ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG ---o0o--- BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Đề tài: BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU GVHD:PTS. NGUYỄN HỮU HIỆP THÀNH VIÊN THAM GIA 1) Bùi Sỹ Tiến 2) Đoàn Công Tín 3) Khằm Thanh Tình 4) Nguyễn Văn Toàn 5) Đặng Thế Triệu 6) Nguyễn Đình Trung 7) Đinh Trung Trực 8) Nguyễn Quang Trường 9) Nguyễn Kim Tú 10) Nguyễn văn Tú 11) Đào Trọng Tuấn 12) Lê Nguyễn Hoàng Tuấn MSVV 1915468 1915509 1915531 1915556 1915635 1915687 1915753 1915737 1915817 1915819 1915756 1915769 MỤC LỤC BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU .................................................................................................. 3 1. Cơ sở lý thuyết và giới thiệu chung .......................................................... 3 1.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = AX+B BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU. 1.2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = A X2 + BX + C BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU. 2. CHƯƠNG TRÌNH MATLAB.......................................................................................... 5 2.1 Viết chương trình dùng PP bình phương cực tiểu để tìm phương trình hồi quy Y = Ax+B 2.2 VÍ DỤ MINH HỌA ...................................................................................................... 6 1. Cơ sở lý thuyết của bài toán bình phương cực tiểu Trong toán học cũng như trong thực tế ta thường gặp các bài toán liên quan đến khảo sát và tính giá trị của hàm y = f(x) nào đó. Tuy nhiên trong thực tế không phải lúc nào ta cũng xác đinh được sẵn hàm số mà chỉ nhận được các dữ kiện rời rạc x¬I tương ứng với giá trị yi. Vấn đề đặt ra là xác định giá trị của hàm tại các điểm còn lại. Một trong các cách làm đó là ta đi xác định biểu thức hàm f(x).Có rất nhiều lớp các bài toán thực tế mà qua khảo sát người ta xác định được nó có dạng tuyến tính như y = ax+b, y = ax2 + bx + c, một trong các phương pháp hữu hiệu để giải các bài toán trên là phương pháp bình phương cực tiểu. GIỚI THIỆU CHUNG Phương pháp bình phương cực tiểu thường được dùng để lập công thức thực nghiệm. Giả sử cần tìm mối quan hệ hàm số giữa hai đại lượng x và y, muốn thế ta tiến hành thí nghiệm rồi quan sát, đo đạc, ta nhận được bảng tương ứng: Việc từ bảng trên lập ra mối quan hệ hàm số y = f(x) cụ thể gọi là lập công thức thực nghiệm. Nói chung việc tìm ra hàm số f(x) là gần đúng, việc tìm ra hàm số xấp xỉ của hàm số f(x) bằng phương pháp bình phương cực tiểu sẽ rất phức tạp nếu không biết trước dạng của hàm số xấp xỉ. Một trong các hàm số xấp xỉ đã biết và rất hay dùng trong các bài toán thực tế có dạng: a) y = ax + b b) y = ax2 + bx + c 1.1.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = AX+B BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU. +) Vì các cặp số (x1,y1), (x2, y2), … , (xn, yn) nhận được từ thí nghiệm chỉ là những giá trị gần đúng của x, y nên chúng không hoàn toán là nghiệm đúng của phương trình y = ax + b nghĩa là: y1 – ax2 – b = v1 y2 – ax2 – b = v2 ……………….. yn – axn – b = vn trong đó : vi là các sai số. -Phương pháp bình phương bé nhất nhằm xác định các các hệ số a và b sao cho tổng bình phương của các sai số nói trên là bé nhất. -Nghĩa là : Như vậy a, b phải thỏa mãn hệ phương trình: -Rút gọn ta có hệ sau: -Đây là hệ 2 phương trình hai ẩn số a và b, n là số lần làm thí nghiệm. Giải hệ này ta tìm được a và b như sau: 1.2.. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỒI QUY DẠNG Y = A X2 + BX + C BẰNG PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU. -Hàm hồi quy có dạng Y = ax2 + bx + c Sai số : vi = (ax2 + bx + c ) – yi với i = 1, 2 ,…, n Tổng các bình phương của các sai số trên là bé nhất nghĩa là: -Như vậy a, b, c thỏa mãn hệ phương trình: -Rút gọn ta được hệ phương trình chính tắc sau: -Giải hệ ta tìm được các giá trị của a, b, c +) lập bảng dạng sau: CHƯƠNG TRÌNH MATLAB 2.1…Viết chương trình dùng PP bình phương cực tiểu để tìm phương trình hồi quy Y = A + Bx X = input('X = '); Y = input('Y = '); % Phuong trinh duong y = A + Bx n = size(X,2); % so phan tu cua X syms ABx sum_x = 0; sum_y = 0; sum_square_x = 0; sum_xy = 0; for i=1:n sum_x = sum_x + X(i); sum_y = sum_y + Y(i); sum_square_x = sum_square_x + X(i)^2; sum_xy = sum_xy + X(i)*Y(i); end pt1 = n*A + sum_x*B - sum_y; pt2 = sum_x*A + sum_square_x*B - sum_xy; nghiem = solve(pt1,pt2,A,B); A = nghiem.A; B = nghiem.B; pt = A + B*x; fprintf('Phuong trinh y = %s\n',pt); 2.2 Một vài ứng dụng ( Chủ yếu dùng để dự đoán kết quả dựa vào bảng số liệu biết trước) - Leonard Chapman đã tổng hợp dữ liệu liên quan đến một điểm trung bình (GPA) nhóm học sinh trung học với điểm họ đạt được ở trường đại học Điểm 2.0 2.5 3.0 3.0 3.5 3.5 4.4 TH Điểm 1.5 2 2.5 3.5 2.5 3.3 3.5 ĐH Từ dữ liêu trên chúng ta có thể tìm được phương trình hồi quay và từ đó sử dụng nó để giúp ta dự đoán GPA đại học của một học sinh mà điểm trung học là 3.7 Bảng dưới đây cung cấp tỷ lệ trung bình học sinh-giáo viên trong các trường công lập những năm được chọn. Nguồn: Trung tâm Quốc gia về thống kê giáo dục. Năm Tỷ lệ 1990 17.2 1994 17.3 1998 16.4 2002 15.9 2006 15.6 2010 15.3 • Dùng PP bình phương bé nhất. Cho x tương ứng với số năm kể từ năm 1990 và cho y tương ứng với số trung bình của học sinh cho mỗi giáo viên. • Chúng ta có thể dự đoán tỷ lệ học sinh-giáo viên trong năm bất kỳ mà chúng ta muốn. Bảng sau đây cho biết tuổi trung bình kết hôn lần đầu của phụ nữ ở Mỹ đối với một số năm được chọn. Nguồn: U.S Census Bureau. Năm Tuổi 1940 21.5 1950 20.3 1960 20.3 1970 20.8 1980 22.0 1990 23.9 2000 25.1 2010 26.5 Chúng ta có thể dự đoán được số tuổi TB kết hôn lần đầu trong năm nào đó dựa vào PP bình phương cực tiểu. |
