Sau khi học xong chương này, sinh viên có khả năng: - Hiểu ý nghĩa và sự cần thiết ổn định hệ thống. - Biết cách xét tính ổn định bằng phương pháp trực tiếp, gián tiếp. - Phát biểu tiêu chuẩn ổn định Routh, Hurwitz và vận dụng thực tế. - Phát biểu tiêu chuẩn ổn định Nyquist, Bode và vận dụng thực tế.. - Biết cách xác định độ dự trữ biên, dự trữ pha dựa vào biểu đồ Nyquist, Bode. - Hiểu biết về quỹ đạo nghiệm : ý nghĩa, quy tắc vẽ, ứng dụng thực tế. Show 4 Khái niệm Ổn định là chỉ tiêu cơ bản của hệ thống điều khiển tự động. Một hệ thống muốn sử dụng được thì trước hết phải đạt yêu cầu về ổn định. Tính ổn định đặc trưng cho khả năng duy trì được trạng thái cân bằng của hệ khi chịu các tác động từ bên ngoài. Do có hai nguồn tác động từ bên ngoài mà ta thường quan tâm là tín hiệu vào và tín hiệu nhiễu nên tương ứng cũng có hai định nghĩa về ổn định.
Xét hệ thống tuyến tính có tín hiệu vào r(t), tín hiệu ra y(t), được mô tả bằng phương trình vi phân : n n1 m m n n n1 n1 0 m m m1 m1 0 d y(t) d y(t) d r(t) d r(t) a a ... a y(t) b b ... b r(t) dt dt dt dt −− +−−−− = + Đáp ứng của hệ thống xác định bằng nghiệm y(t) bao gồm hai thành phần: y(t) = y 0 (t) + yqđ(t) y 0 (t) là nghiệm riêng của phương trình khi có vế phải, đặc trưng cho quá trình xác lập. yqđ(t) là nghiệm tổng quát của phương trình khi vế phải bằng 0, đặc trưng cho quá trình quá độ. Nghiệm riêng y 0 (t) phụ thuộc tác động đầu vào. Nếu tác động đầu vào là hữu hạn thì y 0 (t) cũng hữu hạn nên nó luôn là một thành phần ổn định. Để xét tính ổn định của hệ thống ta chỉ cần xét đáp ứng quá độ. Đáp ứng quá độ có dạng tổng quát : yqđ(t) = i n st i i Ce ∑trong đó: Ci là hằng số phụ thuộc vào thông số của hệ và điều kiện đầu (trạng thái đầu). si (i=1,2,...,n) là nghiệm của phương trình đặc tính:n n a sn an1s ... a 0 0 − +− ++ = si còn gọi là cực của hệ thống.si có thể là số thực (si = αi) hay số phức (si = αi ±jωi). Từ phân tích nêu trên, ta có cách định nghĩa khác về hệ ổn định: Một hệ thống tuyến tính được gọi là ổn định nếu quá trình quá độ tắt dần theo thời gian. Hệ thống không ổn định nếu quá trình quá đ ộ tăng dần. Hệ thống ở giới hạn ổn định, nếu quá trình quá độ không đổi, hoặc dao động với biên độ không đổi. Như vậy, hệ ổn định nếu : i n st tti i limyqñ(t) lim C e 0 →∞ →∞ = \= ∑ =Xét các trường hợp cụ thể ta thấy : 0 nếu αi < 0 → hệ ổn địnhCi nếu αi = 0, ωi =0 → hệ ở giới hạn ổn định Aisin(ωit+∅i) nếu αi = 0, ωi ≠ 0 → hệ ở giới hạn ổn định ∞ nếu αi > 0 → hệ không ổn định
Hình 4 Các dạng quá trình quá độ Kết luận :
Hình 4 Phân bố nghiệm trên mặt phẳng phức s Từ các phân tích trên, ta thấy phương pháp trực tiếp để đánh giá tính ổn định của hệ thống là giải phương trình đặc tính rồi xét dấu phần thực của nghiệm hoặc xét sự phân bố nghiệm trên mặt phẳng phức. αi > 0 t yqđ(t) i sti t lim C e →∞ \= αi = 0 yqđ(t) t αi < 0 yqđ(t) t Re Im Miền không ổn định 0 αi > 0 Miền ổn định αi < 0
Phát biểu : của định thức đó rồi đem chia cho giá trị ở cột 1 của hàng liền trước hàng đang tính.
Nhận xét:
Ví dụ 4. Xét hệ thống có phương trình đặc tính s 4 + 2s 3 + 5s 2 + 4s +1 = 0 Lập bảng Routh: 1 5 1 2 4 0 1 15 24 2(5) 1(4) c 22 − − = = = 2 11 20 2(1) 1( 0) c 22 − − = = = 0 1 24 31 3(4) 2(1) 10 d 3 33 − − = = = 2 20 30 d 3 − = = 0 1212 1 1 ed (c ) c (0) c d \= − = = e 2 = 0 0 Vì các phần tử ở cột 1 đều dương nên hệ thống ổn định. Tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính đều là nghiệm trái. Ví dụ 4. Xét hệ thống có phương trình đặc tính 2s 5 +6s 4 + s 3 + 5s 2 + s + 4 = 0 Lập bảng Routh: (các ô trống được xem là bằng 0) 2 1 1 6 5 4 -2/3 -1/3 0 2 4 0 1 0 4 Các hệ số ở cột 1 không cùng dấu nên hệ không ổn định. Hơn nữa chúng đổi dấu hai lần (từ 6 qua -2/3 và từ -2/3 qua 2 ) nên phương trình đặc tính có 2 nghiệm phải, 3 nghiệm còn lại là nghiệm trái. Ví dụ 4. Cho hệ thống có sơ đồ khối như hình (4). Hãy xác định khoảng giá trị của tham số K để hệ thống ổn định. 21 G(s) s ( 2s 1)(s s 1) \=+ ++ Hình 4. Giải. Hàm truyền của hệ kín: Gk(s) = K (s) 1 K (s)+ Phương trình đặc tính của hệ kín: 1+ K(s) = 0 ⇔ 2 K10 s ( 2s 1)(s s 1) +=+ ++ ⇔ 2s 4 + 3s 3 + 3s 2 + s + K = 0 Bảng Routh: 2 3 K 3 1 0 7/3 K 1 – (9/7)K 0 K Theo tiêu chuẩn Routh, điều kiện để hệ thống ổn định là: 1 (9 / 7)K 07 0K K0 9 −> ⇔ << > Các trường hợp đặc biệt Ngay khi ở cột 1 bảng Routh có hệ số bằng 0 ta có thể kết luận là hệ thống không ổn định. Tuy nhiên để xác định rõ số nghiệm phải, trái và/hoặc số nghiệm ảo thì cần xem xét tiếp như sau: Trư ờng hợp 1 : Nếu hệ số ở cột 1 của hàng nào đó bằng 0, nhưng các hệ số còn lại của hàng đó khác 0 thì ta thay hệ số bằng 0 đó bằng số ε dương nhỏ tuỳ ý và tiếp tục tính. Ví dụ 4. Xét hệ thống có phương trình đặc tính : s5 43 2+ + + + +=2s 3s 6s 5s 6 0 Lập bảng Routh : 1 3 5 2 6 6 0 ⇒ ε >0 2 d 1 6 0 e 1 0 6 G(s)R(s) Y(s) K Các vị trí còn trống được điền số 0. 11357 20246 3 135 4 024 nn Haaaa 0 Haaaa 0 H 0a a a 0 H 0a a a 0 H0 a Phát biểu :
n n HHH, ,,HH H− bằng số nghiệm có phần thực dương (nghiệm phải). Ví dụ 4. Xét hệ thống bậc ba có phương trình đặc tính : a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = 0 Để hệ ổn định ta phải có a 0 , a 1 , a 2 , a 3 >0 và các định thức Hurwitz: Ha0 11 = > 13 2 12 03 02 aa H aa a a 0 aa \= =−> 13 3 1 13 3 0 2 1 3 32 2 0 02 13 aa 0 a0 a0 aa H a a 0 0 a a aH 0 a0 a0 aa 0a a \= =−+ => Tóm lại, hệ bậc ba ổn định nếu: a 0 , a 1 , a 2 , a 3 > 0 aa 12 −>a a 03 0 Ví dụ 4. Xét hệ thống bậc bốn có phương trình đặc tính : a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1 s + a 0 = 0 Để hệ ổn định ta phải có a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 >0 và: Ha0 11 = > 2131203 02 aa H aa a a 0 aa \= =−> 13 2 3 024 31203 14 13 aa 0 H a a a a(aa aa) a a 0 0a a \= = −−> 13 024 4 43 13 024 aa 00 aaa 0 H aH 0 0a a 0 0a a a \= = > Tóm lại, hệ bậc bốn ổn định nếu: a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , a 4 > 0 a(aa aa) a a 03 12−−> 03 1 4 2 Nhận xét:
A (s) a s 1 = +nn an1−sn1− ++ + =... a s a 1 0 0 (1) A (s) a s 2 = + ++ + = 0 n a s 1 n1− ... an1−s an 0 (2) Ta thấy A (s) s A (s ) 21 = n1−. Vì vậy nếu si(i=1,2,...,n) là nghiệm của phương trình (1) thì si− 1 sẽ là nghiệm của phương trình (2). Nhưng vì si và si− 1 luôn có phần thực cùng dấu nhau nên nếu hệ có phương trình đặc tính (1) ổn định thì hệ có phương trình đặc tính (2) cũng ổn định. Tương tự ta có điều ngược lại. Do đó : Các đ ịnh thức Hurwitz và bảng Routh đã trình bày trong chương này có thể áp dụng để xét ổn định cho các hệ thống có phương trình đặc tính dạng (1) hoặc (2) đều được. 4 Tiêu chuẩn ổn định tần số Tiêu chuẩn ổn định tần số dựa trên các biểu đồ đặc tính tần số để xét tính ổn định của hệ thống. 4.3 Nguyên lý góc quay Xét phương trình đặc tính bậc n có các nghiệm si (i=1,2,...,n) : a snn+an1−sn1− ++ + =... a s a 1 0 0 Đa thức đặc tính ở vế trái có thể viết dưới dạng: A(s) a (s s )(s s )...(s s )=−− −n1 2 n Thay s=jω ta được đa thức đặc tính tần số: A(j ) a (jω = ω− ω−n1 2s )(j s )...(jω−s )n Mỗi số phức có thể biểu diễn trên mặt phẳng phức bằng một điểm hoặc một véctơ. Ví dụ nghiệm si =αi+jωi có thể biểu diễn bằng điểm si có toạ độ (αi,jωi) hoặc vectơ si có gốc trùng với gốc toạ độ, thành phần (jω-si) biểu diễn bằng vectơ có gốc ở điểm si và ngọn nằm trên trục ảo (xem hình 4). Khi ω thay đổi, độ dài và góc của véctơ (jω-si) cũng thay đổi theo. Nếu quy ước chiều quay dương là chiều ngược kim đồng hồ thì khi ω thay đổi từ -∞ đến +∞ , mỗi véctơ thành phần (jω-si) sẽ quay một góc là +π nếu nghiệm tương ứng nằm bên trái trục ảo, là -π nếu nghiệm tương ứng nằm bên phải trục ảo, là 0 nếu nghiệm tương ứng nằm trên trục ảo. m i i1 0 arg ( j s ) m = <ω<∞ 2 π ∑ ∆ ω− =−nm i i1 0 arg ( j s ) (n m) 2 − \= <ω<∞ π ∑ ∆ ω− = −nm m ii 00 0i1 i arg A( j ) arg ( j s ) arg ( j s ) (n 2m) 2 − <ω<∞ = <ω<∞ = <ω<∞ π ∆ ω =∑∑∆ ω− + ∆ ω− = −4.3 Tiêu chuẩn Mikhailov Phát biểu: Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính bậc n ổn định là đường đặc tính A(jω) xuất phát từ trục thực dương và quay n góc phần tư (nói cách khác là bao gốc toạ độ một góc bằng n π/2 ) theo chiều ngược kim đồng hồ khi ω thay đổi từ 0 đến +∞. Chứng minh: Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính :A(s) a s= +nn an1−sn1− ++ + =... a s a 1 0 0 Đa thức đặc tính tần số: A(j ) a (j )ω= ω +n n an1−(j )ω + + ω+n1− ... a (j ) a 1 0 Điều kiện cần để hệ ổn định là các hệ số của phương trình đặc tính phải dương. Do đó khi ω=0 thì A( j ) aω= > 0 0 , tức là đường đặc tính A(jω) phải xuất phát từ điểm (a 0 , j0) nằm ở nửa trục thực dương. Hệ thống bậc n ổn định nếu tất cả n nghiệm đều nằm bên trái trục ảo. Theo nguyên lý góc quay ta có điều phải chứng minh: 0 n arg A( j ) <ω<∞ 2 π ∆ ω= Hình 4. Minh hoạ tiêu chuẩn Mikhailov.Nhận xét:
A(j ) a (j )ω= ω +n n an1−(j )ω + + ω+n1− ... a (j ) a 1 0 \= ω+ ωP() jQ() Im n= n= 5 n= 3 n= 4 n= 2 ω=0 Re a 0 ω→∞ Re Hệ không ổn định Im ω= n= 4 ω→∞ Hệ ổn định Sau đó cho ω biến thiên từ 0 đến +∞ , tính các giá trị P(ω) và Q(ω) tương ứng rồi thể hiện trên đồ thị.Việc xây dựng đường đặc tính A(jω) của các đa thức A(s) có bậc cao là phức tạp hơn nhiều so với các tính toán đại số ở tiêu chuẩn Routh- Hurwitz. Chính vì hạn chế này mà tiêu chuẩn Mikhailov ít được dùng trong thực tế. 4.3 Tiêu chuẩn Nyquist Tiêu chuẩn Nyquist xét tính ổn định của hệ thống kín hồi tiếp âm thông qua biểu đồ Nyquist của hệ thống hở. Tiêu chuẩn này rất hữu dụng vì trong thực tế có nhiều hệ thống phức tạp, rất khó xác định được mô hình toán, trong khi đáp ứng tần số thì có thể thu được từ thực nghiệm. Một ưu điểm khác là tiêu chuẩn Nyquist áp dụng thuận lợi cho cả hệ thống có khâu trễ. Xét hệ kín hồi tiếp âm như trên hình 4. Nếu ngắt mạch phản hồi ở ngay trước bộ so ta có hệ vòng hở ( thư ờng gọi tắt là hệ hở) như hình 4.
Hình 4. Hệ kín và hệ hở tương ứng Phát biểu: a) Hệ kín ổn định nếu hệ hở ổn định và đường Nyquist của hệ hở không bao điểm (-1,j0). b) Hệ kín ổn định nếu hệ hở không ổn định và đường Nyquist của hệ hở bao điểm (-1,j0) một góc bằng mπ theo chiều ngược kim đồng hồ khi ω thay đổi từ 0 đến +∞ ; với m là số nghiệm phải của phương trình đặc tính hệ hở. Điểm (-1,j0) gọi là điểm tới hạn, nếu đường Nyquist hệ hở đi qua điểm này thì hệ kín ở giới hạn ổn định. Hình 4 Miền bao của biểu đồ Nyquist Hình 4 Minh hoạ tiêu chuẩn Nyquist cho ba trường hợp hệ hở ổn định và kết quả: (1) Hệ kín ổn định (2) Hệ kín ở giới hạn ổn định (3) Hệ kín không ổn định Re (-1,j0) Im ω= ω=∞ (1) (2) (3) G(s)R(s) Y(s) Yh(s) H(s)R(s) Y(s) Yh(s) G(s)H(s)-1 Re Im - Im Re k 0 n arg A ( j ) <ω<∞ 2 π ∆ ω= Khi đó góc quay của vectơ 1+G(jω): [ ] k0 00 nn arg 1 G( j ) arg A ( j ) arg A( j ) 0 <ω<∞ <ω<∞ <ω<∞ 22 ππ ∆ + ω =∆ ω−∆ ω = − = Góc quay của vectơ 1+G(j ω ) bằng 0 đồng nghĩa với phát biểu: Đ ường Nyquistcủa hệ hở không bao điểm (- 1,j0).
Hệ hở không ổn định nên phương trình đặc tính hệ hở A(s)=0 có ít nhất một nghiệm nằm bên phải trục ảo. Giả sử có m nghiệm nằm bên phải trục ảo và (n-m) nghiệm nằm bên trái trục ảo. Theo nguyên lý góc quay ta có: 0 arg A( j ) m (n m) (n 2m) <ω<∞ 22 2 ππ π ∆ ω=− + − = − Hệ kín muốn ổn định thì: k 0 n arg A ( j ) <ω<∞ 2 π ∆ ω= Khi đó góc quay của vectơ 1+G(jω): [ ] k0 00 arg 1 G( j ) arg A ( j ) arg A( j ) n (n 2m) m <ω<∞ <ω<∞ <ω<∞ 22 ππ ∆ + ω =∆ ω−∆ ω = − − = π Điều này đồng nghĩa với phát biểu: Đư ờng Nyquist của hệ hở bao đi ểm (-1 ,j0) một góc bằng m π theo chiều ngược kim đ ồng hồ (chiều dương) khi ω thay đ ổi từ 0đến + ∞.Chú ý:
Ví dụ 4. Cho hệ hở có hàm truyền: 5 10 G(s) (s 3)(s 1, 24) \=++ và biểu đồ Nyquist hệ hở như hình bên cạnh. Hãy dùng tiêu chuẩn Nyquist để xét tính ổn định của hệ kín tương ứng. Giải. Phương trình đặc tính hệ hở : (s 3)(s 1, 24)++ = 50
Re Im
Im 0 π 1+G(jω) ω=0 ω=∞ Phương trình có một nghiệm s =-3 và năm nghiệm s=-1,24. Các nghiệm này đều âm nên hệ hở ổn định. Hệ hở ổn định và đường Nyquist hệ hở không bao điểm (-1; j0) nên theo tiêu chuẩn Nyquist, hệ kín tương ứng cũng ổn định. Ví dụ 4. Cho hệ hở có hàm truyền: G(s) 43 ( 0, 8s 1)(s 1) \= +− và biểu đồ Nyquist hệ hở như hình bên cạnh. Hãy dùng tiêu chuẩn Nyquist để xét tính ổn định của hệ kín tương ứng. Giải. Phương trình đặc tính hệ hở : ( 0, 8s 1)(s 1)+ −= 30 Phương trình này có : một nghiệm thực âm s =- 1,25 và ba nghiệm thực dương s=1 nên hệ hở không ổn định. Hệ hở không ổn định và đường Nyquist hệ hở bao điểm (-1; j0) một góc là π (≠ 3 π) theo chiều ngư ợc kim đồng hồ khi ω thay đổi từ 0 đến ∞ nên theo tiêu chuẩn Nyquist, hệ kín không ổn đ ịnh. Ví dụ 4. Xét tính ổn định của hệ kín hồi tiếp âm có hàm truyền vòng hở: 12 K G(s) s ( T s 1)( T s 1) \=++ Với giá trị T 1 , T 2 cố định, tùy theo giá trị của tham số K mà biểu đồ Nyquist hệ hở có thể có một trong ba dạng sau: Hình 4 1 Trư ờng hợp này hệ hở ở giới hạn ổn định. Tương ứng với số khâu tích phân là 1, ta vẽ thêm một cung -π/2 bán kính vô cùng lớn rồi áp dụng tiêu chuẩn Nyquist tương tự trường hợp hệ hở ổn định.
Im 0 Re (-1,j0) Im ω= ω=∞ (1) (2) (3) R=∞ Từ giao điểm giữa đường Nyquist và trục thực âm ta xác định được biên độ A(ω=−π) 1/ GM. Từ giao điểm giữa đường Nyquist và đường tròn đơn vị ta xác định được góc γ = PM. Nếu hệ hở ổn định và đường Nyquist không bao điểm (-1,j0) thì PM>0. Hình 4 3 Xác đ ịnh độ dự trữ biên và pha từ biểu đồ Nyquist Dựa vào biểu đồ Bode: Độ dự trữ biên GM tính từ đường L(ω) đến trục ω. Độ dự trữ pha PM tính từ đường thẳng -π (hay -180°) đ ến đường cong ∅(ω). Hình 4 4 Xác đ ịnh độ dự trữ biên và pha từ biểu đồ Bode Tiêu chuẩn Bode: Sau khi xác định được độ dự trữ biên độ GM và độ dự trữ pha PM của hệ hở ta có thể xét ổn định hệ kín như sau: Hệ kín ổn định nếu hệ hở có độ dự trữ biên và độ dự trữ pha đều dương. ( Hệ kín ổn định ⇔ hệ hở có GM>0 dB và PM>0° ) Trư ờng hợp hệ hở ổn định, có bậc tử số < bậc mẫu số và đường Nyquist chỉ cắt vòng tròn đơn vị duy nhất một lần (hay biểu đồ Bode pha chỉ cắt đường thẳng -π duy nhất một lần) thì hệ kín sẽ ổn định nếu hệ hở có dự trữ pha PM>0. Với hệ thống có nhiều hơn một tần số cắt biên thì dự trữ pha sẽ được đo tại tần số cắt biên lớn nhất. Trong thực tế, để đảm bảo hệ thống hoạt động ổn định cần thoả mãn yêu cầu: Độ dự trữ biên GM > 6 dB Độ dự trữ pha PM = 30 ÷ 60 ° ω 0 L(ω) dB ∅(ω) ωc ω-πGM> PM> -180°0 ω ω 0 GM<0 ωc L(ω) dB ∅(ω) ω-πPM< 0 ω -180°-1 Re Im γ 1 GM ∅(ωc) ωc γ > Re Im γ γ < 1 1 / GM ωc ∅(ωc) 4.3 Ổn định của hệ thống có khâu trễ Xét các hệ thống có khâu trễ như hình vẽ :
Hàm truyền hệ hở trong cả hai trường hợp a) và b): G (s) G(s)eh = −Ts Hàm truyền của hệ kín: ka Ts G(s) G (s) 1 G(s)e− \=+; Ts kb Ts G(s)e G (s) 1 G(s)e − = + − Phương trình đặc tính hệ kín trong cả hai trường hợp: 1 G(s)e+=−Ts 0 Khai triển Taylor: 22 33 e Ts 1 Ts Ts Ts 2! 3! − =−+ − + Nếu dùng tiêu chuẩn ổn định đại số cho hệ thống có khâu trễ thì ta phải thay gần đúng e−Tsbằng tổng hữu hạn (ví dụ thay e−Ts= −1 Ts), như vậy việc tính toán phức tạp mà kết quả xét ổn định có thể không chính xác. Để tiện lợi hơn, người ta thường dùng tiêu chuẩn Nyquist. Hàm truyền tần số hệ hở : G ( j ) G( j )eh ω= ω−ωjT= ωA( )e ejω −ωjT Biên độ: A() A() G(j)h ω= ω= ω Góc pha: ∅h(ω)= ∅(ω)−ωT Như vậy, khâu trễ không ảnh hưởng tới biên độ mà chỉ tạo thêm góc lệch pha -ωT. Dựa vào biểu đồ Nyquist của phần không trễ ta có thể xây dựng được biểu đồ Nyquist của hệ thống có trễ. Để làm điều đó ta chỉ việc quay vectơ G(jωi) đi một góc ωiT theo chiều kim đồng hồ. Lấy nhiều điểm ωi ta sẽ vẽ được toàn bộ đường Gh(jω). Khi tần số tăng lên thì góc ωiT cũng tăng trong khi biên độ ở tần số cao lại giảm về 0 nên biểu đồ Nyquist có dạng đường xoắn ốc. Từ biểu đồ ta thấy khi có thêm khâu chậm trễ thì độ dự trữ ổn định của hệ thống sẽ giảm đi. e−Ts G(s) e−TsG(s)G(jω) Im Re Gh(jω) ωT Hình 4 6 0 M(s) 1 G (s) 0 1 K 0 N(s) + = ⇔+ = ⇔ N(s) K(s) 0+= Trong đó M(s) là đa thức bậc m; N(s) là đa thức bậc n. Thông thường m≤n. G 0 (s) có m zero là nghiệm của M(s)=0 và n cực là nghiệm của N(s)=0. 4.4 Qui tắc xây dựng quỹ đạo nghiệm
i ( 2i 1) nm −π α= − với i= 1,2,..-m
pz zero R nm nm cöïc = = −−= =−− ∑∑∑∑\= (tổng giá trị các cực – tổng giá trị các zero)/ (số cực –số zero) 6. Quỹ đạo nghiệm đối xứng qua trục thực vì các nghiệm phức luôn có từng cặp liên hợp. 7. Điểm tách: là điểm tại đó hai nhánh QĐN gặp nhau và sau đó tách ra khi K tăng. Điểm tách nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình dK 0 ds \=. Hình 4. Minh hoạ các dạng của QĐN tại điểm tách 8. Một điểm trên trục thực thuộc về QĐN nếu tổng số điểm cực và zero của G 0 (s) bên phải nó là một số lẻ. 9. Giao điểm của QĐN với trục ảo có thể xác định bằng 2 cách :
K=∞ : Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để tìm giá trị K giới hạn (Kcrit) rồi thay vào phương trình đặc tính và giải để tìm các nghiệm ảo. K=0 K= K=∞ K=∞ K=0 K= K=∞ K=∞ K= K= K=∞ K=0 K= K=∞ K=∞ K= K= K=∞ K=∞
: Thay s=jω vào phương trình đặc tính rồi cho phần thực và phần ảo bằng 0, sau đó giải các phương trình này để tìm ω và K. |
