Với 40 Bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số có lời giải Toán lớp 12 tổng hợp 40 bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12. Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y= - x3 + 3x2 - 4 Lời giải: * Tập xác định : D= R. * Chiều biến thiên : Ta có : y’= - 3x2 + 6x = - 3x(x- 2) Xét phương trình y’= 0 ⇔ - 3x (x – 2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= 2. * Bảng biến thiên : Hàm số nghịch biến trên các khoảng , đồng biến trên khoảng (0; 2) Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2 ; giá trị cực đại của hàm số là y(2)= 0. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = - 4 Giới hạn của hàm số tại vô cực : * Đồ thị : Cho x= 1 ⇒ y =0 x= 3 ⇒ y= -4 * Điểm uốn: y”= - 6x+ 6 =0 ⇔ x= 1 ⇒ y(1) = - 2. Đồ thị hàm số nhận điểm I(1; -2) làm điểm uốn. Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y =- x3 + 3x2 Lời giải: * Tập xác định : D= R. * Chiều biến thiên: Ta có : y’= - 3x2 + 6x = - 3x(x- 2) Xét phương trình y’= - 3x(x -2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= 2. Giới hạn của hàm số tại vô cực: * Bảng biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng , đồng biến trên khoảng (0;2) Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2; giá trị cực đại của hàm số là y(2)= 4. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0) = 0 . * Đồ thị : Cho x= 1⇒ y(1) = 4 x= 3 ⇒ y=0 * Điểm uốn: Ta có: y”= - 6x+ 6 = 0 ⇔ x= 1 ⇒ y (1) = 4 Vậy đồ thị nhận điểm I (1; 4) làm điểm uốn. Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Lời giải: * Tập xác định: D = R. * Chiều biến thiên: Giới hạn của hàm số tại vô cực: Hàm số đồng biến trên R và hàm số không có cực trị . * Bảng biến thiên: * Đồ thị : Cho x= 0 ⇒ y(0)= 0 * Điểm uốn: y”= 2x+ 4 = 0 ⇔ x=- 2 Vậy điểm uốn của đồ thị là Bài 4. Cho hàm số y= - x3 + 3x2+ 1 có đồ thị (C)
Lời giải:
* Tập xác định: D= R * Chiều biến thiên : Ta có : y’= - 3x2 + 6x = - 3x(x- 2) Xét phương trình y’= - 3x(x- 2) = 0 ⇔ x=0 hoặc x= 2. o Giới hạn của hàm số tại vô cực : o Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng , đồng biến trên khoảng (0; 2) . Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 2; giá trị cực đại của hàm số là y(2) = 5. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 ; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)= 1 o Đồ thị : Cho x = -1 ⇔ y = 5; x = 3 ⇔ y = 1. + Điểm uốn : y”= -6x+ 6= 0 ⇔ x= 1 ⇒ y= 3. Do đó,điểm uốn I(1; 3). b.Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A(3; 1) Ta có; y’(3) = - 9 nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = y’(3). (x – 3) + 1 hay y= - 9(x- 3) + 1 ⇔ y = - 9x + 28 Bài 5. Cho hàm số y= x3 + 3x2 – mx – 4, trong đó m là tham số
Lời giải:
* Tập xác định: D= R. * Chiều biến thiên: o Giới hạn của hàm số tại vô cực: o Bảng biến thiên: + Ta có: y’= 3x2 + 6x = 3x(x+ 2) Xét phương trình y’= 0 ⇔ 3x(x+ 2) = 0 ⇔ x= 0 hoặc x= - 2. o Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên các khoảng , nghịch biến trên khoảng (-2;0). Hàm số đạt cực đại tại điểm x= -2; giá trị cực đại của hàm số là y(-2)=0 . Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=0; giá trị cực tiểu của hàm số là y(0)= - 4 * Đồ thị : Cho x = -3 ⇒ y= - 4 x= 1 ⇒ y=0 * Điểm uốn y” = 6x+ 6 =0 ⇔x= - 1 ⇒ y(-1)= - 2 nên điểm uốn I(-1; -2)
Bảng biến thiên : Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy: Vậy khi m ≤ -3 thì yêu cầu của bài toán được thỏa mãn . Bài 6. Cho hàm số y= 2x3 – 9x2 + 12x -4 có đồ thị (C)
Lời giải: + Tập xác định D= R. + Đạo hàm y’= 6x2 – 18 x+ 12 = 0 + Bảng biến thiên: Hàm số đồng biến trên khoảng Hàm số nghịch biến trên khoảng (1; 2). Hàm số đạt cực đại tại x= 1 và yCĐ = 1 Hàm số đạt cực tiểu tại x= 2 và yCT = 0 + Đồ thị : Điểm uốn:
Gọi (C): y= 2x3 – 9x2 + 12x - 4 và Ta thấy khi x ≥ 0 thì: (C’): y= 2x3 – 9x2 + 12x - 4 Mặt khác hàm số của đồ thị (C’) là hàm số chẵn nên (C’) nhận Oy là trục đối xứng . Từ đồ thị (C) ta suy ra đồ thị (C’) như sau: o Giữ nguyên phần đồ thị (C) bên phải trục Oy, ta được o Lấy đối xứng qua trục Oy phần o Số nghiệm của phương trình: là số giao điểm của đồ thị (C’) và đường thẳng (d): y= m – 4 Từ đồ thị (C’), ta thấy yêu cầu bài toán ⇔0 < m- 4 < 1 ⇔ 4 < m < 5 Bài 7. Cho hàm số : có đồ thị là (C).
Lời giải:
* Hàm số đã cho xác định trên R. * Xét sự biến thiên của hàm số Giới hạn của hàm số tại vô cực: Bảng biến thiên Hàm số đồng biến trên các khoảng , nghịch biến trên khoảng (-1;3) Hàm số đạt cực đại tại điểm x= -1 ; yCĐ = 0 Hàm số có điểm cực tiểu tại x= 3 ; yCT = - 4. * Đồ thị
Suy ra I(1; -2) là điểm uốn của đồ thị . Giao điểm của đồ thị với trục Oy tại điểm Giao điểm của đồ thị với trục Ox tại hai điểm B(-1; 0); C(5; 0). Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn U(1; -2) làm tâm đối xứng.
Đẳng thức xảy ra khi x= 1 ⇒ y = - 2. Vậy tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc nhỏ nhất là: Bài 8. Cho hàm số y= - x3 – x+ 2, có đồ thị là (C).
Lời giải:
+ Hàm số có tập xác định là: D= R. + Xét sự biến thiên của hàm số Giới hạn của hàm số tại vô cực: Bảng biến thiên Ta có hàm số nghịch biến trên R. Hàm số không có cực trị . Điểm uốn: Ta có: Vì y” đổi dấu khi x đi qua điểm x= 0 nên U(0;2) là điểm uốn của đồ thị Giao điểm của đồ thị với hai trục tọa độ. Đồ thị cắt Oy tại điểm (0; 2) . Phương trình y= 0 ⇔ x= 1 Nên đồ thị cắt trục Ox tại điểm (1; 0). Nhận xét: Đồ thị nhận U(0;1) làm tâm đối xứng.
Cách vẽ y= g(x) B1 : Giữ nguyên đồ thị (C) ứng với phần (Phần đồ thị nằm trên Ox). B2 : Lấy đối xứng qua trục Ox đồ thị (3) phần f(x) < 0 (Phần nằm phía dưới trục Ox). Ta có đồ thị (C’) Dựa vào đồ thị (C’) ta có : Nếu m < 0 ⇒ Δ và (C’) không cắt nhau thì (1) vô nghiệm Nếu m = 0 ⇒ Δ cắt (C’) tại một điểm thì (1) có một nghiệm Nếu m > 0 ⇒ Δ cắt (C’) tại hai điểm thì (1) có hai nghiệm. Bài 9. Cho hàm số y= x3 – 3x2 + 2 có đồ thị là (C)
Lời giải:
* Hàm số có tập xác định là D = R. * Sự biến thiên của hàm số Giới hạn của hàm số tại vô cực : Bảng biến thiên Ta có: y’= 3x2 – 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x= 2. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng , nghịch biến trên khoảng (0;2) . Hàm số đạt cực đại tại điểm x= 0; yCĐ = 2 và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x= 2; yCT = - 2. * Đồ thị Điểm uốn: Đạo hàm cấp hai của hàm số là: Ta thấy y” đổi dấu khi x qua điểm x= 1. Vậy U(1; 0) là điểm uốn của đồ thị. Giao điểm của đồ thị với trục tọa độ Giao điểm của đồ thị với trục Oy là (0 2) Do đó, đồ thị cắt Ox tại ba điểm (1; 0), * Chọn x= 3 ⇒ y = 2; x= -1 ⇒ y= -2. Nhận xét: Đồ thị nhận U(1;0) làm tâm đối xứng.
x3 – 3x2 = m ⇔ x3 – 3x2 + 2= m+ 2. Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt đường thẳng y= m+ 2 cắt (C) tại ba điểm phân biệt khi -2 < m+ 2 < 2 hay – 4 < m < 0. Vậy – 4 < m < 0 là những giá trị cần tìm.
Vậy dựa vào đồ thị (C), ta vẽ đồ thị (C’) như sau: * Giữ nguyên phần bên phải trục Oy của đồ thị (C). * Lấy đối xứng qua trục Oy phần vừa vẽ ở trên ta có được đồ thị của (C’).
⇒ số nghiệm của phương trình (2) chính là số giao điểm của hai đồ thị . Dựa vào đồ thị (C’), ta có: không cắt đồ thị (C’) nên phương trình (2) vô nghiệm. cắt (C’) tại hai điểm phân biệt nên phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt. cắt (C’) tại ba điểm phân biệt nên phương trình (2) có ba nghiệm phân biệt. cắt (C’) tại bốn điểm phân biệt nên phương trình (2) có bốn nghiệm phân biệt. Bài 10. Cho hàm số y= 2x3 – 3x2 + 1 có đồ thị là (C).
Lời giải:
Ta có : x0= - 2 thì y0= - 27 nên phương trình tiếp tuyến y= 36x+ 45 x0 = 3 thì y0 = 28 nên phương trình tiếp tuyến y = 36x+ 80.
Dựa vào đồ thị (C’) ta có là những giá trị cần tìm.
Phương trình ,số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hai đồ thị Dựa vào đồ thị (C1) suy ra : m < 0 thì phương trình vô nghiệm m = 0 thì phương trình có một nghiệm (loại nghiệm x= 1) 0 < m < 1 thì phương trình có đúng bốn nghiệm m = 1 thì phương trình có đúng ba nghiệm m > 1 thì phương trình có đúng hai nghiệm. Bài 11. Cho hàm số y= x3 – 3mx2 (C), với tham số thực m. Lấy 2 điểm A và B thuộc đồ thị.Giả sử tiếp tuyến của (C) tại A, B song song với nhau.
Lời giải: a.Ta có: y’= 3x2 - 6mx. Lấy A(a; a3 – 3ma2); B(b; b3- 3mb2) (a ≠ b) Tiếp tuyến tại A và B là song song nên: 3a2 – 6ma = 3b2 – 6mb ⇔ 3(a2 – b2) - 6m(a- b)= 0 ⇔3(a-b).[ a+ b – 2m] = 0 ⇔ a+ b= 2m (vì a ≠ b) Do I là trung điểm AB nên: Vậy I thuộc (C).
Bài 12. Cho hàm số y= x3 – 3x2 + 4 có đồ thị là (C) a.Tìm phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3.
Lời giải:
Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm có hoành độ x = 3: y = y’(3). (x- 3)+ y(3) Mà y’(3) = 3. 32 – 6.3= 9 và y(3) = 4. Suy ra phương trình d: y = 9(x – 3) + 4 = 9x – 23 .
k= y’(x)= 3x2 – 6x = 3(x- 1)2 – 3 ≥ -3 Do đó, hệ số góc nhỏ nhất là là kmin = - 3. Dấu “=” xảy ra khi x- 1= 0 hay x= 1. Khi đó, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = y’(1). (x- 1) + y(1) hay y= -3(x- 1)+ 2 = - 3x+ 5. Bài 13. Cho hàm số (m là tham số).
Lời giải:
Hàm số (1) nghịch biến trên R
M và N thuộc đồ thị của hàm số (1) khi và chỉ khi Cộng hai phương trình (2) và (3) ,vế với vế ta được : (4) M , N tồn tại khi và chỉ khi (4) có nghiệm 4(m+1) < 0 hay m < - 1. Bài 14. Cho hàm số y= - x3 – 3x2 + mx+ 4, trong đó m là tham số .
Lời giải:
Hàm số f(x) = 3x2 + 6x liên tục trên Ta có f’(x)= 6x+ 6 > 0 với mọi x > 0 và f(0) = 0. Từ đó ta được : m ≤ 0
suy ra x1 + x3 = 2x2 và x1; x2; x3 là nghiệm của phương trình: x3 + 3x2 – mx – 4 =0 (*) Nên ta có: x3 + 3x2 – mx - 4= (x- x1). (x- x2). (x- x3) thay vào (*) ta có được: - 2+ m=0 ⇔ m= 2. * Với m= 2 thì (*) trở thành: x3 + 3x2 – 2x – 4= 0 Ta thấy đồ thị hàm số đã cho cắt Ox tại ba điểm lập thành cấp số cộng. Vậy m= 2 là giá trị cần tìm. Bài 15. Cho hàm số y= 2x3 + (m- 1)x2 + (m+ 2) x+ 1 (1).
Lời giải:
(x0 là hoành độ tiếp điểm của ∆ với (C)) Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y = k(x - x0) + y0 * Khi x0= 1 thì phương trình của ∆ là y = 9(x- 1)+ 6 = 9x – 3 phương trình này bị loại vì khi đó d ≡ ∆ |