§3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. KIẾN THỨC CĂN BẢN 1. Công thức cộng Công thức cộng đối với sin và cosin: cos(a - P) = cosa.cosp + sina.sinp cos(a + P) = cosa.cosp - sina.sinp sin(a - P) = sina.cosp - cosp.sina sin(a + p) - sina.cosp + cosp.sina Công thức cộng đối với tang: tana-tanp . , , tana + tanp tan(a - P) = ? ' „ ; tan(a + P) - . Công thức nhân đôi cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a -1=1- 2sin2a; sin2a = 2sina.cosa 2 tan a 1 - tan2 a G/ẩ/S7" Oạ/số 70- 101 Công thức biến đổi tích thành tống và biến đổi tổng thành tích Công thức biến đổi tích thành tổng: cosacosp = -|[cos(a + p) + cos(a-P)] sinasinp = -^[cos(a + p)-cos(a ~P)J sinacosp = -^-[sin(a + p) + sin(a-P)] Công thức biến đổi tổng thành tích: x + y___x-y cos X + cosy = 2 cos——COS ■ - 2 2 _ . x + y . x-y cosx -cosy = -2sin———sin——- 2 2 „ .x + y __ x-y sinx + siny = 2 sin——-cos—7— 2 2 „ x+y . x-y sinx - siny = 2 COS —-sin——- 2 2 B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Tính: a) COS2250, sin240°, cot(-15°), tan75°; b) sinỊ^-.cosí --Ĩ-Ỵtanl . 12 Ị 12J U2 J ZyZziZ a) COS 225° = cos(180° + 45°) = - COS45° = -77- 2 /0 sin240° = sin(180° + 60°) =-sin60° = -77 2 1+2/3 - „ cot(-15°) = -cot 15° = - - tan 45°. tan 30° = 1 + tan 45°. tan 3Q° = 3 = 3 + 73 tan(45c-30°) tan 45° - tan 30° 7ặ ! 73-3 3 tan 75° = tan(45° + 30°) = tan 45° + tan 30° 73 . _ 7| + 1 1--L ^-1 ’73 tan = tani 7T + 12 I — ! 12; tan 7 - tan — 3 4 4 7Ĩ 7T ' 1 +tan 7 tan 7 3 4 4^4 = 2-73 73 + 1 Tính: a) COS a + 4 , biết sinơ = 4= và 0 < a < 4 : I 3J 75 2 tani a - 4 Lbiet cosa = -4 và 4 < a < 7t; I 4j 3 2 cos(a + b), sin(a - b), biết sina 4' 0° <a < 90°và sinb = 90° < b< 180° 5 3 ốịlảl . n „ „ „ 71 - .4 /2 Tẽ a) Vi 0 < a < 7 nen cosa = VI - sin a = , — = 2 \3 3 o , 71A 71 71 suy ra: COS a + — = cosa.cos — - sina.sin — cos2 a 1 . 71 1-272 1 + tan a. tan 7 4 c) 0° cosa > 0, 90° cosb < 0. __ /1 _ 4l6_3 r^ Ts 25 5 V 9 3 3. Rút gọn các biểu thức a) sin(a-ì b) +sin<2 - a)sin(-b); b) CQSj^ + a ị COS 4 -aì + 4sin2a; _ 4Ĩ 7_ J_ ll - 3 ‘2 73 2 21 3 -1 b) 7 tana tana = - 2 1 = -272 /7 1 1 4 -272-1 9 + 472 tan a - 7 = 2- = -~r=- = — I 4 J 1-272 7 cos(a + b) = cos a COS b - sin a sin b = sin(a - b) = sin a COS b -■ COS a sin b = 375 +8 15 6 + 475 15 5 - - a +—i 4 4 2 c) cos^-ajsinj I t) sinja b). a) sin(a + b) + sin^ - a jsin(-b) = sinacosb + sinbcosa - cosasinb = sinacosb sin2 a b) COSL^7 +a icosi — - a ì + Ậsi u ) u J 2 71 7t = COS — COS a - sin — sin a COS — COS a + sin — sin a + — sin a 72, 72 , . x 1.9, = —r- (cos a - sin a) —~ (cos a + sin a) + -7- sin2 a 2 2 2 1/2 • 2 \ 1*2 1 2 = — (cos a - sin a)+ — sin a = — COS a 2 2 2 c) COS -a) sin - sin(a - b) = sinacosb - sinacosb + sinbcosa = cosasinb 4. Chứng minh các đẳng thức a) cos(a—= co*aco*b +1. cos(a + b) cota.cotb-1 • sin(a + b)sin(a - b) = sin2a - sin2b = cos2b - cos2a; cos(a + b)cos(a - b) = cos2a - sin2b = cos2b - sin2a. a) cos(a - b) _ cos a cos b + sin a sin b _ sin a sin b (cot a cot b +1) _ cotacotb + 1 cos(a + b) cos a cos b - sin a sin b sin a sin b (cọt a cot b -1) cotacotb-1 sin(a + b)sin(a - b) = (sinacosb + cosasinb)(sinacosb - cosasinb) = sin2 acos2b - cos2asin2b = sin2 a(l - sin2b) - sin2b(l - sin2a) = sin2a - sin2asin2b - sin2b + sin2asin2b = sin2a - sin2b = (1 - cos2a) - (1 - cos2b) = cos2b - cos2a. cos(a + b)cos(a - b) = (cosacosb - sinasinb)(cosacosb + sinasinb) = cos2acos2b - sin2asin2b = cos2a(l - sin2b) - (1 - cos2a)sin2b = cos2a — sin2b - 1 - sin2a - (1 - cos2b) = cos2b - sin2a 5. Tính Sin2a, cos2a, tan2a, biết .a) sina = -0,6 và n<a<y; , 1 . 3jt c) sina + COSa = và < a < Jt. b) 5 , 71 cosa = --^- và ^<a<7t; 13 2 sin a + cosa = a) Trường hợp sin a + cosa = 4 ta có hệ 3 sina.cosa = - 3 £ 18 Ốjíải 71 cosa cosa = - 7l - sin2 a = -0,8 Do đó sin2a = 2sinacosa = 2(-0,6).(-0,8) = 0,96 cos2a = 1 - 2sin2a = 1 - 2(-0,6)2 = 0,28 . _ sin2a 0,96 „ tan2a = — _ = K 3,43 cos 2a 0,28 sina > 0 => sina = Vl - COS2 a = — 13 Do đó: sin2a = 2sinacosa = 2. f-rrl.-TT = 13J 13 169 2 cos2a = 2cos2a - 1 = 2. f - -1= - ỊịẸ 13 J 169 sin 2a 120 cos 2a 119 9 1 1 3 (sina + cosa)2 = 4 => 1 + sin2a = — => sin2a = - — 4 4 4 —-£ cos2a > 0 4 2 o_ r. .2 n- V7.x__.n_ sin2a 3 => cos2a = 71 - sin 2a = ——; tan2a = ——— = 4 cos 2a 77 6. Cho sin2a = -Ệ và 'ị < a < Jt. Tính sina và cosa. 9 2 ốịiảl 71 sin a > 0, COS a < 0 Ta CÓ sin2a + cos2a = 1 <M I co sin 2a = 2 sin acosa = - f- => (sin a + cosa)2 = 4 => sin a + cosa = ± suy ra sina và cosa là nghiệm của phương trình x-4x--£ = 0. 18 XA n . n _ 2 + _ 2 - 7ĨĨ Vì sina > 0, cosa < 0 nên sin a = —-7— , cosa = 7. b) Trường hợ'p sin a + cosa = - T ta có hệ -i 3 sill a + cosa = -— 3 sina.cosa = 18 suy ra sina và cosa là nghiệm của phương trinh: x2+^x--|- = 0 3 18 ™ n n VĨ4 - 2 2 + ỰĨ4 Vì sina > 0 và cosa < 0 nên sin a = —, cosa = -——7— . 2+VÌ4 2-ỰĨ4 , Vậy: sin a = i, cosa = 7— hoặc 6 6 yĩĩ-2 xĨ4+2 sin a = —- , cosa = . 6 6 7. Biến đổi thành tích các biểu thức sau a) 1 - sinx; b) 1 + sinx; c) 1 + 2cosx; d) 1 - 2sinx. Ốịiải 7t 71 77 + X — - X Z _ \ z _ \ 7Ĩ . 9 9 I 7Ĩ X I I 71 X 1 a) 1 - sin X = sin 77 - sinx = 2cos —sin — = 2cos — + _ sin — - - 2 2 2 u 2) u 2) 71 77 + X TỊ ọ b) 1 + sinx = sin 77 + sinx = 2sin-A_—005^==— 2 22 = 2sin( 4 + 1 I COS I u 2) u 2 c) 1 + 2cosx = 2| 1 + cosx j = 21 cos 4 + COS xi = 4 COS ị 4 + 4 I COSf4 -4 I • 12 J I 3 J V6 2; \6 2; d) 1 - 2 sin X = 2fl - sin X Ị = 2Ỉ'. sin ~ - sin xi = 4cosf 44 + 4 I sin f “4 - — Ì • <2 J t 6 J <12 2J I12 2) 8. Rút gọn biểu thức A : sỉnx + sin3x + sin5x cosx + cos3x +cosõx ố^iải (sill X + sinõx) + sin3x 2sin3xcos2x + sin3x sin3x A = — — = 7——7- —- = = tan 3x (cosx + cosõx) + cos3x 2cos3xcos2x + cos3x cos3x c. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. a) Tính sin2a biết sina -- cosa = 1; 5 , . ... . , cosa + sina cosa-sina b) Chúng minh: —-7 —= 2tan2a. cosa-sina cosa + sina 2. Tính giá trị các biẽu thức sau: a) A = cos20°cos400cos600cos80°; , ' „ 71 4n 5ti b) B = COS -t cos --- cos —- ; 7 7 7 c) c = sin60sin42°sin660sin78° 1 iế: a) A = 16 b) B = c) c = 16 Show
Đối với học sinh, việc học và nhớ Bảng công thức lượng giác là yếu tố quan trọng khi giải toán. Dưới đây là hệ thống lại Bảng giá trị lượng giác cơ bản và nâng cao cùng với cách học thuộc công thức lượng giác bằng thơ, thần chú. 5 công thức lượng giác gồm các công thức cơ bản và các công thức biến đổi nâng cao, công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản. Công thức 1: sin2a + cos2a = 1. Đây là công thức được áp dụng cho nhiều dạng toán như tích phân, chứng minh đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất hay giải hệ phương trình lượng giác. Các bạn có thể tùy biến công thức trên khi chuyển vế các giá trị để áp dụng với nhiều bài tập khác nhau. Công thức 2: tga.cotga = 1 Công thức này thể lạ với nhiều bạn nhưng nó được áp dụng rất nhiều trong các bài tập nâng cao, hãy tìm cách rút gọn hay chuyển về dạng trên để tối ưu hóa giá trị hiệu quả nhất. Công thức 3: sina/cosa = tga và cosa/sina = cotga. 2 công thức tuy dễ nhớ nhưng cũng rất dễ nhầm, vì vậy nên ghi nhớ thật kỹ để áp dụng và tìm ra kết quả đúng nhất. Công thức 4: sin2a = 2sinacosa Mình đã nhiều lần quên áp dụng công thức này để phân tích giá trị sin2a thành 2 lần sin với cos. Và dùng nhiều cách để rút gọn một phương trình nhưng không thành. Trong các bài tập lượng giác về tích phân thì công thức này rất thường xuyên xuất hiện. Công thức 5: cos2a = cos2a – sin2a = 1 – 2sin2a = 2cos2a – 1 Nên nhớ cos2a – sin2a khác với sin2a – cos2a nha, nhiều bạn đã lầm tường điều này và hối hận cũng đã muộn. Công thức này dùng để phân tích cos2a thành nhiều giá trị khác nhau, tùy từng bài tập mà bạn áp dụng 1 trong 3 công thức bên vế phải. Trên đây là 5 công thức lượng giác cơ bản, hay được sử dụng nhất để giải quyết những bài tập liên quan đến kiến thức lượng giác.
Duới đây là các thông tin và kiến thức về chủ đề công thức nhân 4 hay nhất do chính tay đội ngũ interconex.edu.vn biên soạn và tổng hợp cùng với các chủ đề liên quan khác như: Công thức cos4a, Công thức nhân 3, Chứng minh công thức nhân 4, Công thức nhân 4 lượng giác, Công thức nhân ba lượng giác, Công thức nhân 3 chứng minh, Công thức nhân 2, Công thức nhân đôi. Hình ảnh cho từ khóa: công thức nhân 4 Các bài viết hay phổ biến nhất về công thức nhân 4  1. Công thức lượng giác đầy đủ nhất cho lớp 9, lớp 10, lớp 11
2. Bảng công thức lượng giác đầy đủ,chi tiết,dễ hiểu
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng Sin cos nửa… Trích nguồn: … 3. Công thức nhân ba, công thức… – Diễn đàn Toán học Việt Nam
4. Các Công Thức Lượng Giác lớp 9, lớp 10, lớp 11 – Sin Cos Tan
5. Bảng công thức lượng giác lớp 9, lớp 10, lớp 11 chính xác …
6. Cách học thuộc nhanh Bảng công thức lượng giác bằng thơ …
7. Bảng Các Công Thức Lượng Giác Lớp 9, 10, lớp 11 Đầy Đủ
8. Giải toán 10 Bài 3. Công thức lượng giác
9. I. Công thức cộng lượng giác – KhoiA.Vn
10. Công thức lượng giác – Toán học lớp 10 – Baitap123
Các video hướng dẫn về công thức nhân 4 |
