1. Căn bậc hai a) Căn bậc hai của số phức Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn ${z^2} = w$ được gọi là một căn bậc hai của w. Mỗi căn bậc hai của w là một nghiệm của phương trình ${z^2} - w = 0$ (với ẩn z). Cách tìm căn bậc hai của số phức w như sau: Trường hợp w là số thực - Căn bậc hai của 0 là 0. - Xét số thực $w = a \ne 0$: * Khi a > 0 thì ${z^2} - a = \left( {z - \sqrt a } \right)\left( {z + \sqrt a } \right)$. Do đó, ${z^2} - a = 0$ khi và chỉ khi $\sqrt a $ hoặc $ - \sqrt a $. Vậy a có hai căn bậc hai là $ \pm \sqrt a $. * Khi a < 0 thì ${z^2} - a = \left( {z - \sqrt { - ai} } \right)\left( {z + \sqrt { - ai} } \right)$. Do đó, ${z^2} - a = 0$ khi và chỉ khi $\sqrt { - ai} $ hoặc $ - \sqrt { - ai} $. Vậy a có hai căn bậc hai là $ \pm \sqrt { - ai} $. Trường hợp w= a + bi $\left( {a,b \in R} \right)$, $b \ne 0$. $z = x + yi\left( {x,y \in R} \right)$ là căn bậc hai của w khi và chỉ khi ${z^2} = w$, tức là ${\left( {x + yi} \right)^2} = a + bi$. Do ${\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi$ nên ${z^2} = w$ khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - {y^2} = a\\ 2xy = b \end{array} \right.$ Vậy để tìm các căn bậc hai của w = a + bi ta cần giải hệ phương trình này. Mỗi cặp số thực (x ; y) nghiệm đúng hệ phương trình đó cho ta một căn bậc hai x + yi của số phức a + bi. b) Căn bậc hai của của số thực âm Căn bậc hai của số thực a là $ \pm i\sqrt {\left| a \right|} $. 2. Phương trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c;a,b,c \in R,a \ne 0$. Xét biệt số $\Delta = {b^2} - 4ac$ của phương trình. Ta thấy: - Khi $\Delta = 0$, phương trình có một nghiệm thực. - Khi $\Delta > 0$, có hai căn bậc hai (thực) của $\Delta $ là $ \pm \sqrt \Delta $ và phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi công thức: ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}$ - Khi $\Delta < 0$ phương trình không có nghiệm thực vì không tồn tại căn bậc hai thực của $\Delta $. - Tuy nhiên, $\Delta < 0$, có hai căn bậc hai thuần ảo của $\Delta $ là ${ \pm i\sqrt \Delta }$. Khi đó, phương trình hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: ${x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm i\sqrt {\left| \Delta \right|} }}{{2a}}$. Như vậy, trong tập hợp các số phức, mọi phương trình bậc hai với hệ số thực đều có hai nghiệm. Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc $n\left( {n \ge 1} \right)$ có: ${a_0}{x^n} + {a_1}{x^{n - 1}} + ... + {a_{n - 1}}{x^n} + {a_n} = 0$ trong đó ${a_0},{a_1},...,{a_n} \in C,{a_0} \ne 0$ đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân biệt) (Định lí cơ bản của Đại số học). Page 2 SureLRN
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D. là một véc tơ pháp tuyến của đường cao qua . Vậy phương trình tổng quát của đường cao qua là .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B. Giả sử Gọi . chắn hai trục toạ độ tam giác vuông tại có diện tích
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B. Đường thẳng đi qua điểm và nhận làm véctơ chỉ phương làm véctơ pháp tuyến có phương trình là .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D. Phương trình hệ số góc: .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C. Từ phương trình tham số của ta có: .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D. Từ phương trình tổng quát của ta thấy qua và có vectơ pháp tuyến suy ra có vectơ chỉ phương . Phương trình tham số của là .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D. Ta có nên đường thẳng đi qua điểm và có vectơ chỉ phương là suy ra phương trình chính tắc của là .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D. Ta có phương trình đường thẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng có phương trình là Gọi là hình chiếu vuông góc của trên . Khi đó tọa độ là nghiệm của hệ phương trình .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A. Ta có Suy ra số đo góc giữa và là .
A. và . B. và . C. và . D. và . Lời giải Chọn B. Ta có: , Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi và trục là
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D. Cách 1: Tự luận. Gọi là đường thẳng song song và cách đều và . Suy ra phương trình có dạng: Mặt khác: Cách 2: Trắc nghiệm. Phương trình đường thẳng song song và cách đều và là
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C. Cách 1: Tự luận. Gọi . Cho , suy ra . . Cách 2: Trắc nghiệm. .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D.
Dễ thấy nên suy ra tam giác vuông tại Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là với trung điểm cạnh .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C. Đường thẳng song song với đường thẳng nên phương trình có dạng: đi qua nên ta có: Vậy
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C. Ta có đường thẳng . Phương trình đường thẳng .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C. Cách 1: Tự luận Vì nên có dạng với . cắt , lần lượt tại , suy ra tọa độ của và . Theo đề bài . Với : . Với : hay . Cách 2: Trắc nghiệm A: loại A. D: loại D. B: . , . . loại B.
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B. Gọi là trung điểm của . Phương trình đường trung trực của đoạn thẳng . PTTQ: .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn C. Gọi là trung điểm của cạnh . Ta có . Phương trình đường trung tuyến : . PTTQ: .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D. Gọi là trung điểm của cạnh . Ta có . Phương trình đường trung tuyến : . PTTQ: .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D. là một véc tơ pháp tuyến của đường cao qua . Vậy phương trình tổng quát của đường cao qua là .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B. Giả sử Gọi . chắn hai trục toạ độ tam giác vuông tại có diện tích
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A. và . Phương trình tổng quát của và lần lượt là và . Toạ độ giao điểm của và là nghiệm hệ .
A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau. C. Trùng nhau. D. Vuông góc với nhau. Lời giải Chọn A. , và . Ta thấy: và cùng phương. Lại có: và không cùng phương. Vậy hai đường thẳng và song song.
A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc với nhau. C. Trùng nhau. D. Vuông góc với nhau. Lời giải Chọn B. Ta có . Do nên hai đường thẳng cắt nhau. Mặt khác nên hai đường thẳng không vuông góc.
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A. Áp dụng công thức tính khoảng cách ta có .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn D. Ta có . Phương trình đường thẳng là . Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là . Diện tích tam giác là .
A. . B. . C. . D. và . Lời giải Chọn D. Ta có . Phương trình đường thẳng là . Gọi . Diện tích tam giác bằng nên .
A. Cạnh . B. Cạnh . C. Cạnh . D. Không cắt cạnh nào. Lời giải Chọn D. Ta có nên hai điểm , nằm cùng về một phía của đường thẳng cạnh không cắt đường thẳng . nên hai điểm , nằm cùng về một phía của đường thẳng cạnh không cắt đường thẳng . nên hai điểm , nằm cùng về một phía của đường thẳng cạnh không cắt đường thẳng .
A. . B. . C. . D. Đáp án khác. Lời giải Chọn B. Ta có tâm là trung điểm của đoạn thẳng và bán kính . Suy ra . . Phương trình đường tròn đường kính là . Kết luận: Phương trình đường tròn đường kính là .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B. Ta có tâm là trung điểm của đoạn thẳng và bán kính . Suy ra . . Phương trình đường tròn đường kính là . Kết luận phương trình đường tròn đường kính là .
A. có tâm . B. có bán kính . C. cắt trục tại điểm phân biệt. D. cắt trục tại điểm phân biệt. Lời giải Chọn D. Tung độ giao điểm của với trục là nghiệm của phương trình: (phương trình vô nghiệm). Vậy không cắt trục .
A. . B. . C. . D. Đáp án khác. Lời giải Chọn A. Ta có Phương trình đường tròn cần viết là . Vậy .
A. . B. . C. . D. hoặc . Lời giải Chọn D. Ta có , , Phương trình là phương trình đường tròn .
A. . B. hoặc . C. . D. hoặc . Lời giải Chọn B. Ta có , , Phương trình là phương trình đường tròn .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A. Ta có .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B. Giả sử đường tròn đi qua ba điểm , , có dạng: , điều kiện Theo bài ra ta có hệ Suy ra đường tròn có tâm , bán kính Hay phương trình đường tròn là .
A. đi qua tâm của đường tròn . B. cắt tại hai điểm phân biệt. C. tiếp xúc . D. không có điểm chung với . Lời giải Chọn C. Đường tròn có tâm và bán kính . Ta có: nên tiếp xúc .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn A. Từ thế vào phương trình đường tròn ta được: . Vậy tọa độ tiếp điểm của đường thẳng và đường tròn là .
A. cắt . B. không có điểm chung với . C. tiếp xúc trong với . D. tiếp xúc ngoài với . Lời giải Chọn D. Đường tròn có tâm và bán kính . Đường tròn có tâm và bán kính . Ta có: . Do đó tiếp xúc ngoài với .
A. . B. . C. . D. Đáp án khác. Lời giải Chọn A. Tập hợp điểm nhìn dưới một góc vuông nằm trên đường tròn đường kính và tâm là trung điểm của . Tọa độ tâm đường tròn là trung điểm của : . Bán kính đường tròn: . Phương trình đường tròn: .
A. Tâm và bán kính . B. Tâm và bán kính . C. Tâm và bán kính . D. Tâm và bán kính . Lời giải Chọn B. Ta có Do vậy phương trình trên là phương trình đường tròn tâm và bán kính .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B. Đường tròn có tâm , bán kính có phương trình: Đường tròn tiếp xúc với trục nên Vậy đường tròn có phương trình: .
A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn B. Cách 1: Đường tròn có tâm , bán kính có phương trình là Đường tròn đi qua , nên ta có Lấy ta được Hơn nữa ta có tâm suy ra Thay vào ta được . Từ ta có Vậy đường tròn có phương trình: . Cách 2: Đường tròn có tâm , bán kính có phương trình là
.
Vì Suy ra tâm , bán kính Vậy đường tròn có phương trình: . |
