Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng

Trong bài viết này tipvl sẽ hướng dẫn bạn cách tính khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng:

1. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

Nếu biết phương trình đường thẳng d: ax + by + c = 0 và tọa độ điểm A (x0; y0) thì khoảng cách từ điểm A tới đường thẳng d được xác định theo công thức

$d\left( {M,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

Ví dụ: Trong hệ trục tọa độ Oxy, bạn hãy tính khoảng cách từ điểm M tới đường thẳng d, biết:

a) M( 3; 4) và x + y – 6 = 0

b) M ( – 4; 2) và 2x + y + 1 = 0

c) M( 2; 7) và 5x – 6x + 11 = 0

Lời giải

Khi đã biết tọa độ và phương trình đường thẳng, ta áp dụng công thức ở trên: $d\left( {M,d} \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

a) $d\left( {M,d} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.4 – 6} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

b) $d\left( {M,d} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { – 4} \right) + 1.2 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 $

c) $d\left( {M,d} \right) = \frac{{\left| {5.2 + \left( { – 6} \right).7 + 11} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { – 6} \right)}^2}} }} \approx 2,69$

2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong không gian Oxyz

Trong không gian tọa độ Oxyz, để tìm khoảng cách từ 1 điểm M đến đường thẳng d cho trước ta làm như sau:

Bước 1: Lấy một điểm N

Bước 2: Lập vecto $\overrightarrow {MN} $

Bước 3: Xác định vecto chỉ phương của đường thẳng $\overrightarrow {u} $

Bước 4: Áp dụng công thức tính khoảng cách $d\left( {M,d} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AM} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$

Ví dụ: Trong không gian tọa độ Oxyz, đường thẳng Δ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x = – 2t\\ y = 2 – t\\ z = 0,5t \end{array} \right.$ với t ∈ R.

Hãy tính khoảng cách từ điểm N ( 0; 0; 0) tới đường thẳng Δ

Lời giải

Ta thấy điểm N( 0; 2; 0) là điểm thược đường thẳng Δ

Khi đó $\overrightarrow {MN} $ = ( 0; 2; 0)

Từ phương trình tham số của Δ, ta suy ra vecto chỉ phương của nó là $\overrightarrow {u} $ = ( – 2; – 1; 0,5)

Ta có: ${\left[ {\vec u,\overrightarrow {AM} } \right]}$ = ( 1; 0; – 4)

Dựa vào công thức tính khoảng cách ta có $d\left( {M,d} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow u ,\overrightarrow {AM} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}$ = $\frac{{\left| {{1^2} + {0^2} + {4^2}} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { – 2} \right)}^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2} + {{\left( {0,5} \right)}^2}} }}$ = 7,419

Mong rằng những chia sẻ chi tiết ở trên đã phần nào giúp bạn biết cách tính khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng.