I. Các kiến thức cơbản 1) Ý nghĩa hình học của đạo hàm Tiếp tuyến của đồthịhàm số ( ) y f x = tại điểm M(xo ; y o ) có hệsốgóc ( ) o k f ' x = 2) Phương trình tiếp tuyến của đồthịhàm số Phương trình tiếp tuyến của đồthịhàm số ( ) y f x = tại điểm M(xo ; y o ) có phương trình ( )( ) o o o y y f ' x x x − = − Bạn đang xem nội dung tài liệu Phuơng trình tiếp tuyến - Ôn tập Toán 11 - Bài: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên Phuơng Trình Tiếp Tuyến _Ôn tập Toán 11 Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù §T: 0984 214 648 TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. Các kiến thức cơ bản 1) Ý nghĩa hình học của đạo hàm Tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= tại điểm M(xo; yo) có hệ số góc ( )ok f ' x= 2) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )y f x= tại điểm M(xo; yo) có phương trình ( )( )o o oy y f ' x x x− = − 3) Ví trí tương đối của hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 : y a x b : y a x b = + = + △ △ Khi đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a a // b b a a b b a a a .a 1 =⇔ ≠ =∆ ≡ ∆ ⇔ = ∆ ∩ ∆ ⇔ ≠ ∆ ⊥ ∆ ⇔ =− △ △ II. Bài tập 1. Dạng 1 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm Ví dụ 1 Cho hàm số 3y x 3x+2= − 1) Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm M(2; 4) 2) Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm M(-1; 4) Ví dụ 2 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2y x 4x+5= − tại điểm M(2; 1) Ví dụ 3 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 2 2y x 3= − tại điểm M(-1; 4) 2. Dạng 2 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hoành độ hoặc tung độ của tiếp điểm Ví dụ 1 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x+1y x-2 = tại điểm có hoành độ x = 1 Ví dụ 2 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2y x 3x= − tại điểm có hoành độ x = 2 Ví dụ 3 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x+2y x-3 = tại điểm có tung độ y = 10 Ví dụ 4 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số 4 2y x 3x 2= − − tại điểm có tung độ y = 2 Ví dụ 5 Cho hàm số ( )3 23 1 1y x mx m x= + + + + Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ x = -1 đi qua A(1; 2). 3. Dạng 3 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc Ví dụ 1 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2x-3y x+3 = biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 1 Ví dụ 2 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )2 2y x 4 x= − biết tiếp tuyến có hệ số góc k = 4 Phuơng Trình Tiếp Tuyến _Ôn tập Toán 11 Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù §T: 0984 214 648 Ví dụ 3 Cho hàm số 2 1 2 xy x + = − có đồ thị là (C ). Viết PT tiếp tuyến của đồ thị (C ) biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5 4. Dạng 4 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số song song, vuông góc với một đường thẳng cho trước Ví dụ 1 Cho hàm số 3 21 12 3 3 y x x x= − + − (C ) Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) song song với đường thẳng y = x + 2. Ví dụ 2 Cho đồ thị hàm số 3 21 12 3 3 y x x x= − + − (C ) Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 1 6 y x= − . Ví dụ 3 Cho hàm số ( )1 3 xy C x + = − Viết PT tiếp tuyến của (C ) vuông góc với đường thẳng y = x + 2013 Ví dụ 4 Cho hàm sô y = x3 – 3x + 2 (C ) Viết PT các tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng 9 2013y x= + 5. Dạng 5 Viết PT tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước Ví dụ 1 Cho hàm số 3 21 3 y x x= − Có đồ thị là (C ) Viết PT các tiếp tuyến của (C ) đi qua điểm A(3; 0) Ví dụ 2 Cho đồ thị hàm số ( )222y x= − có đồ thị là (C) Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ) đi qua điểm A(0; 4). Luyện tập Bài 1 Cho hàm số x 3y x 2 + = − có đồ thị là (C ) a) Viết PT tiếp tuyến của (C ) tại điểm M(1 ; -4) b) Viết PT tiếp tuyến của (C ) tại điểm có hoành độ x = 3 c) Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm có tung độ y = 5 2 d) Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến k = -5 Bài 2 Viết PT tiếp tuyến của (C): 4 22 4 1y x x x= − + − vuông góc với đường thẳng 1 3 4 y x= − + Bài 3 Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( )2y x x 9= − biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 3x-2= Phuơng Trình Tiếp Tuyến _Ôn tập Toán 11 Gi¸o Viªn: Th©n V¨n Dù §T: 0984 214 648 Bài 4 Cho đồ thị hàm số (C): 4 22 2 1y x mx m= − + − + Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại A(1; 0) và B(-1; 0) vuông góc với nhau Bài 5 Cho hàm số 3 2y x 3x 1= − + có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm I(1; 1)− Bài 6 Cho hàm số 22x x 1y x 1 + + = − có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung Bài 7 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 2 2x 3xf x= − + tại điểm có tung độ bằng 3. Bài 8 Cho hàm số 33 4y x x= − Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm M(1; 3). Bài 9 Cho hàm số 2 1 1 xy x + = + có đồ thị (C ) Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C ), biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 3) Bài 10 Cho hàm số 3 2y x 6x=− + Viết PT tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là nghiệm của PT ( )y '' x 0= Bài 11 Cho hàm số ( )1 2 1 xy C x − + = − Viết PT tiếp tuyến của (C ) biết: 1) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 4x + y – 1 = 0 2) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x – 9y + 1 = 0 Bài 12 Cho hàm số 3 21 1 3 2 3 my x x= − + (m là tham số) Gọi M là điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ -1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M song song với đường thẳng 5x – y = 0. Bài 13 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 32 6 1f x x x= − + − tại điểm có hoành độ bằng 2. File đính kèm:
Đăng bởi Ngày 13/04/2017 13194 lượt xem Facebook: Xin giới thiệu một số bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao để ôn đi tốt nghiệp và đại học. Bạn có thể tải bài tập dạng PDF bằng cách lick vào nút download bên dưới. Tài liệu gồm 21 trang tuyển chọn các dạng toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số, hướng dẫn cách giải và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết. I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ III. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM RÈN LUYỆN (có đáp án và lời giải chi tiết)
Tailieumoi.vn xin giới thiệu chuyên đề Viết phương trình tiếp tuyến thuộc chương trình Toán 11. Chuyên đề gồm 64 trang với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập và trên 200 bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 11. Chuyên đề Viết phương trình tiếp tuyến Phần 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm - Đường cong (C): y = f(x) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xo khi và chỉ khi hàm số y = f(x) khả vi tại xo. Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến tại điểm có hoành độ xothì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ’(xo) - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M(xo; f(xo)) có dạng : y = f’(xo)(x-xo) + f(xo) Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(xo; f(xo)) Giải: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại M(xo;f(xo)) là: y = f’(xo)(x-xo)+f(xo) (1) Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm x = xo Giải: Tính yo = f(xo) và f’(xo). Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến: y = f’(xo)(x-xo) + yo Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng yo Giải. Gọi M(xo, yo) là tiếp điểm Giải phương trình f(x) = yo ta tìm được các nghiệm xo. Tính y’(xo) và thay vào phương trình (1) Bài 1: Cho hàm số y = x3+3x2+1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : 1. Tại điểm M( -1;3) 2. Tại điểm có hoành độ bằng 2 Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định D = R Ta có: y’ = 3x2 + 6x 1. Ta có: y’(-1) = -3, khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là: y = -3.(x + 1) + 3 = - 3x 2. Thay x = 2 vào đồ thị của (C) ta được y = 21 Tương tự câu 1, phương trình là: y = y’(2).(x – 2) + 21 = 24x – 27 Bài 2: Gọi (C) là đồ thị của hàm số Hướng dẫn: Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 ⇔ yM = ±5.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(-7/3,-5) là y = 9x + 16 Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M( - 4, 5) là y = 4x + 21 Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6x + 1 (C) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm bằng 1 Hướng dẫn: Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có xo = 1 ⇒ yo = - 1 y = x3 + 3x2 – 6x + 1 nên y’ = 3x2 + 6x – 6. Từ đó suy ra y’(1) = 3. Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x – 1) – 1 = 3x – 4 Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y = 2x4 – 4x2 + 1 biết tung độ tiếp điểm bằng 1 Hướng dẫn: Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có yo = 1 ⇒ 2xo4 - 4xo2 + 1 = 1 ⇔ Ta có y’ = 8x3 – 8x Với M(0;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 0 Với M(√2;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = 8√2 (x - √2) + 1 = 8√2x – 15 Với M(-√2;1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = - 8√2 (x + √2) + 1 = - 8√2x – 15 Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp điểm là M(0,1). Hướng dẫn: y’ = 3x2 – 3. y’(0) = - 3. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3x – 3 Bài 6: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình x2 = 1. Hướng dẫn: Gọi M(xo; yo) là tọa độ tiếp điểm. Ta có: xo2 = 1 ⇔ xo = ±1 Ta có: y’ = 4x3 + 2x Với M(1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 6(x – 1) + 3 = 6x – 3 Với M( -1; 3) thì phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -6(x + 1) + 3 = -6x – 3 Bài 7: Cho hàm số Hướng dẫn: x = 0 ⇒ y = - m – 1 Ta có Phương trình tiếp tuyến tại (0; - m – 1) là: y = (- m – 3)x – m – 1. Tiếp tuyến đi qua A(4; 3) nên ta có: 3 = 4( - m – 3) – m – 1 ⇔ m = 16/5 Phần 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc - Gọi (Δ) là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k. - Giả sử M(xo ; yo) là tiếp điểm. Khi đó xo thỏa mãn: f ’(xo) = k (*) - Giải (*) tìm xo. Suy ra yo = f(xo) - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = k( x - xo) + yo Chú ý: Đối với bài toán này ta cần lưu ý một số vấn đề sau: + Số tiếp tuyến của đồ thị chính là số nghiệm của phương trình : f’(x) = k + Cho hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1 và d2 : y = k2x + b2. Khi đó
Nếu đường thẳng d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thì tan(∠OAB) = ± OA/OB, trong đó hệ số góc của d được xác định bởi y’(x) = tan(∠OAB) Bài 1: Tìm tiếp tuyến của đồ thị hàm số Hướng dẫn: Tập xác định: D = R Đạo hàm: y’ = x2 + 6x Ta có: k = -9 ⇔ y’(xo) = - 9 ⇔ xo2 + 6xo = -9 ⇔ (xo + 3)2 = 0 ⇔ xo = -3 ⇒ yo = 16 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -9(x + 3) + 16 = -9x – 11 Bài 2: 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = - x4 – x2 + 6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2. Cho hàm số Hướng dẫn: 1. Hàm số đã cho xác định D = R Gọi (t) là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và (t) vuông góc với đường thẳng y = (1/6)x - 1, nên đường thẳng (t) có hệ số góc bằng -6 Cách 1: Gọi M(xo ; yo) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến (t) và đồ thị (C) của hàm số . Khi đó, ta có phương trình: y’(xo) = -6 ⇔ -4xo3 - 2xo = -6 ⇔ (xo-1)(2xo2+2xo+3) = 0 (*). Vì 2xo2 + 2xo + 3 > 0 ∀xo ∈ R nên phương trình (*) ⇔ xo = 1 ⇒ yo = 4 ⇒ M(1;4) Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -6(x – 1) + 4 = -6x + 10 Cách 2: Phương trình (t) có dạng y = -6x + m (t) tiếp xúc (C) tại điểm M(xo ; yo) khi hệ phương trình sau có nghiệm xo
2. Hàm số đã cho xác định D = R Ta có: y’ = x2 – 1 Gọi M(xo ; yo) ∈(C) ⇔ Tiếp tuyến Δ tại điểm M có hệ số góc: y’(xo) = xo2 - 1 Đường thẳng d: y = (-1/3)x + 2/3 có hệ số góc k = (-1/3)
Vậy có 2 điểm M(-2; 0) hoặc M = (2; 4/3) là tọa độ cần tìm. Bài 3: Cho hàm số Hướng dẫn: TXĐ: D = R\{1} Ta có Gọi M(xo; yo) là tiếp điểm. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = (1/3)x + 2 nên ta có
+ Với M(0; -1) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3x – 1 + Với M(2; 5) thì phương trình tiếp tuyến là: y = -3(x – 2) + 5 = -3x + 11 Bài 4: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + 2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu? Hướng dẫn: Tập xác định: D = R Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x = 3(x-1)2 - 3 ≥ -3 Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng -3 Bài 5: Cho hàm số Hướng dẫn: Tập xác định: D = R\{0} Đạo hàm: y’ = 4/(x2) Đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d: y = -x + 2 nên Δ có hệ số góc bằng 1. Ta có phương trình:
Tại M(2; 0). Phương trình tiếp tuyến là y = 1.(x – 2) = x – 2 Tại N(-2; 4). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 2 + 4 = x + 6 Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x3 + 3x2 – 8x + 1, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017? Hướng dẫn: Tập xác định: D = R Đạo hàm: y’ = 3x2 + 6x – 8 Tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng Δ: y = x + 2017 nên hệ số góc của tiếp tuyến là 1 Ta có phương trình
Tại M(1; -3). Phương trình tiếp tuyến là y = x – 1 – 3 = x – 4 Tại N(-3; 25). Phương trình tiếp tuyến là y = x + 3 + 25 = x + 28 Bài 7: Cho hàm số y = -x3 + 3x2 – 3 có đồ thị (C). Số tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 là bao nhiêu? Hướng dẫn: Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = (1/9)x + 2017 có dạng Δ: y = -9x + c Δ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình
⇔ Vậy có hai giá trị c thỏa mãn. Phần 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) đi qua điểm M(x1; y1) Cách 1 : - Phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng : y = k( x – x1) + y1. - (d) tiếp xúc với đồ thị (C) tại N(x0; y0) khi hệ:
Cách 2 : - Gọi N(x0; y0) là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C) và tiếp tuyến (d) qua điểm M, nên (d) cũng có dạng y = y’0(x – x0) + y0. - (d) đi qua điểm nên có phương trình : y1 = y0'(x1 – x0) + y0 (*) - Từ phương trình (*) ta tìm được tọa độ điểm N(x0; y0) , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng (d) Bài 1: Cho hàm số y = 2x3 - 3x2 + 5 có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A (19/12; 4) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số. Hướng dẫn: Hàm số đã cho xác định D = R Ta có: y’ = 6x2 – 6x Gọi M(x0; y0)∈(C)⇔ y0 = 2x03 - 3x02 + 5 và y'(x0) = 6x02 - 6x0 Phương trình tiếp tuyến Δ của (C) tại M có dạng: y – y0 = y’(x0)(x – x0) ⇔ y - 2x03 + 3x02 - 5 = (6x02 - 6x0)(x - x0 ) ⇔ (6x02- 6x0)x - 4x03 + 3x03 + 5 = y A ∈ Δ ⇔4 =(6x02 - 6x0).(19/12) - 4x03 + 3x03 + 5 ⇔8x03 - 25x02 + 19x0 - 2 = 0 ⇔x0 = 1 hoặc x0 = 2 hoặc x0 = 1/8 Với x0 = 1 ⇒ Δ:y = 4 Với x0 = 2 ⇒ Δ:y = 12x - 15 Với x0 = 1/8 ⇒ Δ:y = (-21/32)x + 645/128 Bài 2: Cho hàm số: Hướng dẫn: TXĐ: D = R\{1} Gọi điểm M(x0; y0). Ta có y’ = -3/(x-1)2 Tiếp tuyến Δ tại M của (C) có phương trình:
Vì tiếp tuyến qua A(0; m) nên ta có:
Yêu cầu bài toán ⇔ (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho
Khi đó:
Ta có: (*) có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho
Vậy 1 ≠ m > (-2/3) là những giá trị cần tìm Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (m – 1)x + 2m có đồ thị là (Cm). Tìm m để từ điểm M(1; 2) vẽ đến (Cm) đúng hai tiếp tuyến. Hướng dẫn: Ta có: y' = 3x2 - 4x + m-1. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến Δ tại A: y =(3a2-4a+m-1)(x-a) + a3-2x2+(m-1)a+2m Vì M ∈ Δ ⇔2 = (3a2-4a+m-1)(1-a) + a3-2x2+(m-1)a+2m ⇔2a3+5a2-4a+3m-3 = 0 (*) Yêu cầu bài toán tương đương với (*) có đúng hai nghiệm phân biệt. (1) Xét hàm số: h(t) = 2t3+5t2-4t, t∈R. Ta có: h’(t) = 6t2+10t-4. Cho h’(t) = 0 ⇒ Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra (1) ⇒ Bài 4: Cho hàm số y = (1/3)x3-2x2+3x có đồ thị là (C). Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A(4/9; 4/3) và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số. Hướng dẫn: Ta có: y' = x2-4x+3. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x Với a = 1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4/3 Với a = 8/3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-5/9)x + 128/81 Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số Hướng dẫn: Ta có:
Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (3/4)x - 1/2 Với a = 3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4 Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): Hướng dẫn: Ta có: Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1 Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6) + 2 = (-1/4)x + 7/2 Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = x3 – 2x2 + x + 4 đi qua điểm M( -4; -24) Hướng dẫn: Ta có: y' = 3x2-4x+1. Gọi A(a; b) là tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến Δ tại A: y = (3a2-4a+1)(x-a)+a3-2a2+a+4 Vì A(-4; -24) ∈ Δ ⇔ -24 = (3a2-4a+1)(-4-a)+a3-2a2+a+4 ⇔ -2a3-10a2+16a+24 = 0 ⇔ Với a = -6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 133(x+6)-240 = 133x+508 Với a = 2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5(x-2)+6 = 5x-10 Với a = -1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8(x+1)+2 = 8x+10 Phần 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại 1 điểm *Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0) ). Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là: y–y0=f' (x0).(x–x0) Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại điểm M(x0; f(x0)). - Tính đạo hàm của hàm số y= f(x) ⇒ f’( x0). -Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) tại M( x0;y0) là: y- y0= f’(x0) ( x- x0) Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết hoành độ tiếp điểm x= x0. + Tính y0= f(x0). + Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f^' (x0 ) ⇒ phương trình tiếp tuyến: y- y0= f’(x0) ( x- x0) Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y= f(x) biết tung độ tiếp điểm bằng y0. + Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm + Giải phương trình f(x)= y0 ta tìm được các nghiệm x0. + Tính đạo hàm của hàm số ⇒ f'(x0) ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Ví dụ 1. Cho hàm số y= x3- 2x+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1 ) A. y= 2x+ 3 B. y= -2x + 1 C.y= 4x+1 D. y= - 4x+1 Hướng dẫn giải + Đạo hàm của hàm số đã cho là: y'= 3x2- 2 ⇒ y'(0)= -2 ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M( 0;1) là: y- 1= -2(x-0) hay y= -2x + 1 Chọn B. Ví dụ 2. Cho hàm số y= x2 + 2x - 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ là 1? A. y= 2x+1 B. y= - 6x+ 1 C. y= 4x- 7 D. y= 3x- Hướng dẫn giải + Ta có: y(1) = 12+ 2.1 – 6= -3 + Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’(x)= 2x+ 2 ⇒ y’(1) = 2.1+ 2= 4 ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x= 1 là: y+ 3= 4( x- 1) hay y= 4x- 7 Chọn C. Ví dụ 3. Cho hàm số y= x3 + 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2? A. y= 4x+ 2 B. y = - 2x+ 1 C. y= 3x+ 1 D. y= 6x+ 1 Hướng dẫn giải + Xét phương trình: x3+ 4x+ 2= 2 ⇔ x3+ 4x = 0 ⇔x= 0 + Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’ = 3x2 + 4 ⇒ y’( 0) = 4 ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ là 2: y- 2= 4( x – 0) hay y= 4x+ 2 Chọn A. Ví dụ 4. Cho hàm số y= - x3 + 2x2+ 2x+1 có đồ thị (C). Gọi A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A? A. y= - 2x+ 1 B. y= 3x- 2 C. y= 4x+ 1 D. y= 2x+ 1 Hướng dẫn giải + Do A là giao điểm của đồ thị (C) với trục tung nên tọa độ điểm A( 0; 1) . + Đạo hàm y’= - 3x2+ 4x + 2 ⇒ y’( 0) = 2 ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A là: y- 1= 2( x- 0) hay y= 2x+ 1 chọn D. Ví dụ 5. Cho hàm số y= x2- 3x+ 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành ? A. y= -x+ 1 và y= x - 2 B. y= x+ 1 và y= - x+ 3 C. y= - 2x + 1 và y= x- 2 D. Đáp án khác Hướng dẫn giải + Giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là nghiệm phương trình : x2- 3x+2 = 0 Vậy đồ thị của hàm số đã cho cắt trục hoành tại hai điểm là A( 1; 0) và B( 2; 0). + Đạo hàm của hàm số đã cho: y’= 2x- 3 + Tại điểm A( 1; 0) ta có: y’( 1)= - 1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A là: y- 0= -1( x-1) hay y= - x+ 1 + tại điểm B( 2; 0) ta có y’( 2)= 1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại B là : y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là: y= -x+ 1 và y= x- 2 Chọn A. Ví dụ 6. Cho hai đường thẳng d1: 2x+ y- 3= 0 và d2: x+ y – 2= 0. Gọi A là giao điểm của hai đường thẳng đã cho. Cho hàm số y= x2+ 4x+ 1 có đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A. A. y= 3x- 5 B.y= 6x+ 1 C. y= 6x – 5 D. y= 2x+ 1 Hướng dẫn giải + Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2 là nghiệm hệ phương trình:
Vậy hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại A( 1; 1). + Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 2x+ 4 ⇒ y’( 1) = 6. ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại điểm A( 1; 1) là: y-1= 6( x- 1) hay y= 6x- 5 Chọn C. Ví dụ 7. Cho hàm số y =x4+ 2x2+ 1 có đồ thị ( C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ nguyên dương nhỏ nhất. Đường thẳng d song song với đường thẳng nào? A. y= - 6x B. y= 8x C. y= - 10x D. y= 12x Hướng dẫn giải + Đạo hàm của hàm số đã cho là: y’= 4x3+ 4x + Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) tại điểm có hoành độ là 1. + ta có; y’(1)= 8 và y(1)=4 ⇒ Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C) tại điểm có hoành độ là 1 là: y- 4= 8( x- 1) hay y= 8x- 4 ⇒ Đường thẳng d song song với đường thẳng y= 8x Chọn B. Ví dụ 8.Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=( x- 1)2( x- 2) tại điểm có hoành độ x= 2 là A. y= - 2x- 1 B. y= x+ 1 C. y= 3x+ 1 D. y= x- 2 Hướng dẫn giải +Gọi M(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm. Từ x0=2 ⇒ y0= 0 + Ta có : y= (x-1)2( x-2)= ( x2-2x+ 1) ( x- 2) Hay y= x3- 4x2+ 5x- 2 ⇒ Đạo hàm của hàm số đã cho là : y’= 3x2- 8x + 5 ⇒ y’(2)= 1 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y- 0= 1( x- 2) hay y= x- 2 chọn D. Ví dụ 9. Cho hàm số y= (x-2)/(2x+1). Phương trình tiếp tuyến tại A( -1; 3) là A. y= 5x+ 8 B. y= - 2x+3 C. y= 3x+ 7 D. Đáp án khác Hướng dẫn giải Đạo hàm của hàm số đã cho là;
Ví dụ 10 .Cho hàm số y=2x+m+1/x-1 (C). Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0= 0 đi qua A(4; 3)
Hướng dẫn giải
Ví dụ 11:Cho hàm số y=1/3 x3+x2-2 có đồ thị hàm sô (C). Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y"=0 là
Hướng dẫn giải Ta có y'=x2 +2x và y''=2x+2 Theo giả thiết x0 là nghiệm của phương trình ⇔2x+2=0⇔x0=-1 Và y’(-1)=-1 Phương trình tiếp tuyến tại điểm A(-1;-4/3)là: y= -1.(x+1)- 4/3 Hay y=-x-7/3 Chọn A. Phần 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi biết hệ số góc *Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0) ). Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là: y–y0=f' (x0).(x–x0) 1.- Gọi ∆ là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc k. - Giả sử M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Khi đó x0 thỏa mãn: f’(x0)= k (*) . - Giải (*) tìm x0. Suy ra y0= f(x0). Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y= k(x- x0) + y0 2. Cho đường thẳng d : y= kdx + b +) Nếu ∆ // d thì k∆ = kd +) Nếu ∆ vuông góc với d thì : k∆. kd = -1 ⇔ k∆ = (- 1)/kd
Ví dụ 1 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) :y=-x4-x2+6, biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d:y=1/6x-1 . A.y= 6x+ 1 B. y= - 6x+ 6 C.y= -6x+ 10 D. y= 6x+ 12 Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định D=R. Đạo hàm của hàm số: y’= - 4x3 – 2x Gọi ∆ là tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số và ∆ vuông góc với đường thẳng d : y=1/6x-1 . ⇒ đường thẳng ∆ có hệ số góc : k= -6. Cách 1: Gọi M(x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến ∆ và đồ thị (C) của hàm số . Khi đó, ta có phương trình: y'(x0)=-6 ⇔-4x03-2x0=-6 ⇔(x0-1)(2x02+2x0+3)=0(*). Vì 2x02+2x0+3 > 0,∀x0∈R nên phương trình ( *) tương đường x0 =1 ⇒ y0= y(1)= 4 nên M( 1 ; 4) Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y=-6(x-1)+4=-6x+10. Cách 2: Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=-6x+m ( **) Do ∆ tiếp xúc (C) tại điểm M(x0 ; y0) khi hệ phương trình sau có nghiệm x0 :
Thay vào (**) ta có phương trình tiếp tuyến là: y= - 6x+ 10 Chọn C. Ví dụ 2. Cho hàm số y=1/3 x3-x+2/3 có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vuông góc với đường thẳng d: y=-1/3 x+2/3. A. ( 1; -2) và ( -2; 0) B. ( - 2; 0) và ( 2; 4/3 ) C. ( -2; 5) và ( 1;0) D. Đáp án khác Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định D= R. Ta có đạo hàm: y'=x2-1 GọiM(x0;y0)∈(C) ⇔y0=1/3 x03-x0+2/3, Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: y'(x0)=x02-1 Đường thẳng d: có hệ số góc k2=-1/3
Ví dụ 3: Trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số y=x3-3x2+2, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng A.-3 B.3 C.4 D.0 Hướng dẫn giải Đạo hàm:y'=3x2-6x=3(x-1)2 -3 ≥-3với mọi x. Vậy trong các tiếp tuyến tại các điểm trên đồ thị hàm số đã cho, tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất bằng - 3. Chọn A. Ví dụ 4: Cho hàm số y= x3+ 3x2- 9x+ 5 có đồ thị (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. A: y=-2x+4 B: x+y+12=0 C: 12x+y-4=0 D: x-12y+4=0 Hướng dẫn giải Ta có đạo hàm : y’= 3x2+ 6x- 9 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f' (x0 )= 3.x02+6x0-9 Ta có: 3.x02+6x0-9=3( x02+2x0+1)-12=3(x0+1)2-12 ≥ -12 ∀x0 Vậy min f' (x0 )=-12 tại x0= -1 ⇒ y0= 16 Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm:y= -12(x+1)+16 hay y=-12x+4 Chọn C Ví dụ 5.Cho hàm số y= x3+ 3mx2+ (m+ 1)x+ 1 ( 1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị của hàm số (1) tại điểm có hoành độ x=-1 đi qua điểm A(1;2). A: 1 B: -1 C: 3 D: 5/8 Hướng dẫn giải Ta có đạo hàm: y’= 3x2+ 6mx + m+ 1 Với x0 = - 1 ⇒ y0= 2m- 1 và y’( -1) = - 5m+ 4. Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(-1;2m-1): y=(-5m+4)(x+1)+2m-1 (d). Ta có điểm A( 1; 2) thuộc đường thẳng d nên: 2= ( - 5m+ 4).(1+1) +2m- 1 ⇔ 2= - 10m+ 8+ 2m- 1 ⇔ - 8m+ 5= 0 ⇔ m= 5/8. Chọn D. Ví dụ 6:Cho hàm số y= -x3- 3x2+ 9x – 5 (C). Trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C) hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất. A: y=8x-3 B: y=6x-4 C: y=10x-2 D: y=12x-4 Hướng dẫn giải Ta có đạo hàm: y’= - 3x2- 6x+ 9 Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, ta có y' (x0 )= -3x02-6x0+9
Từ đó suy ra max y' (x0)=12 tại x0= - 1. Với x0= -1 ⇒ y0= - 16 , phương trình tiếp tuyến cần tìm:y=12x-4 Chọn D Ví dụ 7: Cho hàm số y= (2x-1)/(x-1) có đồ thị ( C) . Gọi I(1;2) Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM? A. M(3;2) B. (0;1) C. (2;3) D. Cả B và C đúng Hướng dẫn giải
Ví dụ 8:Cho hàm số y= 2x/x+1. Có mấy điểm M thuộc C, biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục tọa độ tại A; B và tam giác 0AB có diện tích bằng 1/4 A: 0 B: 1 C: 2 D: 3 Hướng dẫn giải
Ví dụ 9. Cho đồ thị (C): y= (( 3m+1)x-m)/(x+m).Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với Ox song song với đường thẳng d: y=-x-5. A. (- 1)/6; (- 1)/2 B: - 1/4 C: -1/2 ; 1 D: Tất cả sai Hướng dẫn giải
Ví dụ 10: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y=1/3x3 -m/2x2+1/3 (m là tham số). Gọi M là điểm thuộc (C) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 A: m=1 B: m=2 C: m=3 D: m=4 Hướng dẫn giải
Ví dụ 11. Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C): y= x3- 3x2+ 2, biết d cắt các trục Ox; Oy lần lượt tại A; B thỏa mãn OB= 9OA. A. y= 9x+ 5 và y= 9x- 25 B. y= 9x+ 7 và y= 9x- 25 C. y= - 9x+ 1 và y= 9x + 7 D. Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi M(x0; y0) là toạ độ tiếp điểm Đạo hàm của hàm số đã cho: y’= 3x2- 6x Theo bài toán, đường thẳng d ≡AB.
Ví dụ 12. Cho hàm số y=x3-2x2+8x+5 có đồ thị là (C). Khẳng định nào sau đây đúng nhất ? A. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau B. Luôn có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau C. Hàm số đi qua điểm M( 1 ;17) D. Cả A, B, C đều sai Hướng dẫn giải Ta có y'(x)=3x2-4x+8 Xét phương án A: Giả sử trái lại có hai tiếp tuyến với đồ thị vuông góc với nhau. Gọi x1; x2 tương ứng là các hoành độ của hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó. Gọi k1 ; k2 lần lượt là các hệ số góc của hai tiếp tuyến tại các điểm trên (C) có hoành độ x1 ; x2 . Khi đó k1,k2=-1⇒y' (x1 ).y' (x2 )=-1 ⇒(3x12-4x1+8)(3x22-4x2+8)=-1 Tam thức f(t)=3t2-4t+8 có nên f(t)> 0∀t∈R ⇒ ( 1) không thể xảy ra. Vậy, giả thiết phản chứng là sai. Không có bất kỳ hai tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số lại vuông góc với nhau Chọn A. Ví dụ 13.Cho hàm số: y= 2x+2/x-1 có đồ thị ( C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1. A. y= -x- 2; y= -x+ 7. B. y= -x- 5; y= -x+ 6. C. y= -x- 1; y= -x+ 4. D. y= -x- 1; y= -x+ 7. Hướng dẫn giải
Ví dụ 14. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số: y=2x/(x-1) nếu tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (Δ):9x-2y+1=0
Hướng dẫn giải
Ví dụ 15: Cho hàm số y=x4/4+x2/2+2 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) song song với đường thẳng d: y= 2x- 2
Hướng dẫn giải Đạo hàm y’= x3+ x Đường thẳng d có hệ số góc k= 2. Do tiếp tuyến ∆ của (C) song song với đường thẳng d:y= 2x-2 nên hệ số góc của đường thẳng ∆ là k∆= 2 ⇒ x3+ x= 2 ⇒ x= 1 Tại x= 1 ta có y= 11/4;y' (1)=2 Phương trình tiếp tuyến ∆: y=2(x-1)+11/4=2x+3/4 Chọn A Ví dụ 16: .Cho hàm số y=2x4-4x2-1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x- 48y + 1= 0..
Hướng dẫn giải Ta có đạo hàm: y'=8x3-8x. Gọi M(x0.y0 )Tiếp tuyến tại M có phương trình:. y=(8x03-8x0)(x-x0)+2x04-4x02-1.. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x-48y+1=0 hay y= 1/48 x+ 1/48. Nên ta có: y'(x0).1/48=-1⇔y'(x0)=-48. 8x03-8x0+48=0 ⇒x0=-2 ⇒y0=15.. Phương trình Δ:y=-48(x+2)+15=-48x-81. Chọn A. Ví dụ 17: Tìm m để đồ thị hàm số y=1/3 mx3+(m-1)x2+(2-3m)x+1 tồn tại đúng điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d: x+ 2y – 3= 0.
Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định trên R. Ta có: y'=mx2+2(m-1)x+2-3m.
Ví dụ 18Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y=1/3x3 +m/2x2+1/3 (m là tham số) . Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (Cm) tại điểm M song song với đường thẳng 5x-y=0 A: m=1 B: m=2 C: m=3 D: m=4 Hướng dẫn giải
Phần 6: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 1 điểm *Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0) ). Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là: y–y0=f' (x0).(x–x0) Cho (C) là đồ thị của hàm số y= f(x) và điểm A( a ; b).Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua A. - Gọi ∆ là đường thẳng qua A và có hệ số góc k. Khi đó tiếp tuyến ∆ có dạng : y= k(x- a)+ b (*)
- Thay (2) vào (1) ta có phương trình ẩn x. Tìm x thay vào (2) tìm k thay vào (*) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm. Ví dụ 1 : Cho hàm số y=2x4-4x2-1 có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A( 1; -3).
Hướng dẫn giải Ta có y'=8x3-8x Gọi M(x0; 2x04- 4x02-1) là một điểm thuộc đồ thị hàm số (C). Tiếp tuyến ∆ tại M có phương trình: y=(8x03-8x0)(x-x0)+2x04-4x02-1 ( *) Vì tiếp tuyến ∆ đi qua A( 1; -3)nên ta có
+ Với x0 = 1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến: y= -3. + Với x0= -1 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến: y= -3. + Với x0= 1/3 thay vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến:
Ví dụ 2. Cho ( C) là đồ thị của hàm số: y= x3+ 3x2 – 6x+ 1. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) đi qua điểm N( 0; 1) .
Hướng dẫn giải Gọi M( x0; y0 ) là tiếp điểm Ta có đạo hàm của hàm số đã cho là: y'= 3x2+6x-6 Phương trình tiếp tuyến có dạng: Vì tiếp tuyến đi qua N( 0;1) nên ta có: 1=(3x02+6x0-6)(-x0)+x03+3x02-6x0+1 ⇔2x03+3x02=0 ⇔x0=0,x0=-3/2 + Nếu x0= 0 ⇒ y’(x0)= - 6. ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y= -6x+ 1. + Nếu x0=-3/2 thì y' (x0 )= (- 33)/4; y0= 107/8 ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y'=-33/4(x+3/2)+107/8=-33/4 x+1 Chọn C. Ví dụ 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y=x4+x2+1 biết tiếp tuyến đi qua điểm M( -1; 3). A. y= -6x - 2 B. y= -6x- 9 C. y= -6x- 3 D. y= - 6x- 4 Hướng dẫn giải Ta có đạo hàm : y’= 43 + 2x. Gọi M( x0; y0) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến có dạng: y=(4x03+2x0)(x-x0)+x04+x02+1 Vì tiếp tuyến đi qua M( -1; 3) nên ta có: ⇔(x0+1)2 (3x02-2x0+2)=0 ⇔x0=-1 ⇒y0=3,y'(x0)=-6 Phương trình tiếp tuyến: y – 3= - 6( x+ 1) hay y= - 6x – 3 Chọn C. Ví dụ 4. Cho hàm số y=2x+2/x-1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 4; 3)
Hướng dẫn giải Hàm số xác định với mọi . Ta có đạo hàm Gọi M( x0; y0) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):
Ví dụ 5. Tìm trên (C) : y= 2x3- 3x2 + 1 những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. A. M( 1; 0) B. M(- 2; - 27) C. M( -1; - 4) D. M( 2; 5) Hướng dẫn giải Giả sử M(x0;y0)∈(C) ⇔ y0=2x03-3x02+1. Ta có đạo hàm: y'=6x2-6x. Phương trình tiếp tuyến ⇔ tại M: y=(6x02-6x0)(x-x0)+2x03-3x02+1. Gọi giao điểm của tiếp tuyến ∆ và trục tung là P ⇒ P( 0; 8) ⇔ đi qua P( 0; 8) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình∆ ta được 8=-4x03+3x02+1 ⇔ x0=-1. Vậy M(-1; - 4) Chọn C. Ví dụ 6: Cho hàm số (C): y = (x+2)/(x-2) . Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(-6;5) của đồ thị (C). A: y=x+1 B: y=-x-1 C: y=-x+1 D: Đáp án khác Hướng dẫn giải
Ví dụ 7.Cho hàm số y=(2x+1)/(x-1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua A( -7; 5).
Hướng dẫn giải
Phần 7: Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước *Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y= f(x) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0(x0; f(x0) ). Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 là: y–y0=f' (x0).(x–x0) Ví dụ 1. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y=x3-(2m+1)x2+(m+3)x-3 và (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng 7/√17 . A. 1 B. 2 C. 0 D.3 Hướng dẫn giải Hàm số đã cho xác định với mọi x thuộc i . Ta có đạo hàm: y'=3x2 -2(2m+1)x+m+3 ⇒ y( 2) = - 6m+ 7 và y’( 2) = -7m+ 11 Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm có hoành độ x= 2 là: y'=y'(2)(x-2)+y(2) ⇔ y= ( 11 – 7m)( x- 2)+ 7- 6m = ( 11- 7m)x+ 8m- 15 ⇔ ( 11- 7m)x –y + 8m- 15=0 Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là:
.Ví dụ 2. Cho hàm số y=3-x/x+2 (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C) biết (d) cách đều hai điểm A( -1; -2) và B( 1; 0) A. y= - 3x+ 1 B. y= -5x- 1 C. y= 5x+ 3 D. y= -2x+ 1 Hướng dẫn giải
Ví dụ 3. Cho đồ thị (C) của hàm số: y=2x+3/x+1 . Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị ( C) tại những điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (d): 3x+ 4y – 2= 0 bằng 2? A. 1 B. 2 C. 3 D.4 Hướng dẫn giải
Chọn D. Ví dụ 4.Cho hàm số y= x3- 3x2+ 1 có đồ thị là ( C). Tìm trên đồ thị hai điểm A; B sao cho tiếp tuyến tại A và B song song với nhau và khoảng cách từ O đến đường thẳng đi qua hai điểm A; B bằng /√10/5 . A. ( 1;2) và ( -2; -3) B. ( -2; 4) và ( - 5; 2) C. ( -1; 0) và ( 7; 2) D. Đáp án khác Hướng dẫn giải Gọi A("x"1 ;"y"1 =x13-3x12+1), B("x" 2 ;"y" 2 =x23-3x22+1)là 2 điểm cần tìm với x1khác x2 Ta có đạo hàm: "y' "=" 3x" 2 -"6x" Hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại A và B lần lượt là "k"1 =" 3" x12-"6x" 1 ,"k"2=" 3" x22-"6x" 2 Tiếp tuyến của tại A và B song song với nhau nên "k"1 ="k"2⇔" 3" x12-"6x" 1 =" 3" x22-"6x" 2
Ví dụ 5.Cho hàm số y=(2x+1)/(x-1) có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng
Hướng dẫn giải
Chọn D. Ví dụ 6. Cho hàm số y=2x+m+1/x-1 (C) . Tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0= 2 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng . Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m thỏa mãn? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải
Ví dụ 7. Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (c):y=2x+1/x+1 biết d cách đều 2 điểm A(2; 4) và B( -4; -2) .
Hướng dẫn giải Gọi M(x0;y(x0)) , là tọa độ tiếp điểm của d và ( C)
Ví dụ 8.Xác định m để hai tiếp tuyến của đồ thị y=-x4+2mx2-2m+1 tại A(1; 0) và B( -1;0) hợp với nhau một góc M sao cho M=15/17 .
Hướng dẫn giải
Chọn B Ví dụ 9 :Cho hàm số y=(x-1)/(2(x+1)) có đồ thị là (C). Tìm những điểm M trên (C) sao cho tiếp tuyến với (C) tại M tạo với hai trục tọa độ một tam giác có trọng tâm nằm trên đường thẳng 4x + y = 0.
Hướng dẫn giải
Ví dụ 10. Cho hàm số y=(x+3)/(x-1), có đồ thị là (C). Hỏi có bao nhiêu điểm M trên đường thẳng d: y= 2x+1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C). A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Hướng dẫn giải
|
