Ma trận nghịch đảo là một thuật ngữ phổ biến trong đại số tuyến tính. Phép nghịch đảo thường được dùng để đơn giản hóa các phép toán ma trận phức tạp. Vậy phép nghịch đảo trong đại số tuyến tình sẽ như thế nào? Bài viết này sẽ cung cấp cụ thể ma trận nghịch đảo là gì, cách tính ma trận nghịch đảo. Đừng bỏ qua! Ma trận nghịch đảo là gì?Khái niệm ma trận nghịch đảo gắn liền với thuật ngữ về ma trận đơn vị, ma trận vuông và ma trận khả đảo. Vì vậy, ta cần hiểu rõ về các khái niệm này trước tiên. Ma trận đơn vị, ma trận vuông– Ma trận vuông là ma trận có cùng số hàng và số cột (số đơn vị ở hàng bằng số đơn vị ở cột). Ví dụ: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (số phần tử ở mỗi hàng và số phần tử ở mỗi cột đều bằng 3). Một ma trận n x n được còn thường được gọi là ma trận vuông bậc n. Hai ma trận vuông có cùng một bậc bất kỳ nào cũng có thể được cộng và nhân với nhau. – Ma trận đơn vị cấp n là một ma trận vuông cấp n, trong đó, tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính bằng 1, các phần từ nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. Ví dụ: ta có ma trận đơn vị cấp 3 (I3) như sau: 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Trong đại số tuyến tính, một định thức con của một ma trận A là định thức của một ma trận vuông nhỏ hơn tạo thành từ các phần tử nằm trên giao của một số hàng và cột của A.[1] Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì định thức con cấp n-1 ứng với hàng i và cột j là định thức của ma trận con được hình thành bằng cách xóa hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A.[1] Giá trị của nó thường được ký hiệu là Mi,j. (Lưu ý rằng số hạng tại vị trí (i, j) cũng là một định thức con cấp 1 của A).
Giá trị
(
−
1
)
i
+
j
{\displaystyle (-1)^{i+j}}
Mi,j bằng với phần bù đại số của số hạng (i, j) trong ma trận A[1].
Để minh họa các định nghĩa này, hãy xem xét ma trận 3x3 sau đây,
Ta có M 2 , 3 = det [ 1 4 ◻ ◻ ◻ ◻ − 1 9 ◻ ] = det [ 1 4 − 1 9 ] = ( 9 − ( − 4 ) ) = 13 {\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13}Vì vậy, phần bù đại số của số hạng tại vị trí (2,3) là C 2 , 3 = ( − 1 ) 2 + 3 ( M 2 , 3 ) = − 13. {\displaystyle \ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}Các định thức con cấp n-1 của một ma trận vuông cấp n cũng được gọi là các định thức con đầu. Có tất cả n 2 {\displaystyle n^{2}} định thức con đầu, và n 2 {\displaystyle n^{2}} phần bù đại số đầu tương ứng. Định thức con cấp kĐặt A là một ma trận m × n và k là một số nguyên lớn hơn 0. Một định thức con cấp k của A là định thức của ma trận con tạo bởi các phần tử nằm trên giao của các hàng i 1 , … , i k {\displaystyle i_{1},\dots ,i_{k}} và các cột j 1 , … , j k {\displaystyle j_{1},\dots ,j_{k}} nào đó của A.[1] Một cách tương đương, nó cũng là định thức của ma trận con tạo ra từ A bằng cách xóa các hàng không nằm trong i 1 , … , i k {\displaystyle i_{1},\dots ,i_{k}} và các cột không nằm trong j 1 , … , j k {\displaystyle j_{1},\dots ,j_{k}} . Nếu A là một ma trận vuông, nếu giữ các hàng và cột cho ta một định thức con thì xóa các hàng và cột đó cho ta định thức con bù. Phần bù đại số của một định thức con tạo bởi các hàng i 1 , … , i k {\displaystyle i_{1},\dots ,i_{k}} và các cột j 1 , … , j k {\displaystyle j_{1},\dots ,j_{k}} được cho bởi tích của định thức con bù với hệ số ( − 1 ) i 1 + … i k + j 1 + ⋯ + j k {\displaystyle (-1)^{i_{1}+\dots i_{k}+j_{1}+\dots +j_{k}}} .[1]
|
