân của ${M_1}(0;0)$ Khi đó : $$\matrix{ \Delta z = z(0;0) - z(0 + \Delta x;0 + \Delta y) = z(0;0) - z(\Delta x;\Delta y)\\ \Leftrightarrow \Delta z = - {(\Delta x)^3} + \frac{3}{2}{(\Delta y)^4} + 3(\Delta x).{(\Delta y)^2}\\ \left\{ \matrix{ \Delta x > 0,\Delta y = 0\matrix{ :&{\Delta z < 0} }\\ \Delta x < 0,\Delta y = 0\matrix{ :&{\Delta z > 0} } } \right. }$$ $ \Rightarrow \Delta z$ đã đổi dấu trong lân cận ${M_1}(0;0)$ Suy ra hàm không đạt cực trị tại ${M_1}(0;0).$ _Tại ${M_2}(-1;1)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = -6,}&{B = -6,}&{C = -12} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = -36< 0\\ A<0>_Tại ${M_3}(-1;-1)$ : $$\matrix{ \matrix{ {A = -6,}&{B = 6,}&{C = -12} }\\ \Rightarrow \left\{ \matrix{ {B^2} - AC = -36 < 0\\ A<0> Có thể bạn quan tâm Copyright : Theza ღ Lưu ý: Mình chỉ sử dụng Fanpage Theza2 để bình luận. Mọi nick khác đều không phải mình. Liên kết hay đáng ghe thăm: HocTapHay.com:Tổng hợp kiến thức, bải giảng các môn học Trung học cơ sở, Trung học phổ thông,... khá đầy đủ và chi tiết.
Điểm đứng yên của một hàm. Điều kiện cần thiết cực trị cục bộ của hàm Ngày thứ nhất đủ điều kiện cực đoan địa phương Điều kiện đủ thứ hai và thứ ba cho một điểm cực đại cục bộ Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một hàm trên một đoạn Hàm lồi và điểm uốn Định nghĩa 1
. Hãy để hàm được định nghĩa trên  Định lý 1 (điều kiện cần để có cực trị cục bộ của hàm)
. Để chức năng Như vậy, để tìm các điểm có nghi là cực trị, cần tìm các điểm đứng yên của hàm số và các điểm không tồn tại đạo hàm của hàm số nhưng thuộc miền của hàm số. Ví dụ
. Để cho được Các điểm không tồn tại đạo hàm: Bởi vì và 2. Điều kiện đủ đầu tiên cho một điểm cực đại cục bộĐịnh lý 1 (điều kiện đủ đầu tiên cho điểm cực trị cục bộ)
. Để chức năng 1) chức năng 2) chức năng Bằng chứng
. 1) Giả sử rằng trong một khu bán lân cận Vì vậy, tại điểm 2) Giả sử rằng ở bên trái và bên phải của điểm Do đó, điểm cực trị tại điểm Nhận xét 1
. Nếu đạo hàm Ghi chú 2
. Một điều kiện quan trọng là tính liên tục của chức năng Ví dụ . Chức năng được xem xét (Hình 1): Chức năng này được định nghĩa trên Nhận xét 3
. Điều kiện cực trị cục bộ đủ đầu tiên không thể được sử dụng khi đạo hàm của hàm Ví dụ . Chức năng đang được xem xét là: Trong chừng mực những thứ kia. tại điểm Vì Đối với số hạng đầu tiên ở phía bên phải của công thức kết quả, chúng ta có: và do đó trong một vùng lân cận nhỏ của điểm có nghĩa là ở bất kỳ vùng lân cận nào của điểm sau đó (Hình 2), và Định nghĩa: cực đoanđược gọi là tối đa giá trị tối thiểu các hàm trên một tập hợp nhất định. điểm cao nhất là điểm mà tại đó giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm đạt được. Điểm tối đa là điểm mà tại đó giá trị lớn nhất của hàm đạt được. Điểm thấp là điểm đạt giá trị nhỏ nhất của hàm. Giải trình. Trong hình bên, tại vùng lân cận của điểm x = 3, hàm số đạt giá trị cực đại (nghĩa là trong vùng lân cận của điểm cụ thể này không có điểm nào cao hơn). Trong vùng lân cận của x = 8, nó lại có giá trị lớn nhất (một lần nữa, hãy làm rõ: chính trong vùng lân cận này không có điểm nào ở trên). Tại những điểm này, mức tăng được thay thế bằng mức giảm. Chúng là điểm tối đa: xmax = 3, xmax = 8. Tại lân cận x = 5 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất (nghĩa là tại lân cận x = 5 không tồn tại điểm nào dưới đây). Tại thời điểm này, mức giảm được thay thế bằng mức tăng. Đó là điểm tối thiểu: Điểm tối đa và tối thiểu là điểm cực trị của hàm và các giá trị của hàm tại những điểm này là thái cực. Các điểm tới hạn và điểm dừng của hàm: Điều kiện cần thiết cho một cực đại: Điều kiện đủ cho một điểm cực trị: Trên phân khúc, hàm y = f(x) có thể đạt đến giá trị tối thiểu hoặc lớn nhất tại các điểm tới hạn hoặc ở cuối đoạn. Thuật toán nghiên cứu chức năng liên tục y = f(x) đối với tính đơn điệu và cực trị: Miền của một hàm số, tính đạo hàm của nó, tìm miền đạo hàm của một hàm số, tìm điểm chuyển đạo hàm về 0, chứng minh rằng các điểm tìm được thuộc miền xác định của nguyên hàm. Ví dụ 1 Xác định quan trọng điểm các hàm y = (x - 3) ² (x-2). Giải phápTìm phạm vi của hàm, trong trường hợp này không hạn chế: x ∈ (-∞; + ∞); Tính đạo hàm y ’. Theo quy tắc phân biệt tích của hai thì có: y '= ((x - 3) ²)' (x - 2) + (x - 3) ² (x - 2) '= 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3) ² 1. Sau khi nó quay ra phương trình bậc hai: y '= 3 x² - 16 x + 21. Tìm miền đạo hàm của hàm số: x ∈ (-∞; + ∞). Giải phương trình 3 x² - 16 x + 21 = 0 để thấy biến mất: 3 x² - 16 x + 21 = 0 . D \ u003d 256 - 252 \ u003d 4x1 \ u003d (16 + 2) / 6 \ u003d 3; x2 = (16 - 2) / 6 = 7 / 3. Vì vậy, đạo hàm biến mất với các giá trị x bằng 3 và 7/3. Xác định xem những cái được tìm thấy có thuộc về điểm các miền của chức năng ban đầu. Vì x (-∞; + ∞) nên cả hai điểm rất quan trọng. Ví dụ 2 Xác định quan trọng điểm các hàm y = x² - 2 / x. Lời giải Miền của hàm số: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞) vì x ở mẫu số. Tính đạo hàm y ’= 2 x + 2 / x². Miền đạo hàm của hàm số trùng với miền nguyên: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; + ∞). Giải phương trình 2 x + 2 / x² = 0: 2 x = -2 / x² → x = -one. Vì vậy, đạo hàm biến mất tại x = -1. Một điều kiện quan trọng cần thiết nhưng không đủ được thỏa mãn. Vì x = -1 nằm trong khoảng (-∞; 0) ∪ (0; + ∞) nên điểm này là tới hạn. Nguồn:
Nhiều phụ nữ bị hội chứng tiền kinh nguyệt, không chỉ biểu hiện bằng cảm giác đau đớn mà còn tăng cảm giác thèm ăn. Do đó, những ngày quan trọng có thể làm chậm quá trình giảm cân một cách đáng kể. Nguyên nhân làm tăng cảm giác thèm ăn trong những ngày quan trọngLý do cho sự gia tăng cảm giác thèm ăn trong những ngày quan trọng là sự thay đổi của nền nội tiết tố chung trong cơ thể phụ nữ. Một vài ngày trước khi bắt đầu hành kinh, mức độ hormone progesterone tăng lên, cơ thể điều chỉnh ở mức có thể và cố gắng tạo ra năng lượng dự trữ bổ sung dưới dạng chất béo trong cơ thể, ngay cả khi người phụ nữ đang ngồi. Vì vậy, sự thay đổi cân nặng vào những ngày quan trọng là một hiện tượng bình thường. Cách ăn uống trong thời kỳ kinh nguyệtCố gắng không ăn đồ ngọt, bánh kẹo và các loại thực phẩm có hàm lượng calo cao khác có chứa chất "nhanh" trong những ngày này. Lượng dư thừa của chúng sẽ ngay lập tức được lắng đọng thành chất béo. Nhiều phụ nữ trong thời kỳ này rất muốn ăn sô cô la, trong trường hợp này, bạn có thể mua sô cô la đen và đãi mình vài lát, nhưng không hơn. Không sử dụng trong thời kỳ kinh nguyệt đồ uống có cồn, nước xốt, dưa chua, thịt hun khói, hạt và quả hạch. Dưa chua và thịt hun khói nói chung nên được hạn chế trong chế độ ăn uống 6-8 ngày trước khi bắt đầu hành kinh, vì các sản phẩm này làm tăng lượng nước dự trữ trong cơ thể, và giai đoạn này được đặc trưng bởi sự gia tăng tích tụ chất lỏng. Để giảm lượng muối trong chế độ ăn uống của bạn, hãy thêm nó vào số lượng tối thiểu trong bữa ăn sẵn. Nên sử dụng các sản phẩm sữa ít béo, thực phẩm từ thực vật, ngũ cốc. Các loại đậu, khoai tây luộc, gạo sẽ hữu ích - những sản phẩm có chứa carbohydrate “chậm”. Hải sản, gan, cá, thịt bò, thịt gia cầm, trứng, các loại đậu, trái cây sấy khô sẽ giúp bổ sung lượng sắt bị mất đi. Cám mì sẽ hữu ích. phản ứng tự nhiên trong thời kỳ kinh nguyệt bị sưng tấy. Các loại thảo mộc có tác dụng lợi tiểu nhẹ sẽ giúp khắc phục tình trạng bệnh: húng quế, thì là, mùi tây, cần tây. Chúng có thể được sử dụng như một loại gia vị. Trong nửa sau của chu kỳ, nên tiêu thụ các sản phẩm protein (thịt nạc và cá, các sản phẩm từ sữa), và lượng carbohydrate trong chế độ ăn uống nên giảm càng nhiều càng tốt. khái niệm kinh tế khối lượng quan trọng bán hàng tương ứng với vị thế của doanh nghiệp trên thị trường, trong đó số tiền thu được từ việc bán hàng hóa là tối thiểu. Tình huống này được gọi là điểm hòa vốn, khi nhu cầu về sản phẩm giảm xuống và lợi nhuận chỉ đủ bù chi phí. Để xác định khối lượng quan trọng bán hàng sử dụng một số phương pháp. Hướng dẫn Chu trình làm việc không giới hạn trong các hoạt động của nó - sản xuất hoặc dịch vụ. Đây là công việc phức tạp của một cơ cấu nhất định, bao gồm công việc của các nhân sự chủ chốt, cán bộ quản lý, trưởng phòng,… cũng như các nhà kinh tế, có nhiệm vụ là phân tích tài chính của doanh nghiệp. Mục đích của phân tích này là để tính toán một số đại lượng, ở mức độ này hay mức độ khác, ảnh hưởng đến quy mô của lợi nhuận cuối cùng. Đây là các loại khác nhau khối lượng sản xuất và bán hàng, đầy đủ và trung bình, các chỉ số nhu cầu, v.v. Nhiệm vụ chính là xác định khối lượng sản xuất mà tại đó mối quan hệ ổn định giữa chi phí và lợi nhuận được thiết lập. Âm lượng tối thiểu bán hàng, tại đó thu nhập bao gồm đầy đủ các chi phí, nhưng không làm tăng vốn chủ sở hữu của công ty, được gọi là khối lượng tới hạn bán hàng. Có ba phương pháp để tính toán phương pháp của chỉ tiêu này: phương pháp phương trình, thu nhập cận biên và đồ thị. Để xác định khối lượng quan trọng bán hàng theo phương pháp đầu tiên, hãy lập phương trình có dạng: Vp - Zper - Zpos \ u003d Pp \ u003d 0, trong đó: Vp - doanh thu từ bán hàng và; Zper và Zpos - chi phí biến đổi và cố định; Pp - lợi nhuận từ bán hàng và. Theo một phương pháp khác, kỳ đầu tiên, doanh thu từ bán hàng, thể hiện như sản phẩm của thu nhập cận biên từ một đơn vị hàng hóa theo khối lượng bán hàngĐiều này cũng xảy ra với chi phí biến đổi. Chi phí cố định áp dụng cho toàn bộ lô hàng hóa, vì vậy hãy để thành phần này chung: MD N - Zper1 N - Zpos = 0. Biểu thị giá trị của N từ phương trình này, và bạn nhận được khối lượng tới hạn bán hàng: N = Zpos / (MD - Zper1), trong đó Zper1 - chi phí biến đổi trên một đơn vị hàng hóa. Phương pháp đồ họa liên quan đến việc xây dựng. Nộp đơn mặt phẳng tọa độ hai dòng: chức năng doanh thu từ bán hàng trừ đi cả hàm chi phí và lợi nhuận. Trên trục abscissa, vẽ biểu đồ khối lượng sản xuất và trên trục đơn vị, thu nhập từ số lượng hàng hóa tương ứng, được biểu thị bằng đơn vị tiền tệ. Giao điểm của các đường này tương ứng với khối lượng tới hạn bán hàng, vị trí hòa vốn. Nguồn:
Tư duy phản biện là tập hợp các phán đoán trên cơ sở đó hình thành các kết luận nhất định và đưa ra đánh giá đối tượng phản biện. Đó là đặc điểm đặc biệt của các nhà nghiên cứu và nhà khoa học thuộc tất cả các ngành khoa học. Tư duy phản biện chiếm một trình độ cao hơn so với tư duy thông thường. Giá trị của kinh nghiệm trong việc hình thành tư duy phản biệnRất khó để phân tích và đưa ra kết luận về những gì bạn chưa hiểu rõ. Vì vậy, để học cách tư duy phản biện, cần phải nghiên cứu các đối tượng trong tất cả các mối liên hệ và mối liên hệ có thể có với các hiện tượng khác. Cũng như tầm quan trọng lớn trong trường hợp này, anh ta sở hữu thông tin về các đối tượng đó, khả năng xây dựng chuỗi phán đoán logic và đưa ra kết luận hợp lý. Ví dụ, đánh giá giá trị tác phẩm nghệ thuật chỉ có thể thực hiện được bằng cách biết đủ các loại trái cây khác hoạt động văn học. Đồng thời, việc trở thành một người sành sỏi về lịch sử phát triển của loài người, sự hình thành văn học và phê bình văn học. Đi từ bối cảnh lịch sử công việc có thể mất đi ý nghĩa dự định của nó. Để việc đánh giá một tác phẩm nghệ thuật được đầy đủ và xác đáng, bạn cũng cần phải sử dụng kiến thức văn học của mình, bao gồm các quy tắc xây dựng văn bản nghệ thuật trong các thể loại riêng lẻ, một hệ thống gồm nhiều thiết bị văn học, phân loại và phân tích phong cách hiện có và các xu hướng trong văn học, v.v. Đồng thời, việc nghiên cứu logic bên trong của cốt truyện, chuỗi hành động, vị trí và sự tương tác của các nhân vật trong một tác phẩm nghệ thuật cũng rất quan trọng. Đặc điểm của tư duy phản biệnCác đặc điểm khác của tư duy phản biện bao gồm: Không giống như tư duy thông thường, tư duy phản biện không phụ thuộc vào niềm tin mù quáng. Tư duy phản biện cho phép Toàn bộ hệ thống nhận định về đối tượng phê bình để lĩnh hội bản chất của nó, bộc lộ kiến thức thực sự về nó và bác bỏ những cái sai. Nó dựa trên logic, độ sâu và tính đầy đủ của nghiên cứu, tính trung thực, đầy đủ và nhất quán của các phán đoán. Đồng thời, các tuyên bố rõ ràng và đã được chứng minh được chấp nhận như là định đề và không yêu cầu chứng minh và đánh giá lặp lại. Điểm quan trọng là những điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc không tồn tại. Nếu đạo hàm bằng 0 thì hàm tại điểm đó nhận cục bộ tối thiểu hoặc tối đa. Trên đồ thị tại các điểm như vậy, hàm số có tiệm cận ngang nghĩa là tiếp tuyến song song với trục x. Những điểm như vậy được gọi là đứng im. Nếu bạn thấy “bướu” hoặc “lỗ” trên biểu đồ chức năng liên tục, hãy nhớ rằng mức tối đa hoặc tối thiểu đạt được tại điểm tới hạn. Hãy xem xét nhiệm vụ sau đây như một ví dụ. ví dụ 1 Tìm các điểm tới hạn của hàm số y = 2x ^ 3-3x ^ 2 + 5. Vì vậy, hàm có hai điểm tới hạn. Xa hơn nữa, nếu bạn cần nghiên cứu hàm số, thì chúng ta xác định dấu của đạo hàm bên trái và bên phải của điểm tới hạn. Nếu đạo hàm thay đổi dấu từ "-" thành "+" khi đi qua điểm tới hạn, thì hàm có địa phương tối thiểu. Nếu từ "+" thành "-" nên tối đa địa phương. Loại điểm quan trọng thứ haiđây là những số không ở mẫu số của hàm phân số và hàm vô tỉ Các hàm với logarit và lượng giác không được xác định tại những điểm này Loại điểm quan trọng thứ ba có các chức năng và mô-đun liên tục từng phần. Ví dụ, bất kỳ chức năng mô-đun nào đều có giá trị tối thiểu hoặc tối đa tại một điểm ngắt. Ví dụ mô-đun y = | x -5 | tại điểm x = 5 có cực tiểu (điểm tới hạn). Cố gắng xác định các điểm quan trọng của các chức năng 1) 2) 3) 4) 5) |
