Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \(A(5;0)\) và \(B(0;3)\) là:
Hypebol $(H):\,\,16{x^2} - 9{y^2} = 16$ có các đường tiệm cận là:
Cho elip \((E):{x^2} + 4{y^2} - 40 = 0\). Chu vi hình chữ nhật cơ sở là:
Elip $(E)$ có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tâm sai của $(E)$ là:
Phương trình chính tắc của elip có hai đỉnh là \(A(5;0)\) và \(B(0;3)\) là:
Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có tiêu điểm thứ nhất là . Bài 6 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10 – I-Đề toán tổng hợp
Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E) có tiêu điểm thứ nhất là \(\left( { – \sqrt 3 ;0} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)\)
a) Hãy xác định tọa độ các đỉnh của (E).
b) Viết phương trình chính tắc của (E).
c) Đường thẳng đi qua tiêu điểm thứ hai của elip (E) và vuông góc với trục Ox và cắt (E) tại hai điểm C và D. Tính độ dài đoạn thẳng CD.
Gợi ý làm bài
a) (E) có tiêu điểm \({F_1}\left( { – \sqrt 3 ;0} \right)\) nên \(c = \sqrt 3 .\)
Phương trình chính tăc của (E) có dạng
\({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1.\)
Ta có : \(M\left( {1;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right) \in (E)\)
\( \Rightarrow {1 \over {{a^2}}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\)
Và \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 3\)
Thay vào (1) ta được :
\(\eqalign{ & {1 \over {{b^2} + 3}} + {3 \over {4{b^2}}} = 1 \cr
& \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^2}(b + 3) \cr} \)
\( \Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} – 9 = 0 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)
Quảng cáoSuy ra \({a^2} = 4.\)
Ta có a = 2 ; b = 1.
Vậy (E) có bốn đỉnh là : (-2 ; 0), (2 ; 0)
(0 ; -1) và (0 ; 1).
b) Phương trình chính tắc của (E) là :
\({{{x^2}} \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1\)
c) (E) có tiêu điểm thứ hai là điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(\left( {\sqrt 3 ;0} \right)\) và vuông góc với Ox có phương trình \(x = \sqrt 3 .\)
Phương trình tung độ giao điểm của \(\Delta \) và (E) là :
\({3 \over 4} + {{{y^2}} \over 1} = 1 \Leftrightarrow {y^2} = \pm {1 \over 2}.\)
Suy ra tọa độ của C và D là :
\(C\left( {\sqrt 3 ; – {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( {\sqrt 3 ;{1 \over 2}} \right)\)
Vậy CD = 1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E) . Bài 21 trang 199 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10 – I-Đề toán tổng hợp
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có tiêu điểm \({F_1}\left( { – 2;0} \right)\) và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng \(12\sqrt 5 \)
Viết phương trình đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ và (C) cắt (E) tại bốn điểm tạo thành hình vuông.
Gợi ý làm bài
(Xem hình 3.44)
Phương trình elip có dạng: \((E):{{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1.\)
Ta có tiêu điểm \({F_1}\left( { – 2;0} \right)\). Suy ra c = 2.
Diện tích hình chữ nhật cơ sở ABCD là 4ab. Suy ra \(4ab = 12\sqrt 5 \)
Ta có : \({a^2} = {b^2} + {c^2} = {b^2} + 4.\)
Giải hệ phương trình :
Quảng cáo\(\left\{ \matrix{ ab = 3\sqrt 5 \hfill \cr
{a^2} = {b^2} + 4 \hfill \cr} \right.\)
Ta được:
\(\left\{ \matrix{ a = 3 \hfill \cr
b = \sqrt 5 . \hfill \cr} \right.\)
Vậy phương trình elip là : \({{{x^2}} \over 9} + {{{y^2}} \over 5} = 1.\)
Đường tròn (C) tâm O, bán kính R cắt elip tại bốn điểm M, N, P, Q.
Ta có MNPQ là hình vuông suy ra phương trình đường thẳng OM là : y = x.
Thay y = x vào phương trình elip ta được:
\({R^2} = O{M^2} = x_M^2 + y_M^2 = {{45} \over 7}.\)
Vậy phương trình đường tròn (C) là : \({x^2} + {y^2} = {{45} \over 7}\)
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Quảng cáo
- Từ các thành phần đã biết, áp dụng các công thức liên quan ta tìm được phương trình chính tắc của elip:
- Các hệ thức:
+ 0 < b < a; 0 < c < a
+ c2 = a2 - b2
+ F1F2 = 2c ( tiêu cự)
+ A1A2 = 2a (độ dài trục lớn) .
+ B1B2 = 2b( độ dài trục nhỏ).
+ M thuộc ( E) ⇔ MF1 MF2= 2a.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip ( E) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)?
A.
C.
Lời giải
Phương trình chính tắc của elip có dạng = 1 (a,b > 0).
Ta có độ dài trục lớn bằng 12 nên 2a= 12 ⇒ a= 6
Vậy phương trình của Elip là:
Chọn C
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài tiêu cự bằng 6. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)?
A.
C.
Lời giải
Ta có:
+ Độ dài trục lớn bằng 10 nên 2a = 10 ⇒ a = 5
+ Độ dài tiêu cự là 6 nên 2c = 6 ⇒ c = 3
⇒ b2 = a2 – c2 = 52- 32 = 16
Vậy phương trình của Elip là:
Chọn A
Quảng cáo
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ bằng 8 và độ dài tiêu cự bằng 10. Phương trình nào sau đây là phương trình của elip (E)
A.
C.
Lời giải
Ta có:
+ Độ dài trục nhỏ là 8 nên 2b= 8 ⇔ b= 4.
+ Độ dài tiêu cự bằng 10 nên 2c= 10 ⇔ c= 5
Suy ra : a2 = b2 + c2 = 42+ 52 = 41
Vậy phương trình của Elip là:
Chọn D
Ví dụ 4: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3.
A.
C.
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip = 1 (a,b > 0). .
Ta có
⇒ Phương trình elip ( E) :
Chọn D
Ví dụ 5: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/3 .
A.
C.
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).
Tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 1/3 nên
Lại có trục lớn bằng 6 nên 2a= 6 ⇔ a= 3
Mà a = 3c nên c = 1 ⇒ b2 = a2 - c2 = 8
⇒ Phương trình chính tắc elip ( E) :
Chọn B
Quảng cáo
Ví dụ 6: Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là
M( 4; 3)
A.
C.
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).
Các đỉnh của hình chữ nhật cơ sở có tọa độ: ( a;b) ; ( a; - b); ( -a; -b) và (-a; b).
Ta có M(4; 3) là một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở nên chọn
⇒ Phương trình elip ( E) : = 1.
Chọn A
Ví dụ 7: Phương trình của Elip có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
A. 9x2 + 16y2 = 144 B.
C. 9x2 + 16y2 = 1 D.
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip có dạng = 1 (a,b > 0).
Ta có độ dài trục lớn là 8 và độ dài trục nhỏ bằng 6 nên:
⇒ Phương trình elip ( E) : = 1 hay 9x2 + 16y2 = 144
Chọn A
Ví dụ 8: Phương trình chính tắc của Elip có độ dài trục lớn bằng 26, tâm sai e =
A.
C.
Lời giải
+ Ta có độ dài trục lớn là 26 nên 2a = 26 ⇔ a = 13
+ Tâm sai của elip (E): e =
⇔ c = 12
⇒ b2 = a2 – c2 = 132- 122 = 25
Phương trình chính tắc của elip là: (E):
Chọn B
Ví dụ 9: Elip có một tiêu điểm F( -2; 0) và tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12√5. Phương trình chính tắc của elip là:
A.
C.
Lời giải
Elip ( E) có một tiêu điểm F(-2; 0) nên c = 2.
Elip ( E) có tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 12√5 nên :
2a. 2b = 12√5 hay ab = 3√5 ⇒a =
Lại có: a2 - b2 = c2 nên
⇔ 45- b4 = 4b2 ⇔
Với b2 = 5 thì b = √5 ⇒ a =
⇒ Phương trình chính tắc của Elip là
Chọn A
Ví dụ 10: Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 12 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 4/5.
A.
C.
Lời giải
Gọi phương trình chính tắc của Elip là: = 1 (a,b > 0).
Độ dài trục nhỏ của Elip là 12 suy ra 2b = 12 ⇒ b = 6. ( 1)
Tiêu cự của Elip là 2c; độ dài trục lớn là 2a theo giả thiết ta có:
Mặt khác a2 - b2 = c2 ( 3)
Thay (1); ( 2) vào ( 3) ta được: a2 - 62 =
⇔ a2 - 36=
⇔ a2 = 100
Vậy phương trình cần tìm là ( E) :
Chọn D
Câu 1: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tiêu cự bằng 2 và trục lớn bằng 10?
A.
C.
Đáp án:A
Trả lời:
Từ đề ta có:
Từ công thức b2 = a2 - c2 ⇒ b =
Phương trình chính tắc của elip:
Câu 2: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có tâm sai bằng
A.
C.
Đáp án: C
Trả lời:
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a,b > 0).
Do (E) có tâm sai bằng và độ dài trục lớn bằng 6 nên ta có:
Câu 3: Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3
A.
C.
Đáp án: C
Trả lời:
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a,b > 0).
Do (E) có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 4√3 nên :
Câu 4:: Elip (E) có tiêu điểm F( 2√3;0) và diện tích hình chữ nhật cơ sở bằng 32 có phương trình chính tắc là:
A.
C.
Đáp án: B
Trả lời:
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a,b > 0).
Elip ( E) có tiêu điểm: F(2√3;0) nên c=2√3 => c2= 12.
Hình chữ nhật cơ sở có diện tích: S= ( 2a).(2b)= 4ab= 32 ⇔ ab= 8
⇔a2.b2 = 64 ⇔ a2 ( a2 – c2)= 64
⇔ a2 ( a2 – 12) = 64
⇔ a4—12a2- 64= 0
⇔ a2= 16 ⇒ b2 = 4
Vậy phương tình elip là:
Câu 5:Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.
A.
C.
Đáp án: C
Trả lời:
Elip ( E) có độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị nên:
2a - 2b = 4 hay a - b = 2 ⇔ a = b + 2 ( 1)
Elip ( E) có độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị nên
2b - 2c = 4 ⇔ b - c = 2 ⇔ c = b - 2. ( 2)
Lại có: a2= b2 + c2 ( 3)
Thay (1), ( 2) vào ( 3) ta được
⇔ b2 - 8b=0 ⇔
Với b = 8 thì a = b + 2 = 10
=> Phương trình chính tắc của Elip là:
Câu 6:Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng √2, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.
A.
C.
Đáp án: A
Trả lời:
+ Elip ( E) có tỉ số độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng √2 nên :
+ Mặt khác, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64 nên:
( 2a)2 + ( 2c)2 = 64 ⇔ 4a2 + 4c2 = 64
⇔ a2 + c2 = 16 (2)
Lại có: a2= b2 + c2 ( 3).
Giải hệ phương trình ( 1) ; ( 2) và (3) ta được :
c =
Phương trình chính tắc của Elip là:
Câu 7:Elip có tổng độ dài hai trục bằng 18 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng
A.
C.
Đáp án: A
Trả lời:
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a,b > 0).
+ Tổng độ dài hai trục của Elip là 18 nên :
2a + 2b = 18 ⇔ a + b = 9 ⇔ b = 9 - a (1)
Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng nên :
Mà a2 - b2 = c2 ( 3)
Thay (1); ( 2) vào ( 3) ta được :
a2 – (9 - a)2 = ⇔ a2 – 81 + 18a – a2 =
⇔
+ Với a = 45 thì b = 9- 45 = - 36 < 0 loại.
+ Với a = 5 thì b= 9 - 5 = 4
Vậy phương trình cần tìm là:
Câu 8: Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng
A.
C.
Đáp án: D
Trả lời:
Giả sử elip có phương trình tổng quát là = 1 (a,b > 0).
+ Tổng độ dài hai trục của Elip là 2a + 2b = 10 ⇔ a + b = 5 ⇔ b = 5 - a ( 1)
+ Tiêu cự của Elip là 2c; độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số:
Mà a2 – b2 = c2 ( 3)
Thay (1);( 2) vào (3) ta được :
a2 - ( 5 - a )2 =
⇔ - 10a+ 25 = 0 ⇔
+ Với a = 15 thì b = 5- 15 = - 10 < 0 loại.
+ Với a = 3 thì b = 5 - 3 = 2
Vậy phương trình cần tìm là:
Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
- Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp