Tổng hợp đề thi học kì 1 lớp 12 tất cả các môn Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa - GDCD Video hướng dẫn giải Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn Cho tam giác vuông \(OPM\) có cạnh \(OP\) nằm trên trục \(Ox\). Đặt \(\widehat {POM} = \alpha \) và \(OM = R\), \(\left( {0 \le \alpha \le {\pi \over 3},R > 0} \right)\) Gọi  LG a
Phương pháp giải: Hình phẳng cần tính thể tích được giới hạn bởi đoạn thẳng \(OM, \, \, MP\) và trục hoành. +) Xác định phương trình đường thẳng \(OM\) và sử dụng công thức tính thể tích để tính thể tích khối tròn xoay Lời giải chi tiết: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} = OP = R\cos \alpha \\{y_M} = PM = R\sin \alpha \end{array} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}R = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}\\{y_M} = \dfrac{{{x_M}}}{{\cos \alpha }}.\sin \alpha \end{array} \right. \) \(\Rightarrow {y_M} = x_M \tan \alpha .\) \( \Rightarrow \) Điểm \(M\) thuộc đường thẳng \(y=x.\tan \alpha .\) Mà \(O\) cũng thuộc đường thẳng trên nên phương trình đường thẳng \(OM\) là \(y=x.\tan \alpha .\) Khi đó thể tích của khối tròn xoay là: \(\begin{array}{l}V = \pi \int\limits_0^{R\cos \alpha } {{x^2}{{\tan }2}\alpha dx} \\= \left. {\pi {{\tan }^2}\alpha .\dfrac{{{x^3}}}{3}} \right|_0{R\cos \alpha }\\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\tan ^2}\alpha .{\cos ^3}\alpha \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.{\sin ^2}\alpha .\cos \alpha \\ = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}.\cos \alpha \left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) \\= \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right).\left( {dvtt} \right).\end{array}\) Cách khác: Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OP = R\cos \alpha \\MP = R\sin \alpha \end{array} \right.\) Khi quay tam giác \(OPM\) quanh trục \(Ox\) ta được khối nón tròn xoay có bán kính đáy \(r = MP = R\sin \alpha \) và chiều cao \(h = OP = R\cos \alpha \) Thể tích khối nón là: \(\begin{array}{l} V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h\\ \= \frac{1}{3}\pi {\left( {R\sin \alpha } \right)^2}.R\cos \alpha \\ \= \frac{1}{3}\pi {R^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \\ \= \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right)\cos \alpha \\ \= \frac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - {{\cos }^3}\alpha } \right) \end{array}\) LG b
Phương pháp giải: Tính được thể tích của khối tròn xoay Lời giải chi tiết: Xét hàm số: \(V (\alpha) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {\cos \alpha - co{s^3}\alpha } \right).\) Đặt \( t = \cos \alpha .\) Với \(\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{3}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\dfrac{1}{2};1} \right].\) Khi đó ta xét hàm: \(V\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {t - {t^3}} \right)\) trên \(\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right].\) Có: \(V'\left( t \right) = \dfrac{{\pi {R^3}}}{3}\left( {1 - 3{t^2}} \right) \) \(\Rightarrow V'\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 1 - 3{t^2} = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\;\;\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\) Ta có bảng biến thiên: \( \Rightarrow \) Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi \(t = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow \cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} \) \(\Leftrightarrow \alpha = \arccos \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\). |
