Cuốn sách được biên soạn làm tài liệu ôn tập cho sinh viên các trường đại học kỹ thuật trên cả nước. Nội dung sách chia làm ba phần: Show 1. Tóm tắt lý thuyết cơ bản. 2. Các ví dụ tính cụ thể để minh họa và hiểu rõ thêm phần lý thuyết. 3. Giới thiệu, giải một số đề thi của Đại học Bách khoa Hà Nội từ năm 2000 đến nay và giới thiệu một số đề để học viên tự luyện. Ngoài ba phần trên, sách còn có phần phụ lục về Đại số tuyến tính, để giúp cho học viên một số ngành khác như kinh tế, xây dựng, mỏ địa chất, giao thông, thủy lợi,… có thêm tư liệu ôn tập; đồng thời cũng là tài liệu tham khảo của sinh viên khối chính quy tại các trường thuộc khối công nghệ. Đặc biệt đây cũng là tài liệu để sinh viên khối cao đẳng các trường nắm được kiến thức cơ bản của môn Toán học cao cấp, dễ dàng ôn tập tham dự kỳ thi chuyển hệ của các ngành. Tích phân đường loại một, tích phân đường loại hai, công thức Green, định lý bốn mệnh đề tương đương.
𝑓(𝑥) = {𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 1|𝑥| khi 𝑥 ≠ 0 𝜋 2 khi 𝑥 = 0 Bài 4. Xác định các giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑐 để hàm số khả vi trên R: 𝑓(𝑥) = { 𝑎 + 𝑏𝑥 2 khi |𝑥| < 1 1 |𝑥| khi |𝑥| ≥ 1 Hướng dẫn giải
𝑓+ ′ (1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1+ 𝑓(𝑥) − 𝑓(1)𝑥 − 1\= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1+1 𝑥 − 1 𝑥 − 1 \= 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1+1 − 𝑥𝑥(𝑥 − 1)\= −𝑓+ ′ (1) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1+𝑓(𝑥) − 𝑓(1)𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1+1 𝑥 − 1 𝑥 − 1 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→1+ 1 − 𝑥𝑥(𝑥 − 1) = −Vậy với 𝑏 = − 12 ; 𝑎 = 32 thì hàm số 𝑓(𝑥) khả vi tại 𝑥 = 1
𝑓− ′ (−1) = 𝑥→−1𝑙𝑖𝑚− 𝑓(𝑥) − 𝑓(−1)𝑥 + 1 = 𝑥→−1𝑙𝑖𝑚−− 1 𝑥 − 1𝑥 + 1 = 𝑥→−1𝑙𝑖𝑚−−(1 + 𝑥)𝑥(𝑥 + 1) = 1𝑓+ ′ (−1) = 𝑥→−1𝑙𝑖𝑚+𝑓(𝑥) − 𝑓(−1)𝑥 + 1\= 𝑥→−1𝑙𝑖𝑚+𝑎 + 𝑏𝑥 2 − 1𝑥 + 1\= 𝑥→−1𝑙𝑖𝑚+𝑏𝑥 2 − 𝑏𝑥 + 1\= −2𝑏Vậy với 𝑏 = − 12 ; 𝑎 = 32 thì hàm số 𝑓(𝑥) khả vi tại 𝑥 = −1. Bài 5. Xác định các giá trị 𝑎, 𝑏, 𝑐 để hàm số khả vi trên R: 𝑓(𝑥) = { 4𝑥 khi𝑥 ≤ 0 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 khi0 < 𝑥 < 1 3 − 2𝑥 khi𝑥 ≥ 1 Bài 6. Tìm khai triển Maclaurin của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥 2 + 3𝑥 + 2) Hướng dẫn giải
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛( 𝑥 2 + 3𝑥 + 2) = 𝑙𝑛(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) = 𝑙𝑛( 𝑥 + 1) + 𝑙𝑛( 𝑥 + 2)
𝑙𝑛( 1 + 𝑥) = 𝑥 − 𝑥 2 2 + 𝑥3 3 − 𝑥4 4 + ⋯ + (−1)𝑛−𝑥𝑛𝑛+ 𝑜(𝑥𝑛)
𝑙𝑛( 2 + 𝑥) = 𝑙𝑛 2 (1 + 𝑥 2 )\= 𝑙𝑛 2 + 𝑥 2 − (𝑥 2 ) 2 2 + ( 𝑥 2 ) 3 3 − ⋯ + (−1) 𝑛−1 (𝑥 2 ) 𝑛 𝑛 + 𝑜(𝑥 𝑛 \= 𝑙𝑛 2 + ∑(−1)𝑘−𝑥𝑘2 𝑘𝑘𝑛 𝑘= + 𝑜(𝑥𝑛)
𝑙𝑛( 𝑥 2 + 3𝑥 + 2) = 𝑙𝑛 2 + ∑(−1)𝑘−1 (1 + 12 𝑘) 𝑥𝑘 𝑘 + 𝑜(𝑥𝑛)𝑛 𝑘= Bài 7. Tìm khai triển Maclaurin của hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛 3 + 𝑥 2 − 𝑥 Bài 8. Tìm khai triển Maclaurin của hàm số 𝑦 = 1√1 + 𝑥
1.2. Tích phân xác định Bài 1. Tính 𝐼 = ∫ √1 − cos 2𝑥 𝑑𝑥 2𝜋 0 Hướng dẫn giải
tại điểm 𝐷 ( 32 ; 0).
𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑆𝐴𝐵𝐷 + 𝑆𝐵𝐶𝐷
𝑆𝐴𝐵𝐷 = ∫[𝑥 − 1 − (−𝑥 2 + 3𝑥 − 2)]𝑑𝑥 =3 2 1 ∫(𝑥 2 − 2𝑥 + 3)𝑑𝑥3 2 1 \= (𝑥 3 3 − 𝑥 2 + 3𝑥)|1 3 2 = 79 24
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 𝑦 = 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 và hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại hai tiếp điểm có hoành độ lần lượt là 1 và 4. Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 𝑦 = |𝑥 2 − 1|, 𝑦 = |𝑥| + 5. Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số 𝑦 = 4 − |𝑥| và parabal 𝑦 = 12 𝑥 2. 1.2. Tích phân suy rộng Bài 1. Xét sự hội tụ và tính tích phân suy rộng sau 𝐼 = ∫𝑑𝑥𝑥 2 + 4𝑥 + 9+∞ −∞ Hướng dẫn giải
𝐼 = ∫ 𝑑𝑥𝑥 2 + 4𝑥 + 9+∞ −∞ = ∫ 𝑑𝑥𝑥 2 + 4𝑥 + 9− −∞ + ∫𝑑𝑥𝑥 2 + 4𝑥 + 91 − + ∫𝑑𝑥𝑥 2 + 4𝑥 + 9+∞ 1 = 𝐼 1 + 𝐼 2 + 𝐼 3
(−∞, 1]. Có 𝑥→+∞lim 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 1
∫−∞ −1 𝑓(𝑥)𝑑𝑥hội tụ hay 𝐼 1 hội tụ.
𝐼 = ∫ 𝑑𝑥𝑥 2 + 4𝑥 + 9+∞ −∞ \= ∫𝑑𝑥(𝑥 + 2) 2 + (√5) 2+∞ −∞ \=1√𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 2√|−∞ +∞ \= 1√(𝜋 2 + 𝜋 2 ) = 𝜋√Bài 2. Xét sự hội tụ và tính tích phân suy rộng:
\= ∫ 1 1 √1−𝑥𝑑𝑥2 hội tụ (𝛼 = 12 < 1). Do đó, ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 11 2 hội tụ hay 𝐼 2 hội tụ.
𝐼 = ∫𝑑𝑥√𝑥(1 − 𝑥)1 0 \= ∫ 𝑑𝑥√ 14 − (𝑥 − 12 )2 = ∫2𝑑𝑥√1 − (2𝑥 − 1) 2\=1 0 𝑎𝑟𝑐 sin(2𝑥 − 1)| 0 1 1 0 \= 𝜋 2 + 𝜋 2 = 𝜋 Bài 6. Xét sự hội tụ và tính tích phân 𝐼 = ∫𝑑𝑥√1 − 𝑥 21 − Bài 7. Xét sự hội tụ và tính tích phân 𝐼 = ∫𝑥 4 𝑑𝑥√1 − 𝑥 21 0
Bài 1. Tính 𝜕𝑢𝜕𝑙⃗ và 𝑔𝑟𝑎𝑑⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢 tại 𝑀 0 = (1,2,1) biết hàm 𝑢 = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 23 𝑧 3 và 𝑙⃗ = 𝑀 ⃗⃗⃗⃗ 0 ⃗⃗⃗𝑀⃗⃗⃗⃗ 1 ⃗ , 𝑀 1 = (2,0,3) Hướng dẫn giải
𝜕𝑢 𝜕𝑥 = 2𝑥; 𝜕𝑢𝜕𝑦 = 2𝑦; 𝜕𝑢𝜕𝑧 = −2𝑧 2
𝑙⃗ = 𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗ 0 ⃗⃗𝑀⃗⃗⃗⃗ 1 ⃗ = (1; −2; 2) ⇒ 𝑐𝑜𝑠 𝛼 = 1 3 ; 𝑐𝑜𝑠 𝛽 = − 2 3 ; 𝑐𝑜𝑠 𝛾 = 2 3
𝜕𝑢 𝜕𝑥 (𝑀 0 ) = 2; 𝜕𝑢𝜕𝑦 (𝑀 0 ) = 4; 𝜕𝑢𝜕𝑧 (𝑀 0 ) = −2 ⇒ 𝑔𝑟𝑎𝑑 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑢(𝑀 0 ) = (2; 4; −2)
𝜕𝑢 𝜕𝑙⃗ (𝑀 0 ) = 23− 83− 43\= − 103Bài 2 hàm số ẩn 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) xác định bởi 𝑥 3 + 2𝑦 3 + 𝑧 3 − 3𝑥𝑦𝑧 − 2𝑦 + 3 = 0. Tìm 𝑧𝑥 ′ , 𝑧𝑦 ′ . Hướng dẫn giải
𝑧𝑥 ′ = − 𝐹𝑥 ′ 𝐹𝑧′ = 3𝑦𝑧 − 3𝑥 2 3𝑧 2 − 3𝑥𝑦 = 𝑦𝑧 − 𝑥 2 𝑧 2 − 𝑥𝑦 𝑧𝑦 ′ = − 𝐹𝑦′ 𝐹𝑧′ = 6𝑦 2 − 3𝑥𝑧 − 23𝑥𝑦 − 3𝑧 2Bài 3. Cho hàm số 𝑧 = 𝑒𝑥+𝑦 𝑠𝑖𝑛( 𝑥 − 𝑦) tính 𝑑𝑧(0, 0) và 𝐴 = 𝑧. 𝑧𝑥𝑥 ′′ − (𝑧𝑥 ′ ) 2 − 𝑧. 𝑧𝑦𝑦 ′′ + (𝑧𝑦 ′ ) 2 Bài 4 hàm số 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥. 𝑦. 𝑙𝑛( 𝑥 + 𝑦). Tính 𝜕 2 𝑢 𝜕𝑥 2 , 𝜕 2 𝑢𝜕𝑦 2 , 𝜕2 𝑢𝜕𝑥𝜕𝑦Bài 5. Cho hàm số 𝑧 = 𝑥 2 2𝑦 + 𝑥 2 + 1 𝑥 − 1 𝑦. Chứng minh rằng 𝑥 2 𝑧𝑥 ′ + 𝑦 2 𝑧𝑦 ′ = 𝑥 3𝑦 Bài 6ét tính liên tục tại điểm (0;0) của hàm số theo a:
Bài 3ìm cực trị của hàm 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 𝑦 2 − 4𝑥𝑦 + 𝑥 2 − 4𝑥 Bài 4. Tìm cực trị của hàm 𝑧(𝑥, 𝑦) = 4𝑥𝑦 + 1 𝑥 + 1 𝑦 Bài 5. Tìm cực trị của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦) = 8𝑥 − 𝑥√𝑦 − 1 + 𝑥 3 + 12 𝑦 − 12𝑥 2
Bài 1. Tính tích phân 𝐼 = ∫∫ 𝑥𝐷 2 (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦với D là miền giới hạn bởi đường tròn 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2 nằm trong góc phần tư thứ nhất. Hướng dẫn giải
\= 𝑟6 6 | 0 √ . (𝜑 2 + 𝑠𝑖𝑛 2 𝜑 4 )| 0 𝜋 2 = 𝜋 3 Bài 2. Tính tích phân ∫∫∫ 𝑥𝑦𝑉 2 𝑑𝑉 với V là miền giới hạn bởi mặt paraboloid elliptic 𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 và mặt phẳng 𝑧 = 4. Hướng dẫn giải
{ 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜑𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑𝑧 = 𝑧; 𝐽(𝑟, 𝜑, 𝑧) = 𝑟
𝐼 = ∫∫∫ 𝑟 4. 𝑐𝑜𝑠 𝜑. 𝑠𝑖𝑛 2 𝜑 𝑑𝑟𝑑𝜑𝑑𝑧 𝑉′ \= ∫ 𝑟 4 𝑑𝑟 2 0 ∫ 𝑑𝑧2 𝑟 2 × (𝑠𝑖𝑛3 𝜑3 )| 02𝜋 = 0 Bài 3. Tính tích phân ∫∫∫ 𝑧(𝑦 + 2)𝑉 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 với V là miền giới hạn bởi mặt trụ 𝑥 2 + 𝑦 2 = 4 và các mặt phẳng 𝑧 = 0, 𝑧 = 2. Bài 4. Tính tích phân 2 ( 2 2 ) D I = x x +y dxdy với D là miền giới hạn bởi đườngtrònx 2 + y 2 = 2 nằm trong góc phần tư thứ nhất. Bài 5. Tính tích phân ( 2 ) D I = x − y dxdy với D là miền giới hạn bởi các đườngy = x 3 , x + y= 2 và trục tung. Bài 6ính tích phân của hàm số 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 1 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧trên miền giới hạn bởi mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 và các mặt phẳng tọa độ, nằm trong góc phần tám thứ nhất. Bài 7ính thể tích của miền V giới hạn bởi 1 − 2𝑧 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 ≤ 1. Hướng dẫn giải
1 − √2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 ≤ 𝑧 ≤ √1 − 𝑥 2 − 𝑦 2
Bài 2ính tích phân 𝐼 = ∮ (𝑥𝐿 2 + 𝑥𝑦 2 )𝑑𝑥 + (3𝑦 + 2𝑥 2 𝑦)𝑑𝑦trong đó L là biên của miền giới hạn bởi các đường 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑦 = 2 − 𝑥. Hướng dẫn giải
2 + 𝑥𝑦 2𝑄(𝑥, 𝑦) = 3𝑦 + 2𝑥 2 𝑦 ⇒ {𝑃𝑦 ′ = 2𝑥𝑦𝑄𝑥 ′ = 4𝑥𝑦
𝐼 = ∫ 2𝑥𝑑𝑥 2 0 ∫ 𝑦𝑑𝑦2−𝑥 0 \= 4 3Bài 2ính 𝐼 = ∫𝑂𝐴𝐵 (𝑐𝑜𝑠 𝑦 − 1)𝑒 𝑥𝑑𝑥 + (2𝑦 − 𝑠𝑖𝑛 𝑦)𝑒𝑥𝑑𝑦 trong đó OAB là đường gấp khúc O(0,0), A(1,1), B(2,0). Bài 3. Tính tích phân 𝐼 = ∮ (2𝑥𝑦 + 𝑥𝐿 2 )𝑑𝑥 + (3𝑦 2 + 2𝑥𝑦)𝑑𝑦, trong đó L là biên của miền giới hạn bởi 𝑦 = 0, 𝑦 = 2𝑥, 𝑥 = 2. Bài 4ính tích phân 𝐼 = ∫𝐶 𝑥−𝑦𝑑𝑠trong đó C là đoạn thẳng 𝑦 = 𝑥 2 − 2 nằm giữa các điểm A(0,-2) và B(4,0). Hướng dẫn giải
𝐼 = ∫ 𝑑𝑠𝐶𝑥 − 𝑦 = ∫√2 (𝑥 2 + 2)𝑑𝑥4 0
Bài 5ính độ dài cung {𝑥 = 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 𝑡𝑦 = 𝑠𝑖𝑛 𝑡 với 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 Bài 6. Tính tích phân𝐼 = ∫ √𝑥𝐶 2 + 𝑦 2 𝑑𝑠 trong đó C là đường xoắn hình nón 𝑥 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 𝑦 = 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 , 𝑧 = 𝑡 với 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡 0.
Bài 1. Tính tích phân ∫∫ 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 − 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧𝑆 với (S) là phía ngoài mặt cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4. Hướng dẫn giải
Bài 2. Tính tích phân ∫∫ 𝑥𝑆 2 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝑦 2 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 2𝑦𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦với (S) là nửa mặt cầu 𝑧 = √4 − 𝑥 2 − 𝑦 2 , hướng của (S) là hướng lên trên. Bài 3. Tính tích phân ∫∫ 2𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧𝑆 với (S) là phía ngoài mặt cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 4. Bài 4ính tích phân 𝐼 = ∫∫ 𝑙𝑛 𝑧 dS𝑆 trong đó S là mặt cầu xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1, 12 ≤ 𝑧 ≤ 1 Hướng dẫn giải
phẳng Oxy là miền D giới hạn bởi đường tròn 𝑥 2 + 𝑦 2 = 34. + 𝑑𝑆 = √1 + 𝑧𝑥 ′ 2 + 𝑧𝑦 ′ 2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = √1−𝑥 12 −𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦+ 𝐼 = ∫∫ 𝑙𝑛 √1−𝑥2 −𝑦 2 𝐷 √1−𝑥 2 −𝑦 2 𝑑𝑥𝑑𝑦
2 √1−𝑟 2 𝑟𝑑𝑟 × √3/ 0 ∫ 𝑑𝜑 2𝜋 0 = 𝜋(𝑙𝑛 2 − 1) Bài 5ính tích phân 𝐼 = ∫∫ 𝑥𝑆 2 𝑦 2 𝑧𝑑𝑆trong đó S là mặt nón 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑧 2 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 1. Bài 6ính diện tích của phần mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥𝑦 với hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là hình tròn xác định bởi 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 1.
Bài 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑(𝑥 − 2)𝑛𝑛 2 (𝑛 2 + 1)+∞ 𝑛= Hướng dẫn giải
𝑛 𝑛 2 (𝑛 2 +1)
trong (-1;1) và phân kì ngoài đoạn [-1;1].
Chuỗi đã cho trở thành ∑ 1𝑛 2 (𝑛 2 + 1)+∞ 𝑛= có số hạng tổng quát 𝑢𝑛 \=1𝑛 2 (𝑛 2 + 1)Ta thấy lim (𝑢 𝑣𝑛𝑛 ) = 1 với 𝑣𝑛 = 𝑛 14 mà chuỗi ∑ ∞𝑛=1 𝑣𝑛hội tụ nên chuỗi ∑ ∞𝑛=1𝑢𝑛 hội tụ theo dấu hiệu so sánh.
𝑛 𝑛 2 (𝑛 2 +1) ∞ 𝑛=1 là chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn Leibniz. + Vậy miền hội tụ của (1) là [-1;1] miền hội của chuỗi đã cho là [1;3]Bài 2. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (𝑥 + 1) 𝑛 𝑛. √𝑛 +∞ 𝑛= Bài 3. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (𝑥 − 2) 𝑛 √1 + 𝑛 2 +∞ 𝑛= Bài 4. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa ∑ (𝑥 − 2)3𝑛 𝑛√𝑛 + 1 +∞ 𝑛= Bài 5ìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừavà tính tổng của chuỗi tại 𝑥 = 0. ∑ (𝑥 + 1)𝑛 𝑛(𝑛 + 2) +∞ 𝑛=
Bài 1ải phương trình vi phân cấp 1 𝑥𝑦𝑑𝑥 − (1 + 𝑦 2 )(1 + 𝑥 2 )𝑑𝑦 = 0 Hướng dẫn giải
𝑥 1 + 𝑥 2 𝑑𝑥 = 1 + 𝑦 2 𝑦 𝑑𝑦 ⇔ 1 2. 11 + 𝑥 2 𝑑(1 + 𝑥2 ) = (𝑦 + 𝑦) 𝑑𝑦⇔ 1 2 𝑙𝑛(1 + 𝑥 2 ) = 𝑙𝑛|𝑦| + 𝑦2 2 + 𝐶 Ta thu được nghiệm dưới dạng tích phân tổng quát. +𝑦 = 0 thay vào phương trình thấy thỏa mãn. Vậy 𝑦 = 0là nghiệm kì dị. Bài 2. Tìm nghiệm của phương trình vi phân: (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 = 0 thỏa mãn 𝑦(1) = 3 Bài 3. Tìm nghiệm của phương trình: (𝑦 + 𝑥𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 thỏa mãn 𝑦(3) = √ Bài 4. Giải phương trình (1 + 𝑥 2 )𝑒𝑦𝑑𝑥 + 𝑥 3 (1 + 𝑒2𝑦)𝑑𝑦 = 0 Bài 5. Giải phương trình 𝑒𝑥(2 + 2𝑥 − 𝑦 2 )𝑑𝑥 − 2𝑦𝑒𝑥𝑑𝑦 = 0 Bài 6. Tìm nghiệm riêng của phương trình 𝑥 2 𝑦′ = 𝑦(𝑥 + 𝑦) thỏa mãn điều kiện 𝑦(−2) = 4. |
