Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) Quảng cáo + Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) . + Vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) vì d ⊥ (α) + Áp dụng cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm biết vecto chỉ phương của đường thẳng đó. Chú ý: Các trường hợp đặc biệt. + Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP là uΔ→ = k→ = (0;0;1) . + Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP là uΔ→ = j→ =(0;1;0) . +Nếu Δvuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP là uΔ→ = i→ =(1;0;0) . Ví dụ 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x - y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng? A. Vậy phương trình tham số của Δ là:  B. Phương trình chính tắc của Δ là: C. Vậy phương trình tham số của Δ là: D. Phương trình chính tắc của Δ là: Hướng dẫn giải Vì đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (α) nên vectơ chỉ phương của Δ là: Vậy phương trình tham số của Δ là: Phương trình chính tắc của Δ là: Chọn A. Quảng cáo Ví dụ 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua M (1; 3; -2) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm mệnh đề sai? A. phương trình tham số của Δ là: B. Đường thẳng d không có phương trình chính tắc. C. Điểm H( 1;3; 4) thuộc đường thẳng d D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P): 2x+ 3y+ z= 0. Hướng dẫn giải Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z= 0 nên có vecto pháp tuyến là Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (Oxy) nên vectơ chỉ phương của d là: Vậy phương trình tham số của Δ là: và đường thẳng d không có phương trình chính tắc Cho t= 6 ta được điểm H( 1;3; 4) thuộc đường thẳng d. Mặt phẳng (P): 2x+ 3y + z= 0 có vecto pháp tuyến là : Ta có: => Đường thẳng d và mặt phẳng ( P) không vuông góc với nhau. Chọn D. Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A(1;2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x +2y + z + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai? A. Vậy phương trình tham số của d là: B. Phương trình chính tắc của d là: C. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là: D. Điểm M( 3; 4; 4) thuộc đường thẳng d. Hướng dẫn giải Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên vectơ chỉ phương của d là: Vậy phương trình tham số của d là: Cho t= 1 ta được điểm M (3; 4; 4) thuộc đường thẳng d Phương trình chính tắc của d là:
Chọn C. Quảng cáo Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y = 5z + 10 . Phương trình chính tắc của của đường thẳng d đi qua điểm M( -2; 1; 3) và vuông góc với (P) là: A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Phương trình mặt phẳng (P): x- 2y = 5z+ 10 hay x- 2y – 5z – 10= 0 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến + Vì d vuông góc với (P) nên d có vectơ chỉ phương u→= Đường thẳng d đi qua điểm M( -2;1 ;3) và có vectơ chỉ phương Vậy phương trình chính tắc của d là: Chọn A. Ví dụ 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho mặt phẳng (P):2x- 3y+ 5z= 0. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P). Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua O và vuông góc với ( Q) là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Do mặt phẳng (Q) song song với (P) nên mặt phẳng (Q) có dạng: 2x- 3y +5z+ D= 0 Khi đó; mặt phẳng (Q) nhận vecto Vì d vuông góc với (Q) nên d có vectơ chỉ phương Đường thẳng d đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương nên phương trình tham số của d là: Chọn B. Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A( 2;0; 0); B( 0; -2; 0) và C(0; 0; 3). Một đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là : A. B. C. D. Đáp án khác Hướng dẫn giải + Phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) là: Mặt phẳng ( P) nhận vecto + Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: => Phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn A. Ví dụ 7 . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 0; 0) và song song với đường thẳng A. B. C. D. Hướng dẫn giải + Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P) Đường thẳng d đi qua điểm H( 1; -3; 1) và có vecto chỉ phương Vecto + Do mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: + Do đường thẳng Δ đi qua M ( -2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng(P) nên đường thẳng Δ nhận vecto => PHương trình tham số của đường thẳng Δ là: Chọn C. Ví du 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng A. B. C. D. Không có phương trình chính tắc Hướng dẫn giải + Viết phương trình mặt phẳng (P) Đường thẳng d1 đi qua A( 0; 2;0) và có vecto chỉ phương Đường thẳng d2 đi qua B( -2; 2; 0) và có vecto chỉ phương => => Hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau Mặt phẳng (P) đi qua A( 0; 2; 0) và có vecto pháp tuyến là: (0; 4; 1) nên có phương trình: 0( x- 0) + 4( y-2) + 1( z- 0) = 0 hay 4y+ z- 8= 0 + Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là: => Đường thẳng d không có phương trình chính tắc Chọn D. Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; -1; -4) và vuông góc với mặt phẳng (Oxz) là. A. B. C. D.
Mặt phẳng ( Oxz) có phương trình là: y= 0 nên có vectơ pháp tuyến Vì d vuông góc với (Oxz) nên d có vectơ chỉ phương u→ = Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; -1; -4) và có vectơ chỉ phương u→ Vậy phương trình tham số của d là Chọn C. Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho tam giác ABC có A( 0; 2; -1); B( 2; -3; 1) và C( 1; -2; 0). Phương trình tham số d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là A. B. C. D.
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là: Ta có: Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là => Phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn A. Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A(2;3;2) và B(-2; 3; 4). Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB) là A. B. C. D.
Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là: Ta có; Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( OAB) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là => Phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn B. Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho tam giác ABC có A(1;2; 1); B(0; -1; 2) và C( 2; 3; 0). Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng d. A. B. C. D.
Ta có: Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng d có một vecto chỉ phương là : Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là => Phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn D. Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( -2 ; 1 ; 9) đồng thời vuông góc với giá của hai vectơ A. B. C. D.
Do đường thẳng d đồng thời vuông góc với giá của hai vecto Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là => Phương trình tham số của đường thẳng d là: Chọn D. Câu 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-1;0;1)và song song với đường thẳng A. B. C. D.
+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P) Đường thẳng d đi qua điểm H( 0; -3; 0) và có vecto chỉ phương + Do mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: + Do đường thẳng Δ đi qua M (2;1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng(P) nên đường thẳng Δ nhận vecto => PHương trình tham số của đường thẳng Δ là: Chọn C. Câu 7: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng A. Phương trình mặt phẳng (P): - 10x+ 8y+ 9z - 4= 0 B. Phương trình tham số của đường thẳng d: C. PHương trình chính tăc của đường thẳng d: D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) Đường thẳng d1 đi qua A( 3;2; 2) và có vecto chỉ phương Đường thẳng d2 đi qua B( -2; - 2; 0) và có vecto chỉ phương => => Hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau Mặt phẳng (P) đi qua A( 3; 2; 2) và có vecto pháp tuyến là: (-10; 8; 9 ) nên có phương trình: - 10( x- 3) + 8( y-2) + 9( z- 2) = 0 hay - 10x + 8y + 9z - 4= 0 + Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là: => Đường thẳng d có phương trình chính tắc : Đường thẳng d có phương trình tham số: Chọn D. Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P) chứa trục Ox và đi qua điểm A( 2; 3; 1). Gọi d là đường thẳng qua M( -2; 0; 1) và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm mệnh đề sai A. Phương trình tham số đường thẳng (d): B. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là : C. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là : D. Phương trình mặt phẳng (P) là: - y+ 3z= 0
+ Trục Ox đi qua điểm O (0; 0; 0)và nhận vecto Ta có: => Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là: Mặt phẳng ( P) đi qua A( 2; 3; 1 ) và vecto pháp tuyến là: => Phương trình mặt phẳng (P) là: 0( x- 2) – 1( y- 3) + 3( z-1) = 0 hay – y+ 3z=0 + Do đường thẳng d đi qua M(- 2; 0;1) và vuông góc với (P) nên nhận vecto (0; -1; 3) làm vecto chỉ phương => Phương trình tham số của đường thẳng d: Đường thẳng d không có phương trình chính tắc. Chọn D.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp |
