Show
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng bao gồm 4 loại: đường thẳng song song với mặt phẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, đường thẳng thuộc mặt phẳng và đường thẳng cắt mặt phẳng. Dưới đây là toàn bộ lý thuyết và các ví dụ cần lưu ý cho từng dạng.  Lưu ý khi làm bài tập tọa độ không gianChuyên đề phương pháp tọa độ trong không gian là một trong những chuyên đề quan trọng trong hình học mà các em sẽ được giới thiệu trong chương trình kì 2 lớp 12. Xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốc gia với đa dạng các bài tập. Vì vậy, các em cần phải nắm vững các chủ điểm quan trọng trong chuyên đề này. Các em cần nắm được cách viết phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng. Phân biệt các vị trí tương đối của 2 đưởng thẳng, 2 mặt phẳng hoặc của đt và mp. Nắm vững được cách giải từng dạng bài tập. Lưu ý các bài tập về tính khoảng cách: khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng hoặc hai mặt phẳng. Đây là dạng toán thường xuyên gặp, bao gồm các câu hỏi từ dễ đến khó. Thông thường chúng ta sẽ đưa được về dạng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Ngoài việc cần phải nhớ công thức tính khoảng cách cơ bản, các em cần phải luyện tập làm nhiều bài tập đa dạng. Vẽ nhiều hình khác nhau, phát triển tư duy nhìn hình và phản xạ có hiệu quả. Có thể bạn quan tâm: Đạo hàm cấp cao và kinh nghiệm làm bài Chúc các em học tốt! Tải tài liệu miễn phí ở đây Sưu tầm: Lê Anh
Trong bài trước ta đã tìm hiểu về vị trí tương đối giữa mặt phẳng, đường thẳng, trong bài này ta sẽ tìm hiểu vị trí tương đối của mặt cầu so với mặt phẳng và đường thẳng. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳngCho mặt cầu \[S\left( {I,R} \right)\] và mặt phẳng \[(P)\]. Ký hiệu \[d\] là khoảng cách từ \[I\] đến \[(P)\]. Ta có: Trường hợp 1: Nếu \[d > R\] thì mặt phẳng \[(P)\] và mặt cầu \[(S)\] không có điểm chung. Trường hợp 2: Nếu \[d = R\] thì mặt phẳng \[(P)\] tiếp xúc với mặt cầu \[(S)\]. Ta gọi đây là điều kiện tiếp xúc. Trường hợp 3: Nếu \[d < R\] thì mặt phẳng \[(P)\] cắt mặt cầu \[(S)\] theo giao tuyến là đường tròn có bán kính là \[r = \sqrt {{R^2} – {d^2}} \]. Ví dụ 1: Cho mặt phẳng \[(\alpha ):2x – y + 2z – 7 = 0\] và mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 9\]. Viết phương trình mặt phẳng \[(P)\] song song với \[(\alpha )\] và tiếp xúc với \[(S )\]. Giải Mặt cầu (S) có tâm \[I\left( {1;0; – 2} \right)\], bán kính \[R = 3\]. Vì \[(P)//(\alpha )\] nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[2x – y + 2z + m = 0,\,\,m \ne – 7\]. Vì \[(P)\] tiếp xúc với mặt phẳng \[(\alpha )\] nên áp dụng điều kiện tiếp xúc ta có: \[d\left( {I,(P)} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 – 4 + m} \right|}}{3} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 11\\ m = – 7 (loại) \end{array} \right.\] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[2x – y + 2z + 11 = 0\] Ví dụ 2: Cho mặt phẳng \[(\alpha ): x -2 y + z + 1 = 0\] và điểm \[I\left( {2; – 1;1} \right)\]. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm \[I\] cắt mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] theo giao tuyến là đường tròn có diện tích bằng \[4\pi \]. Giải Gọi \[r\] là bán kính đường tròn giao tuyến. Ta có: \[\pi {r^2} = 4\pi \Rightarrow r = 2\]. Gọi \[d\] là khoảng cách từ \[I\] đến mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]. Dễ dàng tính được \[d = \sqrt 6 \]. Gọi \[R\] là bán kính mặt cầu (S). Ta có: \[R = \sqrt {{r^2} + {d^2}} = \sqrt {10} \]. Vậy phương trình mặt cầu (S) là: \[{\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 10\]. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳngCho mặt cầu \[S\left( {I,R} \right)\] và đường thẳng \[\Delta \]. Ký hiệu \[d\] là khoảng cách từ \[I\] đến \[\Delta \]. Ta có: Trường hợp 1: Nếu \[d > R\] thì đường thẳng \[\Delta \] và mặt cầu \[(S)\] không có điểm chung. Trường hợp 2: Nếu \[d = R\] thì đường thẳng \[\Delta \] tiếp xúc với mặt cầu \[(S)\]. Ta gọi đây là điều kiện tiếp xúc. Trường hợp 3: Nếu \[d < R\] thì đường thẳng \[\Delta \] và mặt cầu \[(S)\] cắt nhau tại hai điểm M, N với \[MN = 2\sqrt {{R^2} – {d^2}} \]. Ví dụ 3: Cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{4}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-1}{1}.$ Viết phương trình mặt cầu $\left( S \right),$ biết $\left( S \right)$ có tâm $I\left( 1;2;-3 \right)$ và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho $AB=\sqrt{26}.$ A. $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=5.$ B. $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=5.$ C. $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=25.$ D. $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25.$ Giải Gọi $d$ là khoảng cách từ $I$ đến $\Delta $, dễ dàng tính được $d=\frac{\sqrt{74}}{2}$. Gọi $R$ là bán kính mặt cầu $\left( S \right)$ thì $R=\sqrt{{{d}^{2}}+{{\left( \frac{AB}{2} \right)}^{2}}}=5$ Vậy phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25.$ Ta chọn đáp án D. |
