Công thức mặt phẳng cắt mặt cầu

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Viết phương trình của mặt phẳng liên quan đến mặt cầu và khoảng cách: Phương pháp giải. Kiến thức cần nhớ: 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt. 2. Vị trí tương đối của mặt phẳng với mặt cầu. Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu. Ví dụ 23. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): 2y – 2z + 1= 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 + y2 + 22 + 2c – 44 – 22 – 3 = 0. Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; 1) và bán kính R= V(-1)^2 + 12 + 3 = 3. Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình của mặt phẳng (P) có dạng: x + 2y – 2z + D = 0, D + 1. Ví dụ 24. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: x2 + y + 2 – 2x + 6g – 43 – 2 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của véctơ n = (1; 6; 2), vuông góc với mặt phẳng (a): x + 4 và tiếp xúc với (S). Mặt cầu (S) có tâm I(1; -3; 2) và bán kính R = 4. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (a) là I = (1; 4; 1). Suy ra vectơ pháp tuyến của (P) là: P = (2; -1; 2). Phương trình của (P) có dạng: 20 – 2x + m = 0. Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d(I, (P)). Vậy phương trình mặt phẳng (P): 23 – g + 22 + 3 = 0 hoặc (P): 2x – 4 + 2z – 21 = 0. Ví dụ 25. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): c2 + y2 + 2 + 2x – 40 – 4 = 0 và mặt phẳng (P): 04 – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3; 1; -1) vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S). Mặt cầu (S) có tâm I(-1; 2; 0) và bán kính R = 3; mặt phẳng (P) có véctơ pháp tuyến (1; 0; 1). (Q): 2x + 2y + z – 6 = 0 hoặc (Q): 100 – 10g + 2z – 5 = 0. Ví dụ 26. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x + y2 + x2 – 2x + 4 + 2x – 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 3. Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; -1), bán kính R = 3. Mặt phẳng (P) chứa Ox, nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: ay + bz = 0. Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I. Suy ra: – 2a – b = 0 + b = -2a(a + 0) » (P): y – 2 = 0. Ví dụ 27. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : 22 + 2x – 2y + 2x – 1 = 0 và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 1. (P): x + y – 3 – 4 = 0. Với (2) + (P) : 7 – 17x + 5 – 4 = 0. Ví dụ 28. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S), mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – 8 + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (8) song Song với (a) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng p = 6T. Do (a) || (8) nên mặt phẳng (8) có phương trình 2x + 2y = 0. Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5. Đường tròn giao tuyến có chu vi 60 nên có bán kính r = 3. Khoảng cách từ 1 tới (3) là h = R2 = r2. Vậy (8) có phương trình 2x + 2y – 3 – 7 = 0.

Ví dụ 29. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y = 0. Viết phương trình mặt phẳng (ABC) biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ điểm 0 đến mặt phẳng (ABC) bằng 3. Vậy phương trình mặt phẳng (ABC): 1 + 2y + 2 = 1.

Mặt cầu và mặt phẳng trong hình học Oxyz

Tóm tắt lý thuyết vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng trong hình học Oxyz, bài tập trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết.

Cho mặt cầu

. Tâm

Tâm

{ lấy hệ số

chia cho -2 }

Cho mặt phẳng

Để xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu. Chúng ta tính khoảng cách từ tâm cầu đến mặt phẳng và so sánh khoảng cách đó với bán kính

Trường hợp 1: Mặt phẳng cắt mặt cầu

Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là hình tròn có tâm H và bán kính r

H là hình chiếu vuông góc của tâm I trên mặt phẳng (P)