\(\eqalign{ & OA = |\overrightarrow {OA} | = |\overrightarrow a | \cr & OB = |\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \cr&\Rightarrow AC = |\overrightarrow {AC} |=|\overrightarrow {OB} | = |\overrightarrow b | \cr & \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \Rightarrow \overrightarrow {OC} = \overrightarrow a + \overrightarrow b \cr & OC = |\overrightarrow {OC} | = |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \cr} \) Đề bài Chứng minh rằng \(|\overrightarrow a + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} .\) Video hướng dẫn giải Phương pháp giải - Xem chi tiết Dựng các véc tơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) chung gốc. Sử dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh. Lời giải chi tiết Từ một điểm \(O\) trong mặt phẳng ta dựng vectơ: \(\eqalign{ Và dựng hình bình hành \(OACB\) \(\Rightarrow \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {OB} \) Như vậy: \(\eqalign{ Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \(OAC\), ta có: \(OA + AC OC \) \(\Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \ge \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\) \( |\overrightarrow a + \overrightarrow b | \le |\overrightarrow a | + |\overrightarrow {b|} \). Dấu "=" xảy ra khi OA+AC=OC hay A nằm giữa O và C. Khi đó \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {AC} \) cùng hướng hay \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng hướng. (Do \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a ,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b \)) Chú ý: Các em cũng không nhất thiết phải dựng hình bình hành. Có thể dựng hình cách khác như sau: Từ điểm O dựng điểm A sao cho \(\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a \). Từ điểm A dựng điểm C sao cho \(\overrightarrow {AC} = \overrightarrow b \). Rồi sử dụng bất đẳng thức tam giác cũng ra được đpcm.
|