Để giải được dạng bài toán tính tổng dãy số, trước hết học sinh cần hiểu được quy luật hình thành dãy số. Show Sau đó xác định số số hạng trong dãy số – tức là cần biết xem tổng đó gồm bao nhiêu số hạng và vận dụng các cách tính toán theo từng bài tập. Công thức tính tổng dãy số cách đều Bước 1: Xác định quy luật của dãy số. Bước 2: Tính số số hạng có trong dãy. Số số hạng = (Số hạng lớn nhất của dãy – số hạng bé nhất của dãy): khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1 Ví dụ: từ số 1,2,3…45 có số số hạng là: (45-1):1 + 1 = 45 (số) Bước 3: Tính tổng của dãy theo công thức: Tổng = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2 Ví dụ: Tính tổng: 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19, …, 94 + 97 + 100. Bước 1: Ta nhận thấy quy luật của dãy số: dãy số cách đều, có khoảng cách giữa 2 số hạng liên tiếp là 3 đơn vị. Bước 2: Tính số số hạng có trong dãy. (100 – 1) : 3 + 1 = 34 (số hạng) Bước 3: Tổng dãy số = (100 + 1) x 34 : 2 = 1717 Ví dụ: Tính giá trị của A biết: A = 1 + 2 + 3 + 4 + ……………………… + 2014. Bước 1. Xác định quy luật dãy số: Đây là dãy số cách đều, khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp là 1. Bước 2: Tính số số hạng trong dãy: (2014 – 1) : 1 + 1 = 2014 Bước 3: Giá trị của A là: (2014 + 1) x 2014 : 2 = 2.029.105 Ví dụ 3: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; …………… Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên? Bước 1: Quy luật dãy số: Đây là dãy số cách đều, khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp là 2. Bước 2: Số hạng thứ 2014 là số hạng lớn nhất. Vì vậy, Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp + số hạng bé nhất trong dãy. (2014 – 1) x 2 + 2 = 4028 Đáp số: 4028
Đó là các dạng toán sau: I. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên * Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +22 + . . . +2100(*) ° Hướng dẫn: * Cách 1:Ta viết lại S như sau: S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299) S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100– 2100) ⇒ S = 1 + 2(S – 2100) = 1+2S – 2101 ⇒ S = 2101– 1 * Cách 2:Nhân 2 vế với 2, ta được: 2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100) ⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101(**) – Lấy (**) trừ đi (*) ta được: 2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) – (1 +2 +22 +. . . +2100) ⇔ S = 2101– 1. • Tổng quát cho dạng toán này như sau: Ta nhân cả 2 vế của Snvới a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: * Ví dụ 2:Tính: S =1 – 2 + 22– 23 + 24– . . . – 299 + 2100 ° Hướng dẫn:– Ta có: 2S = 2(1 – 2 +22– 23 + 24–. . . – 299 + 2100) ⇔2S = 2 – 22 + 23– 24 + 25–. . . – 2100 + 2101 ⇔2S S = (2 – 22 + 23– 24 + 25–. . . – 2100 + 2101) (1 – 2 + 22– 23 + 24– . . . – 299 + 2100) ⇔ 3S =2101 + 1. • Tổng quát cho dạng toán này như sau: Ta nhân cả 2 vế của Snvới a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: * Ví dụ 3:Tính tổng: S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100(*) ° Hướng dẫn: – Với bài toán này, mục tiêulà nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp. – Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp. S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100 ⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100) ⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102 (**) – Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được: 9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) – (1+32 +34 + . . . +398 + 3100) ⇔ 8S = 3102– 1 • Tổng quát cho dạng toán này như sau: Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi TRỪ vế với vế ta được: * Ví dụ 4:Tính: S = 1 – 23 + 26– 29 . . . +296– 299(*) ° Hướng dẫn: – Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23ta được: 23.S = 23.(1 – 23 + 26– 29 +. . .+ 296– 299) ⇒ 8S = 23– 26 + 29– 212 +. . . +299– 2102(**) – Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được: 8S S = (23– 26 + 29– 212 +. . . +299– 2102) (1 – 23 + 26– 29 +. . .+ 296– 299) ⇔ 9S = 1 – 2102 • Tổng quát cho dạng toán này như sau: Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi CỘNG vế với vế ta được: II. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều•Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau: – Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức: Số số hạng = <(số> 1 – Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức: Tổng = <(số>:2 * Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39 ° Hướng dẫn: – Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20. S = <20.(39+1)>:2 = 10.40 = 400. * Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59 ° Hướng dẫn: – Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20. S = <20.(59+2)>:2 = 10.61 = 610. Xem thêm: Ngữ Văn 10 Tóm Tắt Truyện Tấm Cám Ngắn Nhất, Tóm Tắt Truyện Tấm Cám Hay Nhất III. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết• Ký hiệu: • Tính chất: * Ví dụ:Tính tổng: Sn = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1) ° Hướng dẫn: –Ta có: – Mặt khác, lại có: (theo PP quy nạp ở mục I).(theo PP quy nạp ở mục I)IV. Bài tập vận dụngBài tập 1:Tính tổng: S = 3 8 13 18 … 228 Bài tập 2:Tính các tổng sau: a)S = 6 +62 + 63 + … +699 + 6100 b)S = 5 +11 +17 … 95 +101 c) d) Bài tập 3:Chứng minh a) 1.4 +4.7 +7.10 … (3n-2)(3n+1) = n(n+1)2 b) Cùng chuyên đề:Một số bài tập nâng cao Số học 6 >>
Các dạng toán tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật là một trong những chuyên đề có khá nhiều bài tập được gọi là “khó nhằn” và gây “căng thẳng đầu óc” cho các bạn học sinh lớp 6, đây có thể coi là dạng toán dành cho học sinh khá giỏi. Đang xem: Cách tính số số hạng lớp 6 Vì vậy, nhằm giúp các em học sinh “giải tỏa được căng thẳng” khi gặp các dạng toán về tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật, trong bài viết này chúng ta hãy cùng hệ thống lại một số dạng toán này cùng công thức và cách giải, sau đó vận dụng làm các bài tập. I. Dạng toán tính tổng dãy sử dụng phương pháp quy nạp. – Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn: Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh. * Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) ° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp) – Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S1 = (2.1 – 1) = 1 Thử với n = 2, ta có: S2 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) = 1+ 3 = 4 = 22 Thử với n= 3, ta có: S3 = (2.1 – 1) + (2.2 – 1) + (2.3 – 1)= 1+ 3 + 5 = 9 = 32 … … … – Ta dự đoán: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2 • Phương pháp quy nạp: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n -1) = n2 (*) Với n = 1; S1 = 1 (đúng) Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là: Sk =1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2 (1) Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k+1, tức là: Sk+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = (k+1)2 Vì ta đã giải sử Sk đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp. 1 + 3 + 5 + . . . + (2k -1) = k2 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + (2k+1) (cộng 2k+1 vào 2 vế). Từ đó ⇒ 1 + 3 + 5 + . . . + (2k-1) + (2k+1) = k2 + 2k + 1 = (k+1)2 • Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học: 1) 2) 3) 4) II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương pháp khử liên tiếp – Giả sử cần tính tổng: Sn = a1 + a2 + . . . + an (*) mà ta có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau: a1 = b1 – b2 a2 = b2 – b3 … … … an = bn – bn+1 ⇒ Khi đó ta có: Sn = (b1 – b2) + (b2 – b3)+…+(bn – bn+1) = b1 – bn+1 * Ví dụ 1: Tính tổng: ° Hướng dẫn: – Ta có: …; ⇒ • Dạng tổng quát: * Ví dụ 2: Tính tổng: ° Hướng dẫn: – Ta có: ;…; * Ví dụ 3: Tính tổng: ° Hướng dẫn: – Ta có: III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm • Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên * Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 22 + . . . + 2100 (*) ° Hướng dẫn: * Cách 1: Ta viết lại S như sau: S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299) S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . . + 299 + 2100 – 2100) ⇒ S = 1+ 2(S – 2100) = 1+ 2S – 2101 ⇒ S = 2101 – 1 * Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được: 2S = 2(1 + 2 + 22 + . . . + 2100) ⇔ 2S = 2 + 22 + 23 + . . . 2101 (**) – Lấy (**) trừ đi (*) ta được: 2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . 2101) – (1 + 2 + 22 + . . . + 2100) ⇔ S = 2101 – 1. • Tổng quát cho dạng toán này như sau: Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: * Ví dụ 2: Tính: S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100 ° Hướng dẫn:– Ta có: 2S = 2(1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100) ⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101 ⇔ 2S + S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) + (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100) ⇔ 3S = 2101 + 1. Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Nhập Điểm Trong Excel Với Hàm Average, Tự Điền Chữ Khi Nhập Điểm Chấm Thi • Tổng quát cho dạng toán này như sau: Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: * Ví dụ 3: Tính tổng: S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 (*) ° Hướng dẫn: – Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp. – Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp. S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100 ⇔ 32.S = 32(1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100) ⇔ 9S= 32 + 34 + . . . + 3100 + 3102 (**) – Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được: 9S-S= (32 + 34 + . . . + 3100 + 3102) – (1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100) ⇔ 8S = 3102 – 1 • Tổng quát cho dạng toán này như sau: Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được: * Ví dụ 4: Tính: S = 1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299 (*) ° Hướng dẫn: – Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được: 23.S = 23.(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299) ⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102 (**) – Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được: 8S + S = (23 – 26 + 29 – 212+ . . . + 299 – 2102)+(1 – 23 + 26 – 29+ . . . + 296 – 299) ⇔ 9S = 1 – 2102 • Tổng quát cho dạng toán này như sau: Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được: III. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều. • Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau: – Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức: Số số hạng = <(số> + 1 – Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức: Tổng = <(số>:2 * Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 39 ° Hướng dẫn: – Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20. S = <20.(39+1)>:2 = 10.40 = 400. * Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2 + 5 + 8 + … + 59 ° Hướng dẫn: – Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20. S = <20.(59+2)>:2 = 10.61 = 610. Xem thêm: Top 8 Trung Tâm Dạy Khóa Học Graphic Design Ngắn Hạn, Lớp Thiết Kế Đồ Hoạ Ngắn Hạn IV. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết • Ký hiệu: • Tính chất: * Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+n(n+1) ° Hướng dẫn: – Ta có: – Mặt khác, lại có: (theo PP quy nạp ở mục I). (theo PP quy nạp ở mục I) V. Một số bài tập luyện tập về tính tổng dãy số có quy luật Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228 Bài tập 2: Tính các tổng sau: a) S = 6 + 62 + 63 +…+ 699 + 6100 b) S = 5 + 11 + 17 +…+ 95 + 101 c) d) Bài tập 3: Chứng minh a) 1.4 + 4.7 + 7.10 +…+(3n-2)(3n+1) = n(n+1)2 b) Hy vọng với bài viết hệ thống lại Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập vận dụng ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt ! Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Cách tính |