Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC và DE. Câu 20 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 – Bài 3. Tính chất đường phân giác của tam giác Advertisements (Quảng cáo) Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB (E thuộc AC)
AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) Suy ra: \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất tia phân giác) Suy ra: \({{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) Suy ra: \({{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) Suy ra: \(DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{28.12} \over {12 + 20}} = {{21} \over 2} = 10,5\) (cm) Vậy DC = BC – DB = 28 – 10,5 = 17,5 (cm) Trong tam giác ABC, ta có: DE // AB Advertisements (Quảng cáo) Suy ra: \({{DC} \over {DB}} = {{DE} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) Vậy: \(DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{17,5.12} \over {28}} = 7,5\) (cm0
\({{{S_{ABD}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{DB} \over {BC}} = {{{{21} \over 2}} \over {28}} = {{21} \over {56}} = {3 \over 8}\) Vậy : \({S_{ABD}} = {3 \over 8}S\) \({S_{ADC}} = {S_{ABC}} – {S_{ABD}} = S – {3 \over 8}S = {8 \over 8}S – {3 \over 8}S = {5 \over 8}S\) Vì DE // AB và AD là đường phân giác góc A nên AE = DE. Ta có: \({{{S_{ADE}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{AE} \over {AC}} = {{DE} \over {AC}} = {{7,5} \over {20}}\) Vậy: \({S_{ADE}} = {{7,5} \over {20}}.{S_{ADC}} = {{7,5} \over {20}}.{5 \over 8}S = {{7,5} \over {32}}S\) Ta có: \({S_{DCE}} = {S_{ADC}} – {S_{ADE}} = {5 \over 8}S – {{7,5} \over {32}}S = {{12,5} \over {32}}S\). Hướng dẫn giải Sử dụng: - Tính chất đường phân giác: Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề của hai đoạn ấy. - Hệ quả của định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho. - Tính chất của tỉ lệ thức: \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\) Lời giải chi tiết
\(\displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) Suy ra: \( \displaystyle {{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) \(\Rightarrow \displaystyle{{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) \(\Rightarrow \displaystyle {{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) \(\Rightarrow \displaystyle DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{28.12} \over {12 + 20}} \)\(\, = 10,5\; (cm)\) \(\Rightarrow DC = BC - DB = 28 - 10,5 \)\(\,= 17,5\; (cm)\) Trong tam giác \(ABC\) có \(DE // AB\) nên theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có: \(\displaystyle {{DC} \over {BC}} = {{DE} \over {AB}}\) \(\Rightarrow \displaystyle DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{17,5.12} \over {28}} = 7,5\)\(\; (cm)\)
\(\displaystyle \frac{{{S_{ABD}}}}{{{S_{ABC}}}} = \frac{{DB}}{{BC}} = \frac{{10,5}}{{28}} = \frac{{21}}{{56}} = \frac{3}{8}\) Vậy \(\displaystyle {S_{ABD}} = {3 \over 8}S\) \({S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ABD}} \)\(\,\displaystyle = S - {3 \over 8}S = {8 \over 8}S - {3 \over 8}S = {5 \over 8}S\) Vì \(DE // AB\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {EDA}\) (cặp góc so le trong) (1) \(AD\) là đường phân giác góc \(A\) nên \(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {EAD} = \widehat {EDA}\) Do đó \(\Delta AED\) cân tại \(E\) \( \Rightarrow AE = DE\) (tính chất tam giác cân). Vì \(∆ADE\) và \(∆ADC\) có chung đường cao kẻ từ đỉnh \(D\) do đó, \(\displaystyle {{{S_{ADE}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{AE} \over {AC}} = {{DE} \over {AC}} = {{7,5} \over {20}}\) Vậy \(\displaystyle {S_{ADE}} = {{7,5} \over {20}}.{S_{ADC}} = {{7,5} \over {20}}.{5 \over 8}S \)\(\,\displaystyle= {{7,5} \over {32}}S\) Ta có \(\displaystyle {S_{DCE}} = {S_{ADC}} - {S_{ADE}} \)\(\,\displaystyle = {5 \over 8}S - {{7,5} \over {32}}S = {{12,5} \over {32}}S\). Suy ra: \({{DB} \over {BC}} = {{15} \over {35}}\) \( \Rightarrow DB = {{15} \over {35}}.BC = {{15} \over {35}}.25 = {{75} \over 7}\) (cm)
Ta có: \({S_{ABD}} = {1 \over 2}AH.BD;{S_{ADC}} = {1 \over 2}AH.DC\) Suy ra: \({{{S_{ABD}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{{1 \over 2}AH.BD} \over {{1 \over 2}AH.DC}} = {{BD} \over {DC}}\) Mà \({{DB} \over {DC}} = {{15} \over {20}} = {3 \over 4}\) (chứng minh trên ) Vậy: \({{{S_{ABD}}} \over {{S_{ADC}}}} = {3 \over 4}\) Câu 18 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE và CF Chứng minh rằng: \({{DB} \over {DC}}.{{EC} \over {EA}}.{{FA} \over {FB}} = 1\) Giải: Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) Suy ra: \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác ) (1) BE là đường phân giác \(\widehat {ABC}\) Suy ra: \({{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {AB}}\) (tính chất đường phân giác ) (2) CF là đường phân giác của \(\widehat {ACB}\) Suy ra: \({{FA} \over {FB}} = {{CA} \over {CB}}\) (tính chất đường phân giác ) (3) Nhân từng vế (1), (2) và (3), ta có: \({{DB} \over {DC}}.{{EC} \over {EA}}.{{FA} \over {FB}} = {{AB} \over {AC}}.{{BC} \over {AB}}.{{CA} \over {CB}} = 1\) Câu 19 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Tam giác cân BAC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại N
Giải:
Suy ra: \({{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\) (tính chất đường phân giác ) (1) CN là đường phân giác \(\widehat {BAC}\) Suy ra: \({{NA} \over {NB}} = {{AC} \over {AB}}\) (tính chất đường phân giác ) (2) Lại có: AB = CB = a (gt) Từ (1), (2) và (gt) suy ra: \({{MC} \over {MB}} = {{NA} \over {NB}}\) Trong tam giác BAC, ta có: \({{NA} \over {NB}} = {{MC} \over {MB}}\) Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo của định lí Ta-lét)
Suy ra: \({{MC + MB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}} \Rightarrow {{CB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}}\) Hay \({a \over {MC}} = {{b + a} \over a} \Rightarrow MC = {{{a^2}} \over {a + b}}\) Trong tam giác ABC, ta có: MN // AC (chứng minh trên ) Và \({{MN} \over {AC}} = {{MB} \over {BC}}\) Vậy \(MN = {{AC.MB} \over {BC}} = {{b.{{{a^2}} \over {a + b}}} \over a} = {{ab} \over {a + b}}\) Câu 20 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2 Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB (E thuộc AC)
Giải:
AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) Suy ra: \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất tia phân giác) Suy ra: \({{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) Suy ra: \({{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) Suy ra: \(DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{28.12} \over {12 + 20}} = {{21} \over 2} = 10,5\) (cm) Vậy DC = BC – DB = 28 – 10,5 = 17,5 (cm) Trong tam giác ABC, ta có: DE // AB Suy ra: \({{DC} \over {DB}} = {{DE} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) Vậy: \(DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{17,5.12} \over {28}} = 7,5\) (cm0
\({{{S_{ABD}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{DB} \over {BC}} = {{{{21} \over 2}} \over {28}} = {{21} \over {56}} = {3 \over 8}\) Vậy : \({S_{ABD}} = {3 \over 8}S\) \({S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ABD}} = S - {3 \over 8}S = {8 \over 8}S - {3 \over 8}S = {5 \over 8}S\) Vì DE // AB và AD là đường phân giác góc A nên AE = DE. Ta có: \({{{S_{ADE}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{AE} \over {AC}} = {{DE} \over {AC}} = {{7,5} \over {20}}\) Vậy: \({S_{ADE}} = {{7,5} \over {20}}.{S_{ADC}} = {{7,5} \over {20}}.{5 \over 8}S = {{7,5} \over {32}}S\) Ta có: \({S_{DCE}} = {S_{ADC}} - {S_{ADE}} = {5 \over 8}S - {{7,5} \over {32}}S = {{12,5} \over {32}}S\). |
