08:54:4307/01/2020 Trong bài viết này, chúng ta cùng rèn luyện kỹ năng giải các bài tập về xét dấu của tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 với các dạng toán khác nhau. Qua đó dễ dàng ghi nhớ và vận dụng giải các bài toán tương tự mà các em gặp sau này. I. Lý thuyết về dấu tam thức bậc 2 1. Tam thức bậc hai - Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c, trong đó a, b, c là những hệ số, a ≠ 0. * Ví dụ: Hãy cho biết đâu là tam thức bậc hai. a) f(x) = x2 - 3x + 2 b) f(x) = x2 - 4 c) f(x) = x2(x-2) ° Đáp án: a) và b) là tam thức bậc 2. 2. Dấu của Tam thức bậc hai * Định lý: Cho f(x) = ax2 + bx + c, Δ = b2 - 4ac. - Nếu Δ<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ R. - Nếu Δ=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a trừ khi x =-b/2a. - Nếu Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1,x2 (với x1<x2) là hai nghiệm của f(x). > Gợi ý cách nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm: Trong trái ngoài cùng * Cách xét dấu của tam thức bậc 2 - Tìm nghiệm của tam thức - Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a - Dựa vào bảng xét dấu và kết luận II. Lý thuyết về Bất phương trình bậc 2 một ẩn 1. Bất phương trình bậc 2 - Bất phương trình bậc 2 ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c < 0 (hoặc ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≥ 0), trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a≠0. * Ví dụ: x2 - 2 >0; 2x2 +3x - 5 <0; 2. Giải bất phương trình bậc 2 - Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f(x) = ax2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a<0) hoặc trái dấu với hệ số a (trường hợp a>0). III. Các bài tập về xét dấu tam thức bậc 2, bất phương trình bậc 2 một ẩn ° Dạng 1: Xét dấu của tam thức bậc 2 * Ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): Xét dấu các tam thức bậc hai: a) 5x2 - 3x + 1 b) -2x2 + 3x + 5 c) x2 + 12x + 36 d) (2x - 3)(x + 5) ° Lời giải ví dụ 1 (Bài 1 trang 105 SGK Đại Số 10): a) 5x2 – 3x + 1 - Xét tam thức f(x) = 5x2 – 3x + 1 - Ta có: Δ = b2 - 4ac = 9 – 20 = –11 < 0 nên f(x) cùng dấu với hệ số a. - Mà a = 5 > 0 ⇒ f(x) > 0 với ∀ x ∈ R. b) -2x2 + 3x + 5 - Xét tam thức f(x) = –2x2 + 3x + 5 - Ta có: Δ = b2 - 4ac = 9 + 40 = 49 > 0. - Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = –1; x2 = 5/2, hệ số a = –2 < 0 - Ta có bảng xét dấu:  f(x) > 0 khi x ∈ (–1; 5/2)- Từ bảng xét dấu ta có: f(x) = 0 khi x = –1 ; x = 5/2 f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –1) ∪ (5/2; +∞) c) x2 + 12x + 36 - Xét tam thức f(x) = x2 + 12x + 36 - Ta có: Δ = b2 - 4ac = 144 - 144 = 0. - Tam thức có nghiệm kép x = –6, hệ số a = 1 > 0. - Ta có bảng xét dấu: - Từ bảng xét dấu ta có: f(x) > 0 với ∀x ≠ –6 f(x) = 0 khi x = –6 d) (2x - 3)(x + 5) - Xét tam thức f(x) = 2x2 + 7x – 15 - Ta có: Δ = b2 - 4ac = 49 + 120 = 169 > 0. - Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 = 3/2; x2 = –5, hệ số a = 2 > 0. - Ta có bảng xét dấu: - Từ bảng xét dấu ta có: f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –5) ∪ (3/2; +∞) f(x) = 0 khi x = –5 ; x = 3/2 f(x) < 0 khi x ∈ (–5; 3/2) * Ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10): Lập bảng xét dấu của biểu thức a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5) b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - x - 1) c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9) d) f(x) = [(3x2 - x)(3 - x2)]/[4x2 + x - 3] ° Lời giải ví dụ 2 (Bài 2 trang 105 SGK Đại Số 10): a) f(x) = (3x2 - 10x + 3)(4x - 5) - Tam thức 3x2 – 10x + 3 có hai nghiệm x = 1/3 và x = 3, hệ số a = 3 > 0 nên mang dấu + nếu x < 1/3 hoặc x > 3 và mang dấu – nếu 1/3 < x < 3. - Nhị thức 4x – 5 có nghiệm x = 5/4. - Ta có bảng xét dấu:
- Từ bảng xét dấu ta có: f(x) > 0 khi x ∈ (1/3; 5/4) ∪ x ∈ (3; +∞) f(x) = 0 khi x ∈ S = {1/3; 5/4; 3} f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; 1/3) ∪ (5/4; 3) b) f(x) = (3x2 - 4x)(2x2 - x - 1) - Tam thức 3x2 – 4x có hai nghiệm x = 0 và x = 4/3, hệ số a = 3 > 0. ⇒ 3x2 – 4x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 4/3 và mang dấu – khi 0 < x < 4/3. + Tam thức 2x2 – x – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1, hệ số a = 2 > 0 ⇒ 2x2 – x – 1 mang dấu + khi x < –1/2 hoặc x > 1 và mang dấu – khi –1/2 < x < 1. - Ta có bảng xét dấu: - Từ bảng xét dấu ta có: f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–∞; –1/2) ∪ (0; 1) ∪ (4/3; +∞) f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {–1/2; 0; 1; 4/3} f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–1/2; 0) ∪ (1; 4/3) c) f(x) = (4x2 – 1)(–8x2 + x – 3)(2x + 9) - Tam thức 4x2 – 1 có hai nghiệm x = –1/2 và x = 1/2, hệ số a = 4 > 0 ⇒ 4x2 – 1 mang dấu + nếu x < –1/2 hoặc x > 1/2 và mang dấu – nếu –1/2 < x < 1/2 - Tam thức –8x2 + x – 3 có Δ = –47 < 0, hệ số a = –8 < 0 nên luôn luôn âm. - Nhị thức 2x + 9 có nghiệm x = –9/2. - Ta có bảng xét dấu: - Từ bảng xét dấu ta có: f(x) > 0 khi x ∈ (–∞; –9/2) ∪ (–1/2; 1/2) f(x) = 0 khi x ∈ S = {–9/2; –1/2; 1/2} f(x) < 0 khi x ∈ (–9/2; –1/2) ∪ (1/2; +∞) d) f(x) = [(3x2 - x)(3 - x2)]/[4x2 + x - 3] - Tam thức 3x2 – x có hai nghiệm x = 0 và x = 1/3, hệ số a = 3 > 0. ⇒ 3x2 – x mang dấu + khi x < 0 hoặc x > 1/3 và mang dấu – khi 0 < x < 1/3. - Tam thức 3 – x2 có hai nghiệm x = √3 và x = –√3, hệ số a = –1 < 0 ⇒ 3 – x2 mang dấu – khi x < –√3 hoặc x > √3 và mang dấu + khi –√3 < x < √3. - Tam thức 4x2 + x – 3 có hai nghiệm x = –1 và x = 3/4, hệ số a = 4 > 0. ⇒ 4x2 + x – 3 mang dấu + khi x < –1 hoặc x > 3/4 và mang dấu – khi –1 < x < 3/4. - Ta có bảng xét dấu: - Từ bảng xét dấu ta có: f(x) > 0 ⇔ x ∈ (–√3; –1) ∪ (0; 1/3) ∪ (3/4; √3) f(x) = 0 ⇔ x ∈ S = {±√3; 0; 1/3} f(x) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –√3) ∪ (–1; 0) ∪ (1/3; 3/4) ∪ (√3; +∞) f(x) không xác định khi x = -1 và x = 3/4. ° Dạng 2: Giải các bất phương trình bậc 2 một ẩn * Ví dụ 1 (Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10): Giải các bất phương trình sau a) 4x2 - x + 1 < 0 b) -3x2 + x + 4 ≥ 0 c) d) x2 - x - 6 ≤ 0 ° Lời giải ví dụ 1 (bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10): a) 4x2 - x + 1 < 0 - Xét tam thức f(x) = 4x2 - x + 1 - Ta có: Δ = -15 < 0; a = 4 > 0 nên f(x) > 0 ∀x ∈ R ⇒ Bất phương trình đã cho vô nghiệm. b) -3x2 + x + 4 ≥ 0 - Xét tam thức f(x) = -3x2 + x + 4 - Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0. ⇒ f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. (Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a) ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3] c) - Điều kiện xác định: x2 - 4 ≠ 0 và 3x2 + x - 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±2 và x ≠ 1; x ≠ 4/3. - Chuyển vế và quy đồng mẫu chung ta được: (*) ⇔ - Nhị thức x + 8 có nghiệm x = -8 - Tam thức x2 – 4 có hai nghiệm x = 2 và x = -2, hệ số a = 1 > 0 ⇒ x2 – 4 mang dấu + khi x < -2 hoặc x > 2 và mang dấu – khi -2 < x < 2. - Tam thức 3x2 + x – 4 có hai nghiệm x = 1 và x = -4/3, hệ số a = 3 > 0. ⇒ 3x2 + x – 4 mang dấu + khi x < -4/3 hoặc x > 1 mang dấu - khi -4/3 < x < 1. - Ta có bảng xét dấu như sau: - Từ bảng xét dấu ta có: (*) < 0 ⇔ x ∈ (–∞; –8) ∪ (-2; -4/3) ∪ (1; 2) d) x2 - x - 6 ≤ 0 - Xét tam thức f(x) = x2 - x - 6 có hai nghiệm x = -2 và x = 3, hệ số a = 1 > 0 ⇒ f(x) ≤ 0 khi -2 ≤ x ≤ 3. ⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-2; 3]. ° Dạng 3: Xác định tham số m thỏa điều kiện phương trình * Ví dụ 1 (Bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10): Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau vô nghiệm a) (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0 b) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0 ° Lời giải ví dụ 1 (bài 4 trang 105 SGK Đại Số 10): a) (m - 2)x2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6 = 0 (*) • Nếu m - 2 = 0 ⇔ m = 2, khi đó phương trình (*) trở thành: 2x + 4 = 0 ⇔ x = -2 hay phương trình (*) có một nghiệm ⇒ m = 2 không phải là giá trị cần tìm. • Nếu m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 ta có: Δ' = b'2 - ac = (2m - 3)2 - (m - 2)(5m - 6) = 4m2 - 12m + 9 - 5m2 + 6m + 10m - 12 = -m2 + 4m - 3 = (-m + 3)(m - 1) - Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ (-m + 3)(m - 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) - Vậy với m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞) thì phương trình vô nghiệm. b) (3 - m)x2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0 (*) • Nếu 3 - m = 0 ⇔ m = 3 khi đó (*) trở thành -6x + 5 = 0 ⇔ x = 5/6 ⇒ m = 3 không phải là giá trị cần tìm. • Nếu 3 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 ta có: Δ' = b' - ac = (m + 3)2 - (3 - m)(m + 2) = m2 + 6m + 9 - 3m - 6 + m2 + 2m = 2m2 + 5m + 3 = (m + 1)(2m + 3) - Ta thấy (*) vô nghiệm ⇔ Δ' < 0 ⇔ (m + 1)(2m + 3) < 0 ⇔ m ∈ (-3/2; -1) - Vậy với m ∈ (-3/2; -1) thì phương trình vô nghiệm.
Hy vọng với bài viết Bài tập về xét dấu của Tam thức bậc 2, Bất phương trình bậc 2 và lời giải ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em hãy để lại nhận xét dưới bài viết để hayhochoi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tốt. |
