Cho 20 đường thẳng trên cùng một mặt phẳng, hỏi chúng chia mặt phẳng thành bao nhiêu phần trong các trường hợp sau đây: Show 1. Có 5 đường thẳng song song với nhau. 2. Có 5 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm.
Giải
Nếu 20 đường thẳng có vị trí tổng quát thì số phần mặt phẳng do chúng tạo nên là : S20 = 1 + $\frac{20(20+1)}{2}$ = 211 phần mặt phẳng. 1. 5 đường thẳng có vị trí tổng quát tạo nên S5 = 1 + $\frac{5(5+1)}{2}$ = 16 phần mặt phẳng. Trong đó 5 đường thẳng song song với nhau chỉ tạo nên 6 phần mặt phẳng. Vậy số phần mặt phẳng bớt đi là 16 - 6 = 10 Vậy đáp án câu 1 là 211 - 10 = 201 phần mặt phẳng. 2. 5 đường thẳng đồng quy chỉ tạo ra 10 phần mặt phẳng. Vậy số phần mặt phẳng bớt đi là 16 - 10 = 6 Vậy đáp án câu 2 là 211 - 6 = 205 phần mặt phẳng.
Mình xem đáp án thì không hiểu tại sao lại có công thức S20 = 1 + $\frac{20(20+1)}{2}$ Ai hiểu có thể giải thích giúp mình công thức này từ đâu mà có đc không.
Xin chân thành cảm ơn.
Xét $n$ đường thẳng phân biệt trong cùng 1 mặt phẳng, trong đó không có 2 đường nào song song, cũng không có 3 đường nào đồng quy.Ta gọi $n$ đường thẳng như thế là $n$ đường thẳng có vị trí tổng quát. Giả sử $n$ đường thẳng có vị trí tổng quát chia mặt phẳng thành $S_n$ phần mặt phẳng (tạm gọi là $S_n$ phần mặt phẳng ban đầu) Ta kẻ thêm 1 đường thẳng nữa, gọi là đường thẳng $d_{n+1}$ sao cho nó cùng với $n$ đường thẳng ban đầu tạo thành $n+1$ đường thẳng có vị trí tổng quát. Đường thẳng $d_{n+1}$ đó cắt $n$ đường thẳng ban đầu tại $n$ giao điểm.Gọi các giao điểm đó (theo thứ tự từ trái sang phải, hoặc từ trên xuống dưới) là $A_1,A_2,...A_n$ $n$ giao điểm đó chia $d_{n+1}$ thành $n-1$ đoạn và $2$ tia. Mỗi đoạn hoặc tia đó (chẳng hạn đoạn $A_1A_2$) sẽ chia 1 phần mặt phẳng ban đầu thành 2 phần mặt phẳng. Như vậy khi xuất hiện thêm đường thẳng $d_{n+1}$ thì số phần mặt phẳng tăng thêm $n+1$ phần mặt phẳng. Nếu chỉ có $1$ đường thẳng : $n=1$ thì $S_1=2=1+1$ Nếu xuất hiện $d_2$ : $n=2$ thì $S_2=1+(1+2)$ Nếu xuất hiện $d_3$ : $n=3$ thì $S_3=1+(1+2+3)$ .............................................. .............................................. Nếu có $k$ đường thẳng có vị trí tổng quát : $n=k$ thì $S_k=1+\left ( 1+2+3+...+k \right )=1+\frac{k(k+1)}{2}$ Kiến thức về hai mặt phẳng song song là kiến thức khó trong chương trình lớp 11 và không phải ai cũng có thể nắm chắc dạng bài này. Hãy cùng VUIHOC nắm chắc kiến thức này và đạt điểm cao trong bài kiểm tra với phần tóm tắt kiến thức chi tiết cùng bài tập luyện tập nhé!  Mục lục bài viết {{ section?.element?.title }} {{ item?.title }} Mục lục bài viết x {{section?.element?.title}} {{item?.title}} 1. Hai mặt phẳng song song là gì?Hai mặt phẳng song song lý thuyết như sau: Nếu (α) và (β) không có điểm chúng thì chúng được gọi là song song Kí hiệu: (α) // (β) hay (β) // (α).
2. Định lý về hai mặt phẳng song song
3. Tính chất của hai mặt phẳng song song
Trong mặt phẳng (β) cho trước có điểm A, có duy nhất một (α) // (β) Hệ quả: Trong mặt phẳng (α) có điểm A, các đường thẳng đi qua A song song (α) cùng nằm trên (β) đi qua A // (α)
Hai mặt phẳng (α) // (β). Một mặt phẳng bất kì cắt (α) và (β) lần lượt theo hai giao tuyến a và b thì a song song b 4. Các phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song songPhương pháp 1 Đây chính là cơ sở của phương pháp chứng minh hai mặt phẳng (P) và (Q) // nhau: – Bước 1: Hai đường thẳng a, b cắt nhau trong mặt phẳng (P) lần lượt song song với hai đường thẳng a’, b’ cắt nhau trong mặt phẳng (Q) – Bước 2: Theo điều kiện cần và đủ kết luận (P) // (Q). Phương pháp 2 – Bước 1: Trong mặt phẳng (P), tìm hai đường thẳng a, b cắt nhau trong mặt phẳng (P) – Bước 2: Chứng minh a // (Q) và b // (Q) – Bước 3: Suy ra (P) // (Q) PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT: ⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+ ⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích ⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô ⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi ⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề ⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập Đăng ký học thử miễn phí ngay!! 5. Các dạng bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song (có lời giải chi tiết)Bài tập 1: Hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành có O là tâm. Trung điểm SA, SD lần lượt là M, N a. Chứng minh rằng (OMN) song song (SBC) b. AB, ON lần lượt có trung điểm là P, Q. Chứng minh rằng PQ song song (SBC) Bài giải: a. Trong tam giác SAC, MO là đường trung bình, suy ra MO // AC Thêm vào đó, SD và BD có N và O lần lượt là trung điểm nên có NO là đường trung bình trong $\Delta SBD \Rightarrow NO//SB$ b. AB và AC có P và O lần lượt là trung điểm nên OP // AD // BC Suy ra OP song song SBC Thêm vào đó ON song song SB suy ra QC song song (SBC) Suy ra (OPQ) // (SBC) $\Rightarrow$ PQ // (SBC)
Bài tập 2: Hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Trung điểm của SA và CD lần lượt là M và N a. Chứng minh (OMN) song song (SBC) b. SD có trung điểm là I, trên (ABCD) có điểm J cách đều AB và CD. Chứng minh IJ // (SAB)
Bài giải: a. CD và AC có N và O là trung điểm nên NO là đường trung bình trong BCDNO//BC Trong tam giác SAC cũng có MO là đường trung bình nên MO // SC
b. BC và AD có P và Q là trung điểm thì PQ là đường thẳng cách đều AB và CD nên J thuộc PQ. IQ là đường trung bình $\Delta SAD$ nên IQ song song SA Có: PQ // (SAB) và IQ // (SAB) nên (IQP) // (SAB) Thêm vào đó : $IJ\subset (IQP) \Rightarrow IJ // (SAB)$
Bài tập 3: Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành. Trung điểm của BC, AC, SB và AD lần lượt là M, N, P, Q a. Chứng minh (MNP) // (SAC) b. Chứng minh PQ // (SCD) c. AM và BD có giao điểm I, J thuộc SA để AJ = 2JS Suy ra IJ // (SBC) a. Đường trung bình của $\Delta SAB$ là PN Nên PN // SA Lại có MP // SC nên (MNP) // (SAC) do hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau Theo định lý Talet có $\frac{MI}{IA}=\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}$ Lại có $\frac{SJ}{JA}=\frac{1}{2}$ suy ra $\frac{MI}{IA}=\frac{SJ}{JA}\Rightarrow IJ//SM$ Vì $SM \subset (SBC)$ nên IJ // (SBC)
Bài tập 4: Đáy hình bình tâm O của hình bình hành ABCD. SA và CD có M và N là trung điểm. a. Chứng minh (OMN) song song (SBC) b. ON và (SBC) có giao điểm là I c. $SI\cap BM$ tại G, trọng tâm $\Delta SCD$ là H. Chứng minh GH song song SAD d. AD có J là trung điểm, E MJ. Chứng minh OE song song (SCD) Bài giải: a. Tam giác SAC có OM là đường trung bình nên OM // SC Lại có tam giác BCD, ON là đường trung bình nên ON // BC Suy ra (OMN) // (SBC) b. Mặt phẳng (ABCD), I là giao AN và AB, khi đó I là giao AN và (SAB) c. Tam giác SAB và SCD có G và H lần lượt là trọng tâm suy ra $\frac{SG}{SI}=\frac{SH}{SN}=\frac{2}{3}$ $\Rightarrow GH//NI//AD \Rightarrow$GH// (SAD)$ d. Theo tính chất đường trung bình: Do O và J là trung điểm AC và AD nên OJ // CD Và O, M lần lượt là trung điểm AC và SA nên OM // SC Suy ra (OMJ) // (SCD) => OE // (SCD) Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi sớm THPT môn Toán từ bây giờ
Bài tập 5: Hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Trung điểm SB, SC có M, N là trung điểm. a. Giao tuyến (SAB) và (SCD) là gì b. Tìm điểm giao SD và (MNP) c. Thiết diện hình chóp (MNP) là hình gì d. J thuộc MN. Chứng minh OJ // (SAD) Bài giải: a) Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và // với AB và CD do AB // CD b) Kéo dài PM cắt AB tại Q trong mặt phẳng (SAB), kéo dài QN cắt SD tại R trong mặt phẳng (PMQR), R là giao điểm của SD và (MNP). c) Tứ giác MPRN là thiết diện hình chóp và mặt phẳng (MNP). Do 3 mặt phẳng (MNP); (ABC); (SAD) cắt nhau theo 3 giao tuyến là PR; MN; AD nên chúng // hoặc đồng quy. Lại có MN // AD suy ra MN // AD // PR nên MPRN là hình thang Lại có ON // SA suy ra (OMN) song song (SAD) Và $OJ\subset SA$ suy ra (OMN) // (SAD) Và $OJ\subset (OMN)$ nên OJ song song (SAD)
Bài tập 6: Hình chóp S.BCD đáy hình bình hành. DC, AB, SB, BG, BI có trung điểm a. Chứng minh (IJG) song song (SAD) b. Chứng minh PQ // (SAD) c. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG) là gì d. Giao tuyến của hai mặt phẳng (ACG) và (SAD) là gì
a. Hình bình hành ABCD có IJ là đường trung bình nên IJ song song AD (1) Tam giác SAB có JG là đường trung bình nên JG song song SA (2) Từ 1 và 2 có (IJG) song song (SAD) JB có E là trung điểm suy ra $\frac{BE}{BA}=\frac{BP}{BS}=\frac{1}{4}\Rightarrow EP//AS$ Lại có EQ là đường trung bình tam giác BIJ nên EQ // IJ suy ra EQ // AD Ta có: $\left\{\begin{matrix} c. (ABC) có O là giao của IJ và AC Có SA // JG suy ra giao tuyến của (SAC) và (IJG) song song SA Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (IJG) là đường thẳng qua O song song SA Có K là trung điểm SA thì GK song song AB theo tính chất đường trung bình Nên GK song song SC suy ra G, K, C, D thẳng hàng Vậy giao tuyến hai mặt phẳng (ACG) và (SAD) là AM
Bài tập 7: Hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O. Trung điểm của BC, CD và SC lần lượt là M, N, P a. Chứng minh (MNP) song song (SBD) b. Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD) c. Tìm giao tuyến (MNP) và (SAD) và suy ra giao điểm SA và (MNP) d. AP và SO là giao của I, AM và BD là giao của J. Chứng minh IJ song song MNP a. MN là đường trung bình tam giác BCD suy ra MN // BD NP là đường trung bình tam giác SCD nên NP // SD Nên (MNP) song song (SBD) b. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua S do AB // CD và song song với AB và CD c. E là giao của MN và AD Có NP // SD nên giao tuyến của (MNP) và (SAD) đi qua E song song SD Mặt phẳng (SAD) gọi F là giao tuyến giao SA Suy ra F là giao của SA và (MNP) d. J là giao AM và BO, J là giao SO và Ap nên I và J là trọng tâm tam giác SAC và ABC Suy ra $\frac{AI}{Ap}=\frac{AJ}{AM}=\frac{2}{3}\Rightarrow IJ//MP\Rightarrow IJ //(MNP)$
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT: ⭐ Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+ ⭐ Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích ⭐ Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô ⭐ Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi ⭐ Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề ⭐ Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
Trên đây toàn bộ kiến thức về hai mặt phẳng song song mà VUIHOC chia sẻ với các bạn học sinh. Hy vọng rằng, sau bài viết này, các bạn sẽ nắm chắc được kiến thức này và đạt điểm cao trong bài kiểm tra. Để có thêm các kiến thức khác thuộc chương trình Toán 11 thú vị khác, các em hãy truy cập Vuihoc.vn nhé! |
