Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính. Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở điểm C. a) Chứng minh rằng CB là tiếp tuyến của đường tròn. b) Cho bán kính của đường tròn bằng \(15cm, AB = 24 cm\). Tính độ dài OC.
a) Gọi H là giao điểm của OC và AB Ta có \(OA = OB\) ( cùng bằng bán kính (O)) Suy ra \(ΔAOB\) cân tại O Suy ra OH là đường cao nên cũng là đường phân giác. Do đó: \(\widehat{AOC}=\widehat{BOC} \) Xét hai \(ΔOBC\) và \(ΔOAC\) có: \(OB = OC\) (cùng bằng bán kính (O)) \(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\) OC cạnh chung \(\Rightarrow ΔOBC = ΔOAC\) (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat{OBC}=\widehat{OAC}={{90}^{o}} \) Vậy CB là tiếp tuyến của đường tròn (O). (đpcm) b) Ta có: \(AH=\dfrac{AB}{2}=12\,\left( cm \right)\) (định lí đường kính và dây cung) Áp dụng định li Pytago trong tam giác vuông OHB, ta có: \(\begin{aligned} & O{{B}^{2}}=H{{B}^{2}}+H{{O}^{2}} \\\\ & \Rightarrow OH=\sqrt{O{{B}^{2}}-H{{B}^{2}}}=\sqrt{{{15}^{2}}-{{12}^{2}}}=9\left( cm \right) \\ \end{aligned}\) Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác OHB, ta có \(\cos \widehat{HOB}=\dfrac{OH}{OB}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}\) Tương tự, \(\cos \widehat{COB}=\dfrac{OB}{OC}\) \(\Rightarrow OC=\dfrac{OB}{\cos \widehat{COB}}=15:\dfrac{3}{5}=25\,\left( cm \right)\) |