Một sản phẩm của công ty TNHH Giáo dục Edmicro

CÔNG TY TNHH GIÁO DỤC EDMICRO MST: 0108115077 Địa chỉ: Tầng 5 Tòa nhà Tây Hà, số 19 Đường Tố Hữu, Phường Trung Văn, Quận Nam Từ Liêm, Thành phố Hà Nội, Việt Nam

Lớp học

• Lớp 1
• Lớp 2
• Lớp 3
• Lớp 4
• Lớp 5
• Lớp 6
• Lớp 7
• Lớp 8
• Lớp 9
• Lớp 10
• Lớp 11
• Lớp 12

Tài khoản

• Gói cơ bản
• Tài khoản Ôn Luyện
• Tài khoản Tranh hạng
• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Thông tin liên hệ

(+84) 096.960.2660

• Chính Sách Bảo Mật
• Điều khoản sử dụng

Follow us

2 2 22 2 22 2 2 2 2 2                         dt d z dt d y dt d x a ax ay az

#######  (1-12)

####### 3. Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến

####### Vectơ gia tốc đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc. Sự biến

####### thiên này thể hiện cả về phương, chiều và độ lớn. Trong mục này ta sẽ

####### phân tích vectơ gia tốc ra làm hai thành phần, mỗi thành phần đặc trưng

####### cho sự biến thiên của vectơ vận tốc riêng về một mặt nào đó.

####### Để đơn giản, ta giả thiết chất điểm chuyển động trên một đường tròn

####### tâm O, tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí M, vận tốc MA  v; tại thời điểm

####### t&

039; = t +  t chất điểm vị trí M&

039; ( MM =  s), có vận tốc

####### M A   v  v  v. Theo định nghĩa,

####### vectơ gia tốc của chất điểm tại thời điểm t

####### (ứng với vị trí M) sẽ có:

Hình 1-

####### t

####### v

####### a

####### t t 

####### 

####### 



####### 

####### 

&

039;

####### lim (1- 13)

####### Muốn tìm v



#######  , từ M ta vẽ vectơ MB M A  (hình 1-5). Ta có:

 v  v   v  M A   MA  MB MA

####### hay  v AB

####### Lấy trên phương của MA một đoạn MC = v&

039;, theo hình vẽ ta có:

#######  v  AB  AC CB

####### Thay v



#######  vào (1 - 13) ta được

&

039; &

039; &

039; lim lim lim t t t t t t AC CB AC CB a  t  t  t       

####### (1-14)

####### Ta hãy tìm biểu thức và ý nghĩa cụ thể của từng thành phần trong vế

####### phải của (1-14)

####### a) Gia tốc tiếp tuyến:

####### Thành phần thứ nhất được kí hiệu là:

&

039; t lim t t AC a  t  

####### Phương của a  tlà phương của AC tức là phương của tiếp tuyến với quĩ

####### đạo tại M: vì vậy a  tđược gọi là gia tốc tiếp tuyến.

####### Chiều của a  tlà chiều của AC nghĩa là cùng chiều với chiều chuyển

####### động khi v&

039; > v (vận tốc tăng) và ngược chiều với chiều chuyển động

####### khi v&

039;<v (vận tốc giảm)

####### Độ lớn của a  tcho bởi

   

#######   

#######    

####### &

039;  &

039;  &

039;  &

039; 

####### &

039;

####### t lim lim lim lim

t t t t t t t t

####### AC MC MA v v v

####### a

####### t t t t

####### nghĩa là, theo định nghĩa của đạo hàm:

dtdvat  (1-15)

####### Gia tốc tiếp tuyến có độ lớn bằng đạo hàm của độ lớn vận tốc đối với

####### thời gian.

####### Tóm lại: gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên độ lớn của

####### vectơ vận tốc. Véc tơ này:

• Có phương trùng với tiếp tuyến của quĩ đạo tại M
• có chiều là chiều chuyển động khi v tăng và chiều ngược lại khi v

####### giảm;

• Có độ lớn bằng đạo hàm độ lớn vận tốc theo thời gian

####### b) Gia tốc pháp tuyến:

####### Thành phần thứ hai trong vế phải của (1-14) được kí hiệu là:

t CB a n t t   lim&

039; 

####### Phương của a n là phương của CB khi t &

039; t. Muốn xác định nó, ta đặt:

MOM   CMB  

####### Trong tam giác cân CMB ta có

2 2 2       CMB   MCB

####### Khi t &

039; tthì M &

039; Mnghĩa là    0 , do đó

2   MCB

####### Vậy đến giới hạn CB vuông góc với AC , phương của a n vuông góc

####### với AC nghĩa là vuông góc với tiếp tuyến của quỹ đạo tại M; nói cách

####### khác phương của a n là phương pháp tuyến của quĩ đạo tại M, vì vậy

a n

#######  được gọi là gia tốc pháp tuyến. Chiều của

an

#######  là chiều của CB , luôn

####### luôn quay về tâm của vòng tròn nghĩa là quay về phía lõm của quĩ đạo,

####### do đó a n còn gọi là gia tốc hướng tâm. Độ lớn của a n cho bởi:

n t t CB a  t  &

039; 

####### lim (1-16)

####### Trong tam giác cân MBC ta có

CMB CB 2MC 2v 2 2   sin  &

039;sin

####### và vì  rất nhỏ khi t   t nên ta có thể viết CB 2v v

2     .

####### Lại có

MM s MOM OM R  

#######     (R = OM là bán kính quĩ đạo). Vậy (1- 16)

####### thành:

n t t t t t t v s 1 s a v  t R R   t      &

039;  &

039; &

039;  &

039; lim lim &

039; lim .

####### lim v &

039; v; v

dt ds t s t t     &

039; 

####### lim ,

####### do đó : vv

R an. 1 

####### hay

####### R

####### v

####### an

2

#######  (1-17)

####### Từ (1-17) ta suy ra rằng vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự

####### thay đổi phương của vectơ vận tốc. Quả vậy, ứng với một trị số của v

####### xác định, a n càng lớn thì R càng nhỏ; khi đó quỹ đạo càng cong nhiều,

####### kết quả là phương của vectơ vận tốc thay đổi nhiều; nếu trị số của R xác

####### định, a n càng lớn khi v càng lớn, khi đó trong một đơn vị thời gian, chất

####### điểm sẽ đi được một quãng đường dài trên quỹ đạo tròn nghĩa là phương

####### của vec tơ vận tốc thay đổi nhiều.

####### Tóm lại, vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên về

####### phương của vectơ vận tốc, vectơ gia tốc này:

• Có phương trùng với phương pháp tuyến của quỹ đạo tại M
• Có chiều hướng về phía lõm của quĩ đạo
• Có độ lớn bằng R v an 2  Hình 1-

####### c) Kết luận: Ta có thể phân tích vectơ gia tốc ra hai thành phần (hình. 1-

####### 6)

a at a n

  

  (1)

####### về độ lớn

2 2 2 2 2                 R v dt dv

####### a at an (1-19)

####### Vectơ gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc

####### về độ lớn;

####### Vectơ gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự biến thiên của vectơ vận tốc

####### về phương

####### Trong trường hợp tổng quát quỹ đạo của chất điểm là một đường

####### cong bất kì, người ta chứng minh được rằng tại mỗi vị trí, vectơ gia tốc

a 

####### cũng có thể phân tích ra hai thành phần tiếp tuyến và pháp tuyến, cho

####### bởi cùng những biểu thức như trên, nhưng ở đây ta chú ý rằng trong

####### biểu thức (1-17) R là bán kính cong của quỹ đạo tại M (tức là bán kính

####### của vòng tròn mật tiếp của quỹ đạo tại M). Hình học vi phân đã chứng

####### minh rằng R càng nhỏ thì quỹ đạo càng cong nhiều và ngược lại; nói

####### cách khác

R 1

####### đặc trưng cho độ cong của quỹ đạo.

####### Chúng ta hãy xét một số trường hợp đặc biệt:

####### a) a n luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không thay đổi phương,

####### chất điểm chuyển động thẳng.

####### b) a  t luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không thay đôi chiều và

####### giá trị, chất điểm chuyển động cong đều.

####### c) a luôn luôn bằng không: vectơ vận tốc không đổi về phương,

####### chiều và giá trị, chất điểm chuyển động thẳng đều.

####### IV. Một số dạng chuyển động đơn giản

####### 1. Chuyển động thẳng biến đổi đều

####### Xét một chất điểm chuyển động thẳng biến đổi đều dọc theo trục

####### ox. ở thời điểm t = 0 nó ở vị trí Mo có toạ độ xo và vận tốc vo, ở thời

####### điểm t bất kì nó ở vị trí M có toạ độ x và vận tốc v.

####### Gia tốc của chất điểm:

####### an= 0 ; a = at = dv

dt

####### a) Vận tốc : dv = a

 dv  a dt.  v = a + C

####### Tại thời điểm ban đầu t = 0, vật có vận tốc v = C = vo.

####### Do đó: v = vo + a (1-20)

####### b) Phương trình chuyển động

####### Vì y = z = o nên vy = vz = 0

####### v = vx =

dt dx

#######  dx = v = ( vo + a ) dt

 dx v atdt 

t o o x xo

####### (. ) x - xo = vot + a

2

####### /

####### x = xo + vot + a

2

####### /2 (1-21)

####### c) Quãng đường

####### s = x  x 0 = vot + a

2

####### /2 (1-22)

####### d) Công thức độc lập với thời gian :

####### Từ (1-20) và (1-22) ta có: v

2 - v 02

####### = 2as (1-23)

####### e) Chú ý:

• Chuyển động thẳng đều: a = 0
• Chuyển động thẳng nhanh dần đều thì a và v 0 cùng chiều.
• Chuyển động thẳng chậm dần đều thì a và v 0 ngược chiều. O Mo M x Hình 1- v o v

####### a, vo, v là hình chiếu của các véc tơ a v, 0 , v xuống trục ox.

####### 2. Chuyển động tròn

####### Trong chuyển động tròn, người ta còn dùng các đại lượng vận tốc

####### góc và gia tốc góc để đặc trưng cho chuyển động ấy.

####### a) Vận tốc góc

####### Giả thiết quỹ đạo là vòng tròn tâm O bán kính R

####### Trong khoảng thời gian t t&

039; tgiả sử chất

####### điểm đi được quãng đường  s MMứng với

####### góc quay của bán kính MOM   (hình. 1-8).

####### Theo định nghĩa đại lượng

t

#######   gọi là vận tốc

####### góc trung bình trong khoảng thời gian t và

####### được kí hiệu là:

tb t   

#######  (1-24)

####### Giá trị của  tbbiểu thị góc quay trung bình của bán kính trong đơn vị

####### thời gian. Nếu cho t  0 theo định nghĩa

t t     0

####### lim gọi là vận tốc góc của

####### chất điểm tại lúc t, và được kí hiệu

0 lim t t       

####### Ta có:

dt d 

#######   (1-25)

####### Vận tốc góc có giá trị bằng đạo hàm của góc quay đối với thời gian.

####### Vận tốc góc đo bằng rađian trên giây, kí hiệu ra: rad/s.

####### Đối với chuyển động tròn đều   constngười ta còn định nghĩa chu

####### kì là thời gian chất điểm đi được một vòng:

 2  T 

####### (1-26)

####### và tần số là số chu kì trong một đơn vị thời gian:

  2 1   T v

####### Người ta biểu diễn vận tốc góc bằng một vectơ 



####### gọi là vectơ vận

 s M M R  O Hình 1- H

####### tốc góc, nằm trên trục của vòng tròn quỹ đạo, thuận chiều đối với chiều

####### quay của chuyển động và có giá trị bằng  (hình-9).

####### Hệ quả 1. Liên hệ giữa vectơ vận tốc góc 



####### và vectơ vận tốc dài

v 

####### của chuyển động

####### Ta có: MM &

039;  sR  dođó:

t R t s      

####### Cho t  0 theo (1-5) và (1-25) ta được:

####### v  R  (1-27)

####### Ngoài ra nếu đặt OM  R, ta thấy rằng theo

####### hình

####### (1-9) ba vectơ v R

  

####### ,  , (theo thứ tự đó) tạo thành một tam diện thuận ba mặt

####### vuông; ngoài ra căn cứ thêm vào hệ thức (1-27) ta có thể kết luận

v R   

#######   (1-28)

####### Hệ quả 2. Liên hệ giữa a nvà 

Theo (1-17) và (1-27) ta suy ra:  

R R R v an 2 2 . 

#######   hay an  R .  2 (1-29)

####### b) Gia tốc góc

####### Giả thiết trong khoảng thời gian t t&

039; t, vận tốc góc của chất điểm

####### chuyển động tròn biến thiên một lượng &

039; , theo định nghĩa lượng

 t

#######   gọi là gia tốc góc trung bình trong khoảng thời gian t và được kí

####### hiệu là:

t tb    

#######  (1-30)

####### Giá trị của tb biểu thị độ biến thiên trung bình của vận tốc góc trong

####### đơn vị thời gian.

####### Nếu cho t  0 , theo định nghĩa

t t     0

####### lim gọi là gia tốc góc của chất

####### điểm lúc t và được kí hiệu là:

t t      lim 0  dt d    Hình 1-

####### hay theo (1-25)

2 2 dt d dt d 

#######    (1-31)

####### Vậy: Gia tốc góc có giá trị bằng đạo hàm của vận tốc góc đối với

####### thời gian và bằng đạo hàm bậc hai của góc quay đối với thời gian.

####### Gia tốc góc đo bằng radian trên giây bình phương (rad/s

2

####### )

####### Khi  > 0,  tăng, chuyển động tròn nhanh dần

#######  < 0,  giảm, chuyển động tròn

####### chậm dần

#######  = 0,  không đổi, chuyển động

####### tròn đều

####### Trong trường hợp  = const, ta có

####### chuyển động tròn thay đổi đều. Tương tự

####### như (1-20), (1-22) và (1-23) ta chứng

####### minh được các hệ thức

#######   t  o (1-32)

  t 2  o t 2

####### 1 (1-33)

#######  2  o 2  2  (1-34)

####### Người ta biểu biểu diễn gia tốc góc bằng một vectơ gọi là vectơ gia

####### tốc góc  (Hình 1-10) vectơ này:

• Nằm trên trục của quỹ đạo tròn
• Cùng chiều với  

####### khi  > 0 và ngược chiều với 



####### khi v<

• Có giá trị bằng  (hình. 1-8)

####### Như vậy ta có thể viết hệ thức vectơ như sau: d

dt 

#######   (1-35)

####### Hệ quả: Liên hệ giữa vectơ gia tốc gócvà vetơ gia tốc tiếp tuyến:

####### Thayv  R. vào (1-15) ta được:

Hình 1-

 

dt d R dt dR at  

#######   , do đó theo (1-31) thì: at  R  (1-36)

####### Ta thấy rằng do quy ước về chiều của các vectơ  và a t theo hình (1-

####### 10), trong mọi trường hợp ba vectơ at



####### , 



####### , R



####### (theo thứ tự đó) luôn luôn

####### tạo thành một tam diện thuận ba mặt vuông; ngoài ra căn cứ thêm vào

####### (1-35) ta có thể kết luận rằng:

at R   

#######   (1-37)

####### 3. Chuyển động của vật bị ném

####### Ta hãy khảo sát chuyển động của một chất

####### điểm xuất phát từ một điểm O trên mặt đất với

####### vectơ vận tốc ban đầu lúc (t = 0) là vo



####### hợp với

mặt phẳng nằm ngang một góc  (hình-11)

####### (bài toán bắn pháo).

####### Ở đây chọn mặt phẳng hình vẽ là mặt phẳng thẳng đứng chứa vo



####### ; đó

####### cũng là mặt phẳng chứa quỹ đạo chất điểm, hai trục toạ độ Ox nằm

####### ngang, Oy thẳng đứng hướng lên trên. Tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí

####### M toạ độ x, y, có gia tốc là vectơ a g

 

#######  song song với Oy hướng xuống

####### dưới. Do đó hai thành phần của a



####### trên hai trục là:

x y

a 0aa g   

####### (1-38). Ta có thể viết:

        g dt dv dt dv y x 0

####### Lấy nguyên hàm theo t của hai vế ta được:

      2 1 v gt C v C v y  x

với : C 1  vx t   0  v0x  v 0 cosC 2  vy  t 0 v 0 yvosin 

Hình 1-

####### Vậy:

     

####### 

####### 

sin cos y o x o v gt v v v v 

####### Ta có thể viết:

           sin cos o o gt v dt dy v dt dx

####### Lại lấy nguyên hàm theo t ta được:

3 2 0 4 cos 1 sin 2 x v t o C M y gt v t C             

với: C 3  x t 0   0 ; C 4  y t 0   0

####### Cuối cùng ta tìm được các phương trình chuyển động:

         sin 2 1 cos 2 y gt vt x vt M o o

####### (1-40)

####### Khử t trong hai phương trình (1-40) để tìm phương trình quỹ đạo, ta

####### được:

  xtg v gx y o   2 2  2 2 cos 2

####### (1-41)

####### Căn cứ vào phương trình (1-41) ta kết luận rằng quỹ đạo là một

####### parabol OSA (h-11) đỉnh S, trục song song với trục tung, quay phần

####### lõm về phía dưới hình vẽ.

####### BÀI TẬP

####### 1. Các khái niệm cơ bản

####### 1. Phương trình chuyển động của một chất điểm có dạng:

x 60 cos( t ) ( cm ) y 80 sin( t ) ( cm )    

####### a) Xác định dạng quỹ đạo chuyển động của chất điểm.

####### b) Tính vận tốc v và gia tốc toàn phần a tại thời điểm t = 1s.

####### 1. Phương trình chuyển động của một xe trượt tuyết có dạng:

####### x( t )  18  12t  1,2 2 ( m ), t tính theo giây. Xác định vị trí, vận

####### tốc,

####### gia tốc của xe ở thời điểm t = 2s.

####### 1. Phương trình chuyển động của một chất điểm có dạng:

x a cos( t ) y a cos( t )      

####### Xác định dạng quỹ đạo chuyển động của chất điểm trong các

####### trường hợp sau:

####### a)   .

####### b)  / 2.

####### 2. Chuyển động thẳng biến đổi đều

####### 1. Một vật được thả rơi từ một khinh khí cầu đang bay ở độ cao

####### 300m.

####### Hỏi sau bao lâu vật rơi tới mặt đất, nếu:

####### a) Khí cầu đang bay lên theo hướng thẳng đứng với vận tốc

####### 5m/s.

####### b) Khí cầu đang hạ xuống theo hướng thẳng đứng với vận

####### tốc 5m/s.

####### c) Khí cầu đang đứng yên. Lấy g =9,8m/s

2

####### .

####### 1. Một chiếc xe chuyển động với vận tốc 72km/h, khi hãm nó

####### chuyển động

####### chậm dần đều với gia tốc 0,4m/s

2

####### . Tìm thời gian hãm và quãng

####### đường nó

####### đi được từ lúc hãm tới khi ngừng hẳn.

####### 1. Đầu của búa máy rơi từ độ cao 2,5m xuống đất, sau đó nó được

####### nâng lên

####### độ cao ban đầu. Thời gian để đầu búa từ đất đạt tới độ cao ban

####### đầu lớn

####### gấp đôi thời gian đầu búa từ độ cao đó rơi xuống đất. Tìm số lần

####### đập của

####### búa trong một phút, nếu coi đầu búa rơi tự do. Lấy g = 10m/s

2

####### .

####### 1. Một vật được thả rơi từ độ cao H + h theo phương thẳng đứng

####### DD’

####### (D’ là chân độ cao H + h). Cùng lúc đó một vật thứ hai ném lên

####### từ D’

####### theo phương thẳng đứng với vận tốc vo.

####### a) Hỏi vận tốc vo phải bằng bao nhiêu để hai vật gặp nhau ở

####### độ cao h

####### so với mặt đất?

####### b) Tính khoảng cách x giữa hai vật trước lúc gặp nhau theo

####### thời gian?

####### c) Nếu không có vật thứ nhất thì vật thứ hai đạt độ cao lớn

####### nhất bao nhiêu?

####### 1. Thả rơi tự do một vật từ độ cao h = 19,6 mét, lấy g =9,8m/s

2

####### .

####### Tính:

####### a) Quãng đường mà vật rơi được trong 0,1 giây đầu và 0,

####### giây cuối của thời gian rơi.

####### b) Thời gian cần thiết để vật đi hết 1m đầu và 1m cuối của

####### độ cao h.

####### 1. Giả sử bạn cần phải thiết kế đường băng để dùng cho một loại

####### máy bay phản lực đặc biệt nào đó. Trên đường chạy lấy đà, tốc

####### độ của máy bay tăng với gia tốc không đổi có độ lớn bằng

####### 4,0m/s

2

####### cho đến khi nó được nâng lên không ở tốc độ 85m/s.

####### Nếu phi công được yêu cầu huỷ cất cánh, thì tốc độ của máy bay

####### sẽ giảm với gia tốc không đổi có độ lớn bằng 5,0m/s

2

####### . Hãy xác

####### định chiều dài của đường băng cần phải có để phi công có thể

####### ngừng cất cánh vào đúng thời điểm máy bay đạt tốc độ bay mà

####### không bị lao ra ngoài.

####### 3. Chuyển động tròn biến đổi đều

####### 1. Vận tốc của một êlectron trong nguyên tử hiđrô

####### v  2,8 ( cm / s ) 3. Tính vận tốc góc và gia tốc pháp tuyến của

####### êlectron nếu xem quỹ đạo của nó là một vòng tròn bán kính

R 0,5  8 ( cm )

####### 1. Tìm vận tốc dài của chuyển động quay của một điểm trên mặt

####### đất tại Hà Nội. Biết rằng vĩ độ của Hà Nội là  = 21

o

####### . Cho bán

####### kính Trái Đất R = 6400km.

####### 1. Một bánh xe có bán kính R = 10cm lúc đầu đứng yên,

####### sau đó quay xung quanh trục của nó với gia tốc góc

####### bằng 3,14 rad/s

2

####### . Hỏi, sau giây thứ nhất:

####### a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một chất điểm trên vành

####### bánh xe?

####### b) Gia tốc pháp tuyến, gia tốc tiếp tuyến và gia tốc toàn

####### phần của một điểm trên vành bánh xe?

####### c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng

####### với cùng một điểm trên vành bánh xe)?

####### 1. Một bánh xe đang quay với vận tốc 300 vòng/phút thì bị hãm

####### và bắt đầu quay chậm dần đều. Sau 1 phút bánh xe có vận tốc

####### 180 vòng/phút. Hãy xác định:

####### a) Gia tốc góc của bánh xe trong thời gian bị hãm.

####### b) Số vòng bánh xe quay được sau 1 phút kể từ khi bắt đầu

####### bị hãm

####### 1. Một bánh xe có bán kính 10cm, lúc đầu đứng yên và sau đó

####### quay quanh trục của nó với gia tốc góc bằng 1,57 rad/s

####### Hãy

####### tính:

####### a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành

####### bánh xe sau 1 phút.

####### b) Gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến, gia tốc toàn phần

####### của một điểm trên vành bánh xe sau 1 phút.

####### c) Số vòng bánh xe đã quay được sau một phút.

####### 4. Chuyển động của vật bị ném

####### 1. Một quả bóng gôn được vụt sao cho nó có vận tốc ban đầu là

####### 14m/s với góc phóng

0

#######   47.

####### a) Hỏi quả bóng rơi cách chỗ đánh bao xa? Biết rằng nơi

####### đánh và nơi quả bóng rơi có cùng bình độ. Lấy g = 10m/s

2

####### .

####### b) Tính bán kính cong của quỹ đạo tại điểm quả bóng chạm

####### đất.

####### 1. Ném một hòn đá theo phương nằm ngang từ độ cao h với vận

####### tốc vo = 15m/s. Tính gia tốc tiếp tuyến, gia tốc pháp tuyến của

####### hòn đá và bán kính cong của quỹ đạo sau lúc ném 1 giây. Lấy g

####### =9,8m/s

2

####### 1. Người ta ném một quả bóng với vận tốc vo = 10m/s theo

####### phương hợp với mặt nằm ngang một góc  = 40

o

####### . Giả sử quả

####### bóng được ném từ mặt đất. Hỏi:

####### a) Độ cao lớn nhất mà quả bóng có thể đạt được.

####### b) Tầm xa của quả bóng.

####### c) Thời gian từ lúc ném bóng tới lúc chạm đất. Lấy g

####### =9,8m/s

2

####### .

####### 1. Từ đỉnh một tháp cao H = 25m, người ta ném một hòn đá lên

####### phía trên với vận tốc vo = 15m/s theo phương hợp với mặt

####### phẳng nằm ngang một góc  = 30

o

####### . Xác định:

####### a) Thời gian chuyển động của hòn đá.

####### b) Khoảng cách từ chân tháp đến chỗ rơi hòn đá.

####### c) Vận tốc của hòn đá lúc chạm đất. Lấy g =9,8m/s

2

####### 1. Từ đỉnh một tháp cao H = 30m, người ta ném một hòn đá

####### xuống đất với vận tốc vo = 10m/s theo phương hợp với mặt

####### phẳng nằm ngang góc  = 30

o

####### . Tìm:

####### a) Thời gian để hòn đá rơi tới mặt đất kể từ khi ném.

####### b) Khoảng cách từ chân tháp đến chỗ rơi hòn đá.

####### c) Viết phương trình quỹ đạo của hòn đá. Lấy g =9,8m/s

2

####### 1. Hỏi phải ném một vật theo phương hợp với mặt phẳng nằm

####### ngang một góc  bằng bao nhiêu để với một vận tốc ban đầu

####### cho trước, tầm xa của vật là cực đại.

####### 1. Cho một băng truyền đổ vật liệu

####### đặt nghiêng với mặt phẳng

####### ngang góc   450 (Hình 1-11).

####### Băng truyền có vận tốc v 0 =

####### 4 2 m s/ , độ cao của băng truyền

####### là h = 4,2m. Tính khoảng cách S

####### từ chân A của đỉnh băng truyền

####### đến nơi đổ vật liệu B. Lấy g =

####### 10 m/s

2

####### .

 S h A B Hinh 1-11

####### 1. Cho một băng truyền đổ vật liệu

####### chuyển động với vận tốc v 0 ,

####### được đặt nằm ngang ở độ cao

####### h = 5m (Hình1-12). Tính vận tốc

####### chuyển động của băng truyền để

####### vật liệu rơi xuống điểm B cách

####### chân A một đoạn S = 4m.

####### Lấy g = 10m/s

2

####### .

####### HƢỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ

####### 1. a) Quỹ đạo chuyển động là đường elíp.

####### b) v  80  cm / s; a  60  2 cm / s 2

####### 1. x  37m; v = 7,2m/s; a = -2,4m/s

2

####### .

####### 1. a) Đoạn thẳng.

####### b) Đường tròn.

####### 1. a) 8,35s; b) 7,33s; c) 7,82s.

####### 1. Hướng dẫn: v  v 0  a  0  t  50s.

####### Chuyển động của ô tô là chuyển động chậm dần đều với a = -

####### 0,4m/s

2

####### .

s vt at. 0 , 4. 50 500 m 2 1 20. 50 2 1 22  0    

####### 1. Hướng dẫn: Do chuyển động xuống của đầu búa coi như chuyển

####### động rơi tự do nên thời gian đầu búa rơi từ độ cao h là:

s g h t 0 , 7 10 2 2. 2 , 5

####### 1   .

• Thời gian để búa đi lên đến độ cao h: t 2 = 2t 1 = 1,4s.
• Thời gian một lần đập là t = t 1 + t 2 = 2,1s.
• Số lần búa đập trong 1phút là: n = 28 lần. A B v 0 h S Hình 1-12

####### 1. Hướng dẫn: a) Chọn hệ quy chiếu là trục Ox có gốc tại mặt đất,

####### chiều dương hướng lên trên.

####### Phương trình chuyển động của vật rơi tự do: 1 2

2 1

####### x  Hh gt.

####### Phương trình chuyển động của vật ném lên: 2 0 2

1 x v t gt 2

#######  .

####### Nếu hai vật gặp nhau tại độ cao h thì x 1 = x 2 = h.

Từ đó:   0    

2H g t v H h g 2H

####### .

####### b) Khoảng cách giữa hai vật:

t H g x x x H h v t H h H h. 2   1  2 (  ) 0. (  )(  )      H h x (2H 2Hg) 2H

####### .

####### c) Vật ném lên chuyển động chậm dần. Khi lên đến độ cao cực đại

####### thì v = 0.

   2 max (H h) h 4H

####### 1. a) 0,049m; 1,9m; b) 0,45s; 0,05s.

####### 1. S  1625m

####### 1.   4,4 16 ( rad / s ); an 9,68 24 ( m / s ). 2

####### 1. v R. cos  430 m/s.

####### 1. a)  3 , 14 rad /s;v 0 , 314 m/s;

####### b) a n  0 , 985 m/s 2 ;at 0 , 314 m/s 2 ;a an 2 at 2  1 , 03 m/s 2 ;

####### c)   17046 &

039;.

####### 1. -0,21 rad/s

2

####### ;240 vòng

####### 1.

2 2 2 ) 94, 2 / ; 9, 24 / ) 1,57 / ; 0, 246 / ; 0, 292 /. ) 450 t n a rad s v m s b a m s a m s a m s c N       

####### 1. S  19m; R  26,75m.

####### 1. at =8,2m/s

2

####### ; an = 5,4m/s

2

####### ; R  12,97m.

####### 1. a) 2 , 1 ;

2 .sin 2 0 max m g v y   

####### b) 10 ;

.sin 2 2 0 m g v L   

####### c) t = 1.

####### 1. a) 3,16s; b) 41,1m; c) 26,7m/s

####### 1. a) 19,5s; b) 169m;

####### c) y  0 , 58 x 0 , 066 x 2 ; 0 x 169 m; quỹ đạo là môt parabol.

####### 1.   450.

####### 1. t = 1,4s; S = 5,6m.

####### 1. v 0  4 m s/.

####### B. ĐỘNG LỰC HỌC CHẤT ĐIỂM

####### I. Các định luật Newton

####### 1. Định luật Niutơn thứ nhất

####### a) Phát biểu

####### Nếu không có lực ngoài tác dụng vào vật thì nó giữ nguyên trạng

####### thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.

####### Chuyển động với vận tốc giữ nguyên không đổi gọi là chuyển động

####### theo quán tính, và định luật Niutơn thứ nhất còn gọi là định luật quán

####### tính.

####### b) Hệ quy chiếu quán tính

####### Vật chuyển động theo quán tính đang đứng yên hoặc chuyển động

####### thẳng đều trong hệ quy chiếu nào? Một người đang đứng yên trong hệ

####### quy chiếu gắn với toa tầu, người đó bị hất về phía trước đoàn tầu khi

####### đoàn tầu đột ngột hãm máy lại. Trạng thái chuyển động quán tính bị phá

####### vỡ, mặc dù không có lực nào tác dụng vào người đó. Khi đoàn tầu đang

####### chuyển động thẳng đều, hoặc khi nó dừng lại hoàn toàn, trạng thái

####### chuyển động quán tính được giữ nguyên. Như vậy định luật quán tính

####### chỉ nghiệm đúng trong những hệ quy chiếu nào đó. Hệ quy chiếu mà

####### định luật quán tính nghiệm đúng được gọi là hệ quy chiếu quán tính.

####### Niutơn chọn hệ quy chiếu có gốc tại tâm Mặt Trời, và có các trục đi

####### qua ba ngôi sao coi là cố định trên bầu trời. Coi hệ quy chiếu này đứng

####### yên, thì định luật quán tính được nghiệm đúng trong toàn bộ hệ Mặt

####### Trời.

####### Để giải phần lớn các bài toán kĩ thuật với độ chính xác đủ dùng

####### trong thực tế, ta có thể xem hệ quy chiếu gắn liền với Trái Đất là hệ quy

####### chiếu quán tính. (Trừ khi ta xét ở phạm vi rộng như gió hay dòng hải

####### lưu)

####### 2. Định luật Niutơn thứ 2

####### a) Phát biểu

####### 1. Chuyển động của một chất điểm chịu tác dụng của các lực có tổng

####### hợp F 0



####### là một chuyển động có gia tốc.

####### 2. Gia tốc chuyển động của chất điểm tỉ lệ với tổng hợp lực tác dụng

F 

####### và tỉ lệ nghịch với khối lượng của chất điểm ấy:

m F a k   

####### k là một hệ số tỉ lệ phụ thuộc vào các đơn vị sử dụng; trong hệ SI:

####### k = 1 và

m F a  

#######  (2-1)

####### b) Phương trình cơ bản của cơ học chất điểm

####### Phương trình Niutơn: ma F

 

#######  (2-2)

####### là phương trình cơ bản của cơ học chất điểm. Phương trình này thâu

####### tóm cả hai định luật Niutơn I và II.

####### Với định luật Niutơn I: F  a vconst

   0 0

####### Với định luật Niutơn II:  0    0

m F F a   

####### c) Lực tác dụng lên chuyển động cong

####### Gia tốc của chất điểm chuyển động cong được phân tích ra hai thành

####### phần: a a an

     

####### Do đó lực tác dụng lên chất điểm: F ma

  

####### cũng phân tích ra hai thành phần : F  F  Fn (2-3)

####### Trong đó: F ma 

 

#######  gọi là lực tiếp tuyến: lực

####### này gây ra gia tốc tiếp tuyến nghĩa là làm độ

####### lớn vận tốc thay đổi; và Fn  man gọi là lực

####### pháp tuyến, lực này gây ra gia tốc pháp tuyến

####### nghĩa là làm cho vận tốc đổi hướng.

####### Nói cách khác: để cho một chất điểm

####### chuyển động cong, điều kiện cần là phải tác

####### dụng nó một lực hướng tâm có độ lớn bằng:

R v F n man m 2

#######   (2-4)

####### 3. Định luật Niutơn thứ ba

####### Thực nghiệm chứng tỏ rằng không bao giờ có tác dụng một phía.

####### Khi vật A tác dụng lên vật B thì ngược lại vật B cũng tác dụng lệ vật A.

####### Ta nói chúng tương tác với nhau.

####### Định luật Niutơn thứ ba xét mối liên hệ giữa các tương tác của hai

####### vật.

####### Phát biểu: Khi chất điểm A tác dụng lên chất điểm B một lực F



####### thì

####### chất điểm B cũng tác dụng lên chất điểm A một lực F



#######  : hai lực F



####### và F

 

####### tồn tại đồng thời cùng phương, ngược chiều và cùng cường độ.

####### Nói cách khác, tổng hình học các lực tương tác giữa hai chất điểm

####### bằng không: F  F 0

  Hình 2-1

####### Chú ý rằng tuy tổng của hai lực F



####### và F



#######  bằng không nhưng tác dụng

####### của chúng không khử nhau vì điểm đặt của chúng khác nhau.

####### II. Các định lí về động lƣợng

####### 1. Khái niệm về động lƣợng

####### a) Định nghĩa

####### Động lượng của chất điểm là đại lượng véc tơ được xác định bằng

####### tích số giữa khối lượng và véc tơ vận tốc.

K m v  

#######  (2-5)

####### Đơn vị của động lượng: kg. m

s

####### b) Ý nghĩa

####### Véc tơ vận tốc là một đặc trưng cơ bản của chuyển động về mặt

####### động lực. Nhưng về mặt động lực học, khi khảo sát chuyển động của

####### các vật, ta không thể xét riêng vận tốc mà không để ý đến khối lượng

####### của chúng, vì rằng vận tốc có liên quan chặt chẽ với khối lượng (đối với

####### một lực tác dụng nhất định). Nói cách khác, vận tốc không đặc trưng

####### cho chuyển động về mặt động lực. Chính động lượng, đại lượng kết hợp

####### cả khối lượng và vận tốc, mới đặc trưng cho chuyển động về mặt động

####### lực học.

####### Có thể nêu một thí dụ minh hoạ điều này. Giả thiết có một quả cầu

####### khối lượng m 1 chuyển động với vận tốc v  1 đến đập thẳng vào một quả

####### cầu khối lượng m 2 ban đầu đứng yên. Sau va chạm giả thiết quả cầu thứ

####### hai chuyển động với vận tốc v  2. Thực nghiệm chứng tỏ rằng nói chung

v 1 v 2  

#######  và v 2

#######  không những phụ thuộc

v 1

#######  mà còn phụ thuộc m

####### 1 , nói đúng

####### hơn là phụ thuộc vào động lượng K 1 m 1 v 1



#######  của quả cầu thứ nhất. Như thế

####### nghĩa là sự truyền chuyển động do va chạm của quả cầu thứ nhất đến

####### quả cầu thứ hai phụ thuộc vào động lượng của quả thứ nhất. Cụ thể

####### người ta thấy v  2 càng lớn khi K 1



####### càng lớn. Vậy trong các hiện tượng va

chạm động lượng là một đại lượng đặc trưng cho khả năng truyền

chuyển động.

2. Khái niệm xung lƣợng của lực

a) Định nghĩa

Có lực F tác dụng vào một chất điểm trong thời gian dt thì đại lượng

ds  F dt. được gọi là xung lượng nguyên tố của lực F.

Đại lượng:

2

1

t

t

s   Fdt (2-6)

Gọi là xung lượng của lực F trong khoảng thời gian  t t 2 t 1

Nếu lực F không đổi theo thời gian thì

2 2

1 1

t t

t t

s   Fdt  F dt  F. t

Hay s  F. t (2-7)

Vậy, xung lượng của lực là đại lượng véc tơ được xác định bằng tích

số giữa lực tác dụng và thời gian tác dụng của lực.

b) Ý nghĩa

Xung lượng của một lực trong khoảng thời gian t đặc trưng cho tác

dụng của lực trong khoảng thời gian đó. Quả vậy, ta thấy rằng tác dụng

của lực không những phụ thuộc vào cường độ lực mà còn phụ thuộc

thời gian tác dụng. Cùng một lực nhưng thời gian tác dụng lâu thì động

lượng của vật biến thiên nhiều và ngược lại, nếu thời gian tác dụng rất

ngắn thì dù lực lớn, động lượng cũng biến thiến ít.

3. Thiết lập các định lí về động lƣợng

a) Định lí 1

Theo định luật Niutơn thứ hai, nếu một chất điểm khối lượng m chịu

tác dụng của một lực F (hay của nhiều lực) thì sẽ có gia tốc a



cho bởi:

ma F

 



Ta có thể viết: F

dt

dv

m







####### Khi m không đổi: F

dt d mv    ( )

####### Vectơ K mv

#######  

#######  là vectơ động lượng của chất điểm.

####### Vậy: F

dt dK  

#######  (2-8)

####### Định lí 1. Đạo hàm động lượng của một chất điểm đối với thời gian

####### có giá trị bằng lực (hay tổng hợp các lực) tác dụng lên chất điểm đó.

####### b) Định lí 2

####### Từ (2-8) ta suy ra: dK F

 

#######  (2-9)

####### Tích phân hai vế của (2-9) trong khoảng thời gian từ t 1 đến t 2 ứng

####### với sự biến thiên của động lượng từ K 1



####### đến K 2



####### ta được:

    

2 1 2 1. t t K K K F dt    

####### (2-10)

####### Theo định nghĩa tích phân của lực F theo t từ t 1 đến t 2 gọi là xung

####### lượng của F trong khoảng thời gian đó.

####### Phát biểu: Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một

####### khoảng thời gian nào đó có giá trị bằng xung lượng của lực (hay tổng

####### hợp lực) tác dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó.

####### Trong trường hợp F không đổi theo thời gian, (2-10) thành: K F.t

 

####### hay F

####### T

####### K 

####### 

####### 

####### 

####### 

####### (2-11)

####### Theo (2-11) ta có thể phát biểu:

####### Độ biến thiên động lượng của chất điểm trong đơn vị thời gian có

####### giá trị bằng lực tác dụng lên chất điểm đó.

####### Các định lí về động lượng là những phát biểu tương đương của

####### phương trình Niutơn, nhưng ở các chương sau ta thấy khi ra khỏi phạm

####### vi của cơ học Niutơn các công thức (2-8) (2-11) vẫn đúng. Vì vậy ta có

####### thể nói rằng về một mặt nào đó các định lí về động lượng tổng quát hơn

####### định luật Niutơn.

####### III. Ứng dụng phƣơng trình cơ bản của cơ học

####### để khảo sát chuyển động của các vật

####### 1. Lực đàn hồi

####### Xét một lò xo kim loại, một đầu cố

####### định và đầu kia gắn với một chất điểm.

####### Giả sử khi lò xo chưa bị nén hay dãn,

####### chất điểm ở vị trí cân bằng O. Chọn trục x

####### nằm dọc theo trục của lò xo có gốc ở O. Ta

####### kéo chất điểm đến vị trí có tọa độ x rồi thả để chất điểm chuyển động

####### dưới tác dụng của lực đàn hồi F. Theo định luật Húc (Hookes), trong

####### phạm vi giới hạn đàn hồi thì lực đàn hồi tỉ lệ với độ biến dạng và hướng

####### theo chiều chống lại sự biến dạng đó:

####### F  kxi (2-12)

####### Trong đó i là véc tơ đơn vị trên trục x , k là hệ số đàn hồi.

####### 2. Lực ma sát

####### Khi một vật rắn chuyển động, ở mặt tiếp xúc giữa nó và các vật

####### khác, hoặc giữa nó và môi trường lỏng bao quanh nó xuất hiện những

####### lực ngăn cản chuyển động, gọi là lực ma sát.

####### Lực ma sát giữa vật rắn chuyển động và môi trường lỏng xung

####### quanh gọi là lực nhớt. Lực ma sát giữa hai vật rắn tiếp xúc nhau gọi là

####### lực ma sát khô. Có ba loại ma sát khô: ma sát nghỉ, ma sát trượt và ma

####### sát lăn.

####### a) Ma sát nghỉ

####### Xét một vật nằm trên một mặt phẳng nằm ngang. Tác dụng lên vật

####### một lực F song song với mặt tiếp xúc. Nếu lực khá nhỏ, vật vẫn chưa

####### chuyển động. Nguyên nhân là do phần tiếp xúc của mặt nằm ngang đã

####### tác dụng lên vật một lực bằng và ngược chiều với F , gọi là lực ma sát

####### nghỉ. Nếu tăng dần lực tác dụng thì lực ma sát nghỉ cũng tăng dần, vật

####### vẫn chưa chuyển động được. Khi lực tác dụng đạt tới một giá trị giới hạn

O x F x Hình 2-2

####### Fo, lực ma sát nghỉ cũng đạt tới giá trị Fo. Nếu tiếp tục tăng lực tác dụng

####### cho lớn hơn Fo thì lực ma sát nghỉ không tăng nữa và vật bắt đầu chuyển

####### động.

####### Thực nghiệm chứng tỏ khi ma sát nghỉ đạt tới giá trị giới hạn thì Fo tỉ

lệ với áp lực vuông góc lên mặt tiếp xúc giữa hai vật: Fo = N

#######  gọi là hệ số ma sát nghỉ, nó phụ thuộc vào tính chất vật liệu và

####### trạng thái bề mặt tiếp xúc của các vật.

####### b) Ma sát trượt

####### Khi hai vật tiếp xúc nhau và trượt đối với nhau thì ở mặt tiếp xúc

####### xuất hiện lực ma sát trượt, có xu hướng ngăn cản sự trượt đó. Lực ma

####### sát trượt phụ thuộc trạng thái mặt tiếp xúc và phụ thuộc cả vận tốc

####### chuyển động tương đối giữa hai vật. Nếu vận tốc đó không lớn lắm, có

####### thể coi lực ma sát trượt không đổi và bằng lực ma sát nghỉ cực đại:

####### Fms = N (2-13)

####### Lực ma sát trượt có phương tiếp tuyến với mặt tiếp xúc và có chiều

####### ngược với vận tốc vật.

####### 3. Bài toán thí dụ

####### Xác định gia tốc chuyển động của hệ hai vật A, B và sức căng của

####### dây kéo hai vật đó (hình 2- 3). Biết hai vật lần lượt có khối lượng mA,

####### mB trượt không ma sát trên mặt phẳng nghiêng góc  với phương nằm

####### ngang,

####### khối lượng ròng rọc và dây căng không đáng kể.

####### Phân tích ngoại lực tác dụng lên hệ.

• Trong lực PB 

####### của vật B

• Trọng lực PA 

####### của vật A

• Phản lực pháp tuyến N của mặt phẳng nghiêng

####### Trọng lực PA



####### của vật A phân tích ra 2 thành phần: PA  P 1 P 2

####### trong đó P 2  N 0

  Hình 2- 3

####### Vậy, các ngoại lực tác dụng lên hệ A + B còn lại là PB



####### và P 1



####### , do tác

####### dụng của ròng rọc hai lực PB



####### và P 1



####### tác dụng lên hệ theo cùng phương

####### nhưng ngược chiều. Ta so sánh độ lớn của hai lực đó:

####### PB  mB g; P 1 PA sin mAgsin 

####### Nếu mBg < mAgsin  nghĩa là

A B m m

####### < sin thì gia tốc của hệ theo

####### hướng P 1



####### và có độ lớn:

 

B A A B m m m m g a    sin 

####### Để tính sức căng của dây ta xét một điểm M (thực nghiệm chứng tỏ

####### nếu khối lượng ròng rọc không đáng kể, sức căng của dây có độ lớn như

####### nhau tại mọi điểm trên dây): muốn tính sức căng tại M ta tưởng tượng

####### dây bị cắt tại đó. Muốn cho dây căng đảm bảo cho hai vật A, B vẫn

####### chuyển động với gia tốc a như cũ, ta phải tác dụng lên hai nhánh của

####### dây ở M những sức căng T



####### và T



#######  (cùng độ lớn, ngược chiều nhau) xét

####### riêng vật A: lực tác dụng lên A gồm P 1



####### và T



####### .

####### Phương trình cơ bản của cơ học áp dụng đối với vật A cho:

mAa P T     1 

####### Xét trường hợp a



####### hướng theo P 1



####### khi đó: m A aP 1 TmAgsin T

####### suy ra: T gmA sin mAa

####### Ta thay:

 

B A A B m m m m g a    sin 

####### vào biểu thức của T và được kết quả:

g m m m m T A B A B ( 1 sin )  

####### Kết quả này vẫn đúng khi a



####### hướng theo PB



####### .

####### IV. Mô men động lƣợng

####### 1. Mô men lực

####### Để đặc trưng cho tác dụng của lực trong chuyển động quay ,người ta

####### định nghĩa: Mô men của lực F đối với điểm O là véc tơ M được xác

####### định bằng hệ thức: M  r  F (2-14)

####### Trong đó r là bán kính véc tơ nối gốc O với điểm đặt của lực. Theo

####### (2-14) mô men lực là đại lượng véc tơ có:

• Gốc tại O.
• Phương vuông góc với mặt phẳng

####### chứa các véc tơ r và F.

• Chiều hợp với các véc tơ r và F

####### thành một tam diện thuận: M có chiều

####### tiến của cái vặn nút chai khi quay vặn nút

####### chai theo chiều từ véc tơ r sang véc tơ F

####### theo góc quay nhỏ nhất.

• Mô đun của lực M là:

####### M  r F. .sin   F h. (2-15)

####### trong đó h là khoảng cách từ O đến giá của lực gọi là cánh tay đòn của

####### lực F đối với điểm O.

####### Đơn vị của mô men lực là Niutơn-mét : (N)

####### 2. Mô men động lƣợng của chất điểm

####### Giả sử có một chất điểm m chuyển động với vận tốc v , vị trí của chất

####### điểm được xác định bởi véc tơ r kẻ từ

####### điểm O đến chất điểm đó. Người ta định

####### nghĩa: Mô men động lượng của chất

####### điểm đối với điểm O là véc tơ L xác định

####### bằng hệ thức:

####### L  r  K (2-16)

####### Theo (2-16) mô men động lượng L

####### là đại lượng véc tơ có :

• Gốc tại O
• Phương vuông góc với mặt phẳng chứa các véc tơ r và K.
• Chiều hợp với các véc tơ r và K thành một tam diện thuận: L có M h O F r Hình 2-4 m O L K F Hình 2-5

34

####### chiều tiến của cái vặn nút chai khi quay vặn nút chai theo chiều từ véc

####### tơ r sang véc tơ K theo góc quay nhỏ nhất.

• Mô đun của mô men động lượng là: L  r K. .sin   r m v.. .sin (2-17)

####### Đơn vị của mô men động lượng là kilôgam mét bình phương trên

####### giây: (kg

2

####### /s).

####### 3. Định lí về mô men động lƣợng

####### Đạo hàm hai vế của (2-16) đối với thời gian ,ta được:

 

dL d dr dK r K K r dt dt dt dt                 

####### (*)

Vì dr K  v mv  0

dt         

và r dK  r F  M

dt         

####### ,

####### nên từ (*) ta có:

dL M dt

#######  (2-

####### 18)

####### Đạo hàm bậc nhất theo thời gian mô men động lượng của chất

####### điểm đối với một điểm nào đó bằng tổng mô men đối với điểm đó của

####### các lực tác dụng lên chất điểm.

####### Khi M = 0 thì

dL 0 L const dt

#######    (2-19)

####### Có thể có hai trường hợp: F = 0; hoặc r và F cùng giá, tức là F là

####### một lực xuyên tâm, giá của F luôn luôn đi qua điểm O. Vậy: Khi lực tác

####### dụng lên chất điểm có mô men bằng không đối với một điểm nào đó, thì

####### mô men động lượng của chất điểm đối với điểm đó không đổi.

####### V. Chuyển động tƣơng đối và nguyên lí Galilê

####### 1. Không gian và thời gian theo cơ học cổ điển

####### Cơ học cổ điển xây dựng trên cơ sở những

####### quan điểm của Niutơn về không gian, thời gian

Hình .2-6

####### và chuyển động. Để cụ thể, chúng ta hãy xét hai hệ toạ độ: một hệ

####### Oxyz đứng yên một hệ O&

039;x&

039;y&

039;z&

039; chuyển động so với hệ O; để đơn giản

####### ta giả thiết chuyển động của hệ O&

039; thực hiện sao cho O&

039;x&

039; luôn luôn

####### trượt dọc theo Ox&

039;; O&

039;y&

039; song song và cùng chiều với Oy; O&

039;y&

039; song

####### song và cùng chiều với Oz (hình 2-6). Với mỗi hệ toạ độ ta gắn vào

####### một đồng hồ để chỉ thời gian. Ta hãy xét một điểm M bất kỳ: tại một

####### thời điểm chỉ bởi đồng hồ của hệ O, M có toạ độ trong hệ O, là x, y, z;

####### các toạ độ thời gian và không gian tương ứng của M trong hệ O&

039; là t&

039;,

####### x&

039;, y&

039;, z&

039;. Theo các quan điểm của Niu tơn:

####### a) Thời gian chỉ bởi các đồng hồ trong hai hệ O và O&

039; là như nhau:

####### t = t&

039; (2 -20)

####### Nói cách khác: thời gian có tính tuyệt đối không phụ thuộc hệ quy

####### chiếu

####### b) Vị trí của M trong không gian được xác định tuỳ theo hệ quy

####### chiếu: cụ thể là các toạ độ không gian của M phụ thuộc hệ quy chiếu; rõ

####### ràng theo hình (2-11) ta có:

####### x  x&

039; OO &

039;; y = y&

039;; z = z&

039; (2 -21)

####### Như vậy: vị trí không gian có tính chất tương đối phụ thuộc hệ quy

####### chiếu. Do đó: chuyển động có tính tương đối, phụ thuộc hệ quy chiếu.

####### c) Khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong không gian là một đại

####### lượng không phụ thuộc hệ quy chiếu. Giả thiết có một cái thước AB đặt

####### dọc theo trục O&

039;x&

039;, gắn liền với hệ O&

039;. Chiều dài của thước đo trong hệ

####### O&

039; cho bởi: lo x&

039; Bx&

039;A

####### nhưng theo (2-15) thì: x A  OO   xA; x B  OO  xB

 xB xAx&

039;B x&

039;A

####### nghĩa là: l = lo

####### Nói cách khác: khoảng không gian có tính tuyệt đối, không phụ

####### thuộc hệ quy chiếu.

####### d) Chúng ta xét một trường hợp riêng: chuyển động của hệ O&

039; là

####### thẳng và đều. Nếu tại t = 0, O&

039; trùng với O thì: OO  V t.

####### V là vận tốc chuyển động của hệ O&

039;. Theo (2-14) và (2-15) ta suy ra:

####### x  x&

039; Vt&

039;,yy&

039;,zz&

039;,tt&

039; , (2-22)

####### và ngược lại x&

039;  xVt,y&

039;y,z&

039;z,t&

039;t. (2-23)

####### Các công thức (2-22) và (2-23) gọi là các phép biến đổi Galilê

####### (Galileo Galilei): chúng cho ta cách chuyển các toạ độ không gian, thời

####### gian từ hệ quy chiếu O&

039; sang hệ quy chiếu O và ngược lại.

####### 2. Tổng hợp vận tốc và gia tốc

####### Vì chuyển động có tính chất tương đối, nên vận tốc và gia tốc

####### chuyển động của một chất điểm phụ thuộc hệ quy chiếu. Chúng ta hãy

####### tìm những công thức liên hệ vận tốc và gia tốc của một chất điểm M

####### đối với hai hệ toạ độ Oxyz và O'x'y'z' khác nhau. Giả thiết hệ O'x'y'z'