Nội dung Text: Bài tập Tích phân mặt - Nguyễn Thị Xuân Anh - Bài tập tích phân mặt Bài 1: Tính các tp sau I1 = � xdydz + ydzdx + zdxdy S là phía trên nửa mặt � S cầu x2+y2+z2=4, z≥0 I2 = � zdxdy + y 2dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi � S 0 ≤z ≤1-x2-y2 I3 = � y 2dzdx + x 2dydz - zdxdy S là phía dưới nửa � S mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 I4 = � ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy � S S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 x 2 I5 = � zdxdy + ( + )dydz + ( y 2 + z )dxdz S là phía � S 2 x dưới phần mặt z=1-x2 với z≥0 bị chặn bởi -1≤y≤1
- Bài tập tích phân mặt I1 = � xdydz + ydzdx + zdxdy S là phía trên nửa mặt � S cầu x2+y2+z2=4, z≥0 Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S Pt mặt S là F(x,y,z)=x2+y2+z2-4=0, z≥0, suy ra: �F = (2 x,2y ,2z ) S là phía trên tức là pháp vecto của S cùng hướng với nửa dương trục Oz nên γ≤π/2 → cosγ≥0 Suy ra, dấu ta lấy cho pháp vecto đơn vị là “+” u r 1 n = + ( x, y , z ), z ﾳ 0 2 Tiếp theo, ta có thể chọn 1 trong 2 cách: Tính trực tiếp hoặc chuyển về tp mặt loại 1
- Bài tập tích phân mặt Với tp này, ta sẽ chuyển về tp mặtr loại 1 bằng cách u dùng CT , với pháp vecto đơn vị n = (cos a,cos b,cos g) � Rdxdy + Qdxdz + Pdzdy � S = �( P cos a + Q cos b + R cos g) ds � S u r 1 Từ I1 = � xdydz + ydzdx + zdxdy , n = + ( x, y , z ), z ﾳ 0 � S 2 1 2 Suy ra: I1 = � ( x + y + z ) ds 2 2 � S 2 Với tp mặt loại 1 này, ta đang có : x2+y2+z2=4 (pt mặt) 2dxdy Hình chiếu Dxy: x +y ≤4 Vi phân ds = 2 2 2 2 4- x - y
- Bài tập tích phân mặt 1 2dxdy Vậy: I1 = � 4.� 2 Dxy 4 - x2 - y 2 x=rcosφ 2p 2 dr 4� j � d r =16π y=rsinφ 0 2 0 4- r
- Bài tập tích phân mặt I2 = � zdxdy + y 2dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi � S 0≤z≤1-x2-y2 Mặt S gồm 2 mặt: S1 là phía dưới mp z=1, S2 là phía trên mặt paraboloid z=1-x2-y2 Trước hết, ta tìm pháp vecto đơn vị của mặt S1: ur n1 = - (0,0,1) Và pháp vecto đơn vị của mặt S2: uu r 1 n2 = + (2 x,2y ,1) 2 2 4 x + 4y + 1
- Bài tập tích phân mặt Ta tính tp trên mặt S1 bằng cách chuyển về tp mặt ur loại 1 vì S1 là mặt phẳng có n1 = - (0,0,1) I21 = � zdxdy + y 2dxdz = � ( (- 1)z ) ds = 0 � � S1 ( z=0) Còn tp trên mặt S2 thì ta sẽ tính trực tiếp I22 = � zdxdy + y 2dxdz � S2 Tp theo dxdy với: pt mặt z=1-x2-y2, h/c Dxy: x2+y2≤1 uu r 1 Pháp vecto: n2 = + (2 x,2y ,1) → cosγ>0 4 x 2 + 4y 2 + 1 2 2 p Suy ra: I221 = + � (1- x - y )dxdy ↔ I221 = 2 � Dxy
- Bài tập tích phân mặt Tp theo dxdz: I222 = � y 2dxdz � Pt mặt: y2=z+x2-1 S2 uur 1 Pháp vecto: n2 = + (2 x,2y ,1) Suy ra: 2 2 4 x + 4y + 1 cosβ cùng dấu với y, tức là ta phải chia S2 thành 2 nửa ứng với y dương và y âm. Tuy nhiên, pt mặt paraboloid S2 chẵn với y nên 2 nửa này đối xứng nhau qua mp y=0, hình chiếu xuống mp y=0 của 2 nửa này như nhau Do đó, tp I222 chia thành 2 tp mà sau khi chuyển về tp kép thì là tổng của 2 tp kép trái dấu nhau. Tức là: I222=0 Vậy: I2 = I21 + I221 + I222 = p 2
- Bài tập tích phân mặt I2 = � zdxdy + y 2dxdz S là phía ngoài vật thể gh bởi � S 0≤z≤1-x2-y2 S là mặt cong kín phía ngoài nên ta sẽ áp dụng CT Gauss để tính I2 nhanh hơn CT Gauss: � Pdydz + Qdzdx + Rdxdy � S = ﾳ � (Pxﾳ + Qy + Rz )dxdydz �� ﾳ ﾳ V Ta có: I2 = +� (0 + 2y + 1)dxdydz �� V
- Bài tập tích phân mặt I2 = +� (0 + 2y + 1)dxdydz �� V 1- x 2 - y 2 I2 = � dxdy � � (2y + 1)dz x 2 +y 2 ﾳ 1 0 2p 1 I2 = � j � (2r sin j + 1)(1- r 2 )dr d r 0 0 p I2 = 2
- Bài tập tích phân mặt I3 = � y 2dzdx + x 2dydz - zdxdy S là phía dưới nửa � S mặt cầu x2+y2+z2=4, z≥0 Nhận xét: Pt mặt S chẵn với 2 biến x, y nên khi tính tp theo dydz, dzdx ta sẽ chia S thành 2 nửa đối xứng có 2 pháp vecto tương ứng ngược dấu nhau. Vậy mỗi tp đó trở thành tổng 2 tp kép có miền lấy tp như nhau, hàm dưới dấu tp như nhau nhưng trái dấu nhau.
- Bài tập tích phân mặt Từ đó ta được: I31 = � y 2dxdz = 0 � S I32 = � x 2dydz = 0 � S Còn lại tp thứ ba: I33 = - � zdydx � S Pt mặt S (z dương): z = 4 - x 2 - y 2 Hình chiếu Dxy: x2+y2≤4 S là phía dưới tức là pháp vecto quay xuống dưới so với nửa dương trục Oz nên γ≥π/2 → cosγ≤0 Vậy: I = I = - 3 31 �� - 4 - x 2 - y 2dxdy = 16p x 2 +y 2 ﾳ 4 3
- Bài tập tích phân mặt I4 = � ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy � S S là phía ngoài phần mặt nón x2+y2=z2, 0≤z≤1 Ta viết lại pt mặt S: F ( x, y , z ) = x 2 + y 2 - z(= 0) � x y � ﾳ ﾳ �F = ﾳ ﾳ 2 , ,- 1ﾳ ﾳ ﾳ x + y 2 x2 + y 2 ﾳ ﾳ � � S là phía ngoài nón tức là pháp vecto quay xuống dưới, cosγ≤0 nên u r 1 � x ﾳ y � ﾳ n=+ ﾳ ﾳ 2 , ,- 1ﾳ ﾳ 2ﾳ x + y 2 2 x +y 2 ﾳ ﾳ � �
- Bài tập tích phân mặt Đưa tp I4 về tp mặt loại 1 với ur 1 ﾳ� x y � ﾳ n=+ ﾳ ﾳ 2 , ,- 1ﾳ ﾳ 2 ﾳ x + y 2 x2 + y 2 ﾳ ﾳ � � I4 = � ( y - z )dydz + ( z - x )dzdx + ( x - y )dxdy � S 1 � x y � I4 = � � - z) 2 �( y + (z - x ) + (- 1)( x - y )� 2 S � � x +y 2 2 x +y 2 � � � � 1 �xz + yz - � I4 = � + (- 1)( x - y )� ds �� 2 � � 2 S �x + y 2 � � � 1 I4 = � 2( y - x ) 2dxdy = 0 � 2 x 2 +y 2 ﾳ 1
|
