Chuỗi số $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ được gọi là chuỗi số dương nếu $u_{n} >0,{\rm \; }\forall n$ .
Cho hai chuỗi số dương $\sum_{n=1}{+\infty }u_{n} $ và $\sum _{n=1}{+\infty }v_{n} $. Giả sử $u_{n} \le v_{n} ,{\rm \; }\forall n\ge n_{0} \in \mathbb N$. Khi đó:
Ví dụ 11. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} }$. Hướng dẫn. Nhận xét: $\dfrac{1}{\sqrt{n} } \ge \dfrac{1}{n} ,{\rm \; \; \; }\forall n\ge 1$ Mặt khác chuỗi điều hòa $\sum_{n=1}^{+\infty }\dfrac{1}{n} $ phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. Ví dụ 12. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{n=1}{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} 5{n}}$. Hướng dẫn. Nhận xét $\dfrac{1}{\sqrt{n} 5^{n} } \le \dfrac{1}{5^{n} } ,{\rm \; \; }\forall n\ge 1$ Mặt khác chuỗi $\sum _{n=1}{\infty }\left(\dfrac{1}{5}\right){n} $ hội tụ ($|q|=\dfrac{1}{5} <1$) nên chuỗi đã cho hội tụ. Cho hai chuỗi số dương $\sum_{n=1}{+\infty}u_{n}$ và $\sum_{n=1}{+\infty }v_{n}$. Giả sử tồn tại ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }}\dfrac{u_{n} }{v_{n}} =k$ Khi đó:
Ví dụ 13. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{5}{n+3} $. Hướng dẫn. Xem chuỗi đã cho là chuỗi $\sum _{n=1}{+\infty }u_{n} $, xét chuỗi $\sum _{n=1}{+\infty }v_{n} $ là chuỗi điều hòa. Nhận xét. ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{5}{n+3}:\dfrac{1}{n} \right)={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{5n}{n+3} =5\in (0,+\infty )$ Mặt khác, chuỗi điều hòa $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac{1}{n} $ phân kỳ nên chuỗi đã cho phân kỳ. Ví dụ 14. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum _{n=1}{+\infty }\dfrac{2n}{(3n+1)5{n} } $. Hướng dẫn. Xem chuỗi đã cho là chuỗi $\sum _{n=1}{\infty }u_{n} $, xét chuỗi $\sum _{n=1}{\infty }v_{n} $ là chuỗi $\sum _{n=1}{\infty }\left(\dfrac{1}{5} \right){n} $. Nhận xét. ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{2n}{(3n+1)5^{n} }:\dfrac{1}{5^{n} } \right)={\mathop{\lim}\limits_{n\to \infty }} \dfrac{2n}{3n+1}=\dfrac{2}{3}\in(0;+\infty)$ Mặt khác, chuỗi $\sum _{n=1}{\infty }\left(\dfrac{1}{5} \right){n} $ hội tụ ( $|q|=\dfrac{1}{5} <1$ ) nên chuỗi đã cho hội tụ. Ví dụ sử dụng Định lí so sánh xét sự hội tụ Định lý. Cho chuỗi số dương $\sum_{n=1}^{+\infty }u_{n}$, giả sử ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n}}=D$ thì chuỗi đã cho hội tụ khi $D<1$ và phân kỳ khi $D>1$. Chú ý. Khi $D=1$ chuỗi đã cho có thể hội tụ, có thể phân kỳ. Ví dụ 15. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}{+\infty }\dfrac{n}{5{n} } $. Hướng dẫn. Ta có: $u_{n} =\dfrac{n}{5^{n} } \Rightarrow u_{n+1} =\dfrac{n+1}{5^{n+1} } $ $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{n+1}{5^{n+1} }:\dfrac{n}{5^{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{n+1}{5n} =\dfrac{1}{5} <1$$ Vậy chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}{+\infty }\dfrac{n}{5{n} }$ hội tụ. Hai tiêu chuẩn hội tụ Ví dụ 16. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} 5{n} } $. Hướng dẫn. Ta có: $u_{n} =\dfrac{1}{\sqrt{n} .5^{n} } \Rightarrow u_{n+1} =\dfrac{1}{\sqrt{n+1} .5^{n+1} } $ $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{\sqrt{n+1} .5^{n+1} } :\dfrac{1}{\sqrt{n} .5^{n} }={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{\sqrt{n} }{5\sqrt{n+1} } =\dfrac{1}{5} <1$$ Vậy chuỗi số $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt{n} 5{n} }$ hội tụ. Ví dụ 17. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}{+\infty }\dfrac{5{n} }{n+3} $. Hướng dẫn. Ta có: $u_{n} =\dfrac{5^{n} }{n+3} \Rightarrow u_{n+1} =\dfrac{5^{n+1} }{n+4} $ $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{5^{n+1} }{n+4}:\dfrac{5^{n} }{n+3} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }}\dfrac{5(n+3)}{n+4} =5>1$$ Vậy chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}{+\infty }\dfrac{5{n} }{n+3} $ phân kỳ. Ví dụ 18. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum_{{\rm n}={\rm 1}}{+\infty }\dfrac{1}{n{2}}$. Hướng dẫn. Ta có: $$u_{n} =\frac{1}{n^{2} } \Rightarrow u_{n+1} =\frac{1}{(n+1){2} }$$$$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{u_{n+1} }{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{(n+1){2} }:\dfrac{1}{n^{2} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^{2} =1$$ Vậy, áp dụng tiêu chuẩn D’Alembert chưa kết luận được bài toán. Định lý. Cho chuỗi số dương $\sum_{n=1}^{+\infty }u_{n} $, giả sử ${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } =C$ thì chuỗi đã cho hội tụ khi $C<1$ và phân kỳ khi $C>1$. Chú ý. Khi $C=1$ chuỗi đã cho có thể hội tụ, có thể phân kỳ. Ví dụ 19. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}{+\infty }\left(\dfrac{5n}{n+1} \right){n} $. Hướng dẫn. Ta có: $u_{n} =\left(\dfrac{5n}{n+1} \right)^{n} \Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{5n}{n+1} =5>1$ Vậy, chuỗi số $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}{+\infty }\left(\dfrac{5n}{n+1} \right){n} $ phân kỳ. Ví dụ 20. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum _{n=1}{+\infty }\dfrac{1}{[\ln (n+1)]{n} } $. Hướng dẫn. Ta có: $u_{n} =\dfrac{1}{[\ln (n+1)]{n} } $. $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{1}{\ln (n+1)} =0<1$$ Vậy, chuỗi số $\sum _{n=1}{+\infty }\dfrac{1}{[\ln (n+1)]^{n} } $ hội tụ. Ví dụ 21. Xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số $\sum _{{\rm n}={\rm 1}}{+\infty }\left(\dfrac{n}{n+1} \right){n} $. Hướng dẫn. Ta có: $u_{n} =\left(\dfrac{n}{n+1} \right)^{n} $ $$\Rightarrow {\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \sqrt[{n}]{u_{n} } ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \dfrac{n}{n+1} =1$$ Vậy, áp dụng tiêu chuẩn Cauchy chưa kết luận được bài toán. Ta có thể áp dụng định lý điều kiện ắt có của chuỗi số hội tụ để xét tính chất của chuỗi số trên: $${\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} u_{n} ={\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{n}{n+1} \right){n} =\dfrac{1}{{\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(\dfrac{n+1}{n} \right){n} }=\dfrac{1}{{\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty }} \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^{n} }=\dfrac{1}{e} \ne 0.$$ Vậy chuỗi số đã cho phân kỳ. Định lý. Cho chuỗi số dương $\sum _{n=1}^{+\infty }u_{n} $ mà các số hạng $u_{n} $ của nó là trị của một hàm liên tục $f(x)$ tại các trị nguyên của $x$ và $f(x)$ đơn điệu giảm trên khoảng $(1,+\infty )$. Khi đó:
Ví dụ 22. Xét tính hội tụ, phân kỳ của chuỗi Riemann $\sum _{n=1}{+\infty }\dfrac{1}{n{\alpha } } {\rm \; \; } (\alpha \in \mathbb{R})$. Chú ý. Đây là chuỗi số dương, dễ thấy 2 tiêu chuẩn Cauchy và D’Alembert đều không cho kết luận được, nhưng tiêu chuẩn tích phân có thể cho ta kết luận một cách nhanh chóng. Hướng dẫn. Chọn $f(x)=\dfrac{1}{x^{\alpha } } $ Dễ thấy, $f(x)$ thỏa các điều kiện của tiêu chuẩn tích phân Bằng cách xét ${\mathop{\lim }\limits_{b\to +\infty }} \int\limits_{1}{b}\dfrac{1}{x{\alpha } } dx $ ta dễ dàng có kết quả về tính chất của tích phân suy rộng $\int\limits_{1}{+\infty }\dfrac{1}{x{\alpha } } dx $: hội tụ khi $\alpha >1$ và phân kỳ khi $\alpha \le 1$. Vậy, chuỗi $\sum\limits_{n=1}{+\infty }\dfrac{1}{n{\alpha } } $ hội tụ khi $\alpha >1$ và phân kỳ khi $\alpha \le 1$. Chẳng hạn. Chuỗi $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}{+\infty }\dfrac{1}{n{2} } $ hội tụ (là chuỗi Riemann có $\alpha =2>1$). Chuỗi $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{\sqrt[{3}]{n} } $ phân kỳ (là chuỗi Riemann có $\alpha =\dfrac{1}{3} <1$). Chuỗi điều hòa $\sum\limits_{{\rm n}={\rm 1}}^{+\infty }\dfrac{1}{n} $ phân kỳ (là chuỗi Riemann có $\alpha =1$). |
