18/06/2021 1,776
A.
B.
C.
Đáp án chính xác
D.
Ta có: Tiêu cự 2c= 6 => c= 3
Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn .
2ae=503
=> 6a2= 50 c nên a2= 25 => b2= 16
Vậy phương trình (E) cần tìm là:
Chọn C.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Cho elíp có phương trình 16x2+ 25y2= 100.Tính tổng khoảng cách từ điểm thuộc elíp có hoành độ x= 2 đến hai
tiêu điểm.
Xem đáp án » 18/06/2021 6,176
Cho Elip có phương trình : 9x2+ 25y2= 225. Lúc đó hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 5,738
Cho Elip x25+y24=1 . Tính tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn của Elip.
Xem đáp án » 18/06/2021 5,277
Cho elip có phương trình:x29+y24=1 Khi đó tọa độ hai đỉnh trên trục nhỏ của elip là.
Xem đáp án » 18/06/2021 5,082
Cho Elip (E) :x225+y29=1 Đường thẳng d: x+ 4= 0 cắt (E) tại hai điểm M; N . Khi đó:
Xem đáp án » 18/06/2021 4,936
Cho Elip (E) x216+y212=1 và điểm M nằm trên (E) . Nếu điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2
tiêu điểm của (E) bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 4,503
Cho elip E: x2169+y2144=1 và điểm M nằm trên (E). Nếu M có hoành độ bằng - 13 thì khỏang cách từ M đến hai tiêu điểm bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 3,374
Tìm phương trình chính tắc của Elip có một đỉnh của hình chữ nhật cơ sở là M(4;3)
Xem đáp án » 18/06/2021 2,763
Cho elíp E: x216+y29=1 và đường thẳng d: 3x+ 4y -12= 0. Số giao điểm của đường thẳng d và elip (E) là:
Xem đáp án » 18/06/2021 2,160
Đường thẳng nào dưới đây là 1 đường chuẩn của Elip x216+y212=1
Xem đáp án » 18/06/2021 1,861
Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 43
Xem đáp án » 18/06/2021 1,687
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho elip (E) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Phương trình
nào sau đây là phương trình của elip (E) .
Xem đáp án » 18/06/2021 1,551
Một elip có trục lớn bằng 26, tâm sai e =12/13. Trục nhỏ của elip có độ dài bằng bao nhiêu?
Xem đáp án » 18/06/2021 1,388
Tìm phương trình chính tắc của Elip đi qua điểm (6; 0) và có tâm sai bằng 1/2
Xem đáp án » 18/06/2021 1,366
Tâm sai của elip x216 +y27 =1 bằng
Xem đáp án » 18/06/2021 1,028
Lý thuyết phương trình đường elip là phần rất quan trọng và là cơ sở để giải bài tập. Để nắm chắc nội dung phần này, các em cần nhớ công thức, cách giải và hơn hết là làm thật nhiều bài tập. Các em hãy cùng VUIHOC ôn tập lại kiến thức này để tự tin bước vào kỳ thi sắp tới nhé!
Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F1 và F2. Elip là tập hợp các điểm M sao cho tổng $F_{1}M+F_{2}M=2a$ không đổi.
Trong đó các điểm $F_{1},F_{2}$ gọi là tiêu điểm của elip.
Khoảng cách $F_{1}F_{2}=2c$ gọi là tiêu cự của elip.
2. Phương trình chính tắc của đường elip
Cho elip có tiêu điểm $F_{1},F_{2}$ chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho $F_{1}(-c;0)$ và $F_{2}(c;0)$. Khi đó người ta chứng minh được:
$M\left ( x;y \right )\epsilon$ elip $\Rightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (1)
Trong đó: $b^{2}=a^{2}-c^{2}$
Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường elip.
Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho elip ( E) có độ dài trục lớn bằng 12 và độ dài trục bé bằng 6. Hãy viết phương trình chính tắc của elip (E)?
Giải:
Phương trình chính tắc của elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a,b > 0).
Ta có độ dài trục lớn bằng 12 nên 2a = 12 => a = 6
Ta có độ bé bằng 6 nên 2b = 6 => b = 3
Vậy phương trình của Elip là: $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{9}=1$
3. Thành phần và hình dạng của elip
Với elip (E) có phương trình (1):
Nếu điểm M(x;y) thuộc (E) thì các điểm $M_{1}$(-x;y), $M_{2}$=(x;-y) cũng thuộc (E).
Vậy (E) có:
+ Các trục đối xứng: Ox, Oy
+ Tâm đối xứng là gốc O
Thay y = 0 vào (1) ta có $x=\pm a$, suy ra (E) cắt Ox tại hai điểm $A_{1}$=(-a;0) và $A_{2}=(a;0)$.
Tương tự thay x=0 vào (1) ta được y=b, vậy (E) cắt Oy tại hai điểm $B_{1}=(0;-a),B_{2}=(a;0)$.
Các điểm $A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}$ gọi là các đỉnh của elip.
Trong đó đoạn thẳng $A_{1},A_{2}$ là trục lớn, đoạn thẳng $B_{1},B_{2}$ là trục nhỏ của elip.
Ví dụ: Xác định độ dài các trục, toạ độ các tiêu điểm, toạ độ các đỉnh và vẽ elip (E) có phương trình: $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$
Giải:
Vì phương trình đường elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$\left\{\begin{matrix}a^{2}=25\\ b^{2}=9\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}a=5\\ b=3\end{matrix}\right.$
$c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=4$
Vậy (E) có:
- Trục lớn : $A_{1}A_{2}$ = 2a =10
- Trục nhỏ : $B_{1}B_{2}$ = 2b = 6
- Hai tiêu điểm: $F_{1}$(- 4;0), $F_{2}$(4;0)
- Bốn đỉnh: $A_{1}$(- 5;0), $A_{2}$(5;0), $B_{1}$(0;– 3), $B_{2}$(0;3).
4. Các dạng bài tập về phương trình đường elip
Câu 1: Cho Elip (E): $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$ và điểm M nằm trên (E). Giả sử điểm M có hoành độ bằng 1 thì các khoảng cách từ M tới 2 tiêu điểm của (E) bằng bao nhiêu?
Giải:
Ta có $a^{2}=16,b^{2}=12$
nên $c^{2}=a^{2}-b^{2}=4$
$\Rightarrow a=4;c=2$ và hai tiêu điểm $F_{1}$(-2; 0); $F_{2}$(2;0)
Điểm M thuộc (E) và $x_{M}=1\Rightarrow y_{M}\pm \frac{3\sqrt{5}}{2}$
Tâm sai của elip $e=\frac{c}{a}\Rightarrow e=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow MF_{1}=a+ex_{M}=4+0.5=4.5$
$MF_{2}=a-ex_{M}=4-0.5=3.5$
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, viết phương trình chính tắc của elip (E) có tâm sai bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và độ dài đường chéo hình chữ nhật cơ sở bằng $2\sqrt{5}$.
Giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ với a>b>0
Tâm sai $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Leftrightarrow c^{2}=\frac{a^{2}}{\sqrt{3}}$.
Độ dài đường chéo hình chữ nhật $\sqrt{\left ( 2a \right )^{2}+\left ( 2b \right )^{2}}=2\sqrt{5}\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}=5\Leftrightarrow b^{2}=5-a^{2}$
Khi đó: $a^{2}=b^{2}+c^{2}\Leftrightarrow a^{2}=5-a^{2}+\frac{a^{2}}{3}\Leftrightarrow a^{2}=3\Rightarrow b^{2}=2$
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) cần lập là: $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=1$
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết rằng elip (E) có hai tiêu điểm $F_{1},F_{2}$, với $F_{1}(-\sqrt{3};0)$ và có một điểm M thuộc (E) để tam giác F1MF2 vuông tại M và có S=1.
Giải:
Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}$ với a>b>0
Với $F_{1}(-\sqrt{3};0)$, suy ra $c=\sqrt{3}$ => $a^{2}-b^{2}-c^{2}=3$ hay $a^{2}=b^{2}+3$ (1)
Gọi $M\left ( x_{0};y_{0} \right )$ $\Rightarrow\left\{\begin{matrix}
\vec{MF_{1}}=\left ( -\sqrt{3}-x_{0};-y_{0}\right )\\ \vec{MF_{2}}=\left ( \sqrt{3} -x_{0};-y_{0}\right )\end{matrix}\right.$
Khi đó: $\widehat{F_{1}MF_{2}}=90^{\circ}$ $\Leftrightarrow \overline{MF_{1}}.\overline{MF_{2}}=0$ $\Leftrightarrow x_{0}^{2}-3+y_{0}^{2}=0$
$\Leftrightarrow x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=3$
Ta có: $S_{F_{1}MF_{2}}=\frac{1}{2}d(M,Ox).F_{1}F_{2}=\frac{1}{2}\left | y_{0} \right |.2\sqrt{3}=\sqrt{3}\left | y_{0} \right |=1$ $\Leftrightarrow y_{0}^{2}=\frac{1}{3}$
$\Rightarrow x_{0}^{2}=\frac{8}{3}$
Mặt khác $M(x_{0};y_{0})\epsilon (E)$ $\Leftrightarrow \frac{x_{0}^{2}}{a^{2}}+\frac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1$
$\Leftrightarrow \frac{8}{3a^{2}}+\frac{1}{3b^{2}}=1$ (2)
Thay (1) vào (2) ta được: $\frac{8}{3(b^{2}+3)}+\frac{1}{3b^{2}}=1\Leftrightarrow 3b^{4}=3\Leftrightarrow b=1$ (do b>0)
$\Rightarrow a^{2}=4$
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) cần lập là: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): $x^{2}+y^{2}=8$. Biết (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành bốn đỉnh của một hình vuông. Hãy viết phương trình chính tắc elip (E).
Giải:
Ta có phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
- (E) có độ dài trục lớn bằng 8 nên suy ra 2a = 8 => a = 4.
- (E) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt tạo thành 4 đỉnh của một hình vuông => 4 đỉnh nằm trên hai đường phân giác thuộc góc phần tư thứ nhất và thứ hai.
Ta giả sử A là một giao điểm của (E) và (C) thuộc đường phân giác Δ: y = x.
- Gọi $A(t;t)\epsilon \Delta $ (t > 0). Ta có: $A\epsilon(C)\Rightarrow t^{2}+t^{2}=8\Leftrightarrow t=2$ (vì t > 0) => A(2;2)
- Mà $A\epsilon(E)\Rightarrow \frac{2^{2}}{4^{2}}+\frac{2^{2}}{b^{2}}=1\Rightarrow b^{2}=\frac{16}{3}$
Vậy phương trình chính tắc của elip (E) là: $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{\frac{16}{3}}=1$
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) có hai tiêu điểm $F_{1}(-\sqrt{3};0),F_{2}(\sqrt{3};0)$ và đi qua điểm $A(\sqrt{3};\frac{1}{2})$. Hãy lập phương trình chính tắc của (E) và với mọi điểm M thuộc (E), hãy tính giá trị biểu thức: $P=MF_{1}^{2}+MF_{2}^{2}-3OM^{2}-MF_{1}MF_{2}$.
Giải:
- Gọi phương trình chính tắc của elip (E) có dạng: $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ với a>b>0
(E) có hai tiêu điểm $F_{1}(-\sqrt{3};0),F_{2}\left ( \sqrt{3};0\right )$ suy ra $c=\sqrt{3}$
- Khi đó a² - b² = c² = 3 ⇔ a² = b² +3 => (E): $\frac{x^{2}}{b^{2}+3}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
- Với $A\left ( \sqrt{3};\frac{1}{2}\right )\epsilon (E)$ ⇔ $\frac{3}{b^{2}+3}+\frac{1}{4b^{2}}=1$ ⇔ $4b^{2}-b^{2}-3=0\Leftrightarrow \left ( 4b^{2}+3\right )\left ( b^{2}-1 \right )=0$
$\Leftrightarrow b^{2}=1\Rightarrow a^{2}=4$
Vậy phương trình chính tắc của (E) là: $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$
$M(x_{0};y_{0})\epsilon (E)\Rightarrow\left\{\begin{matrix}
MF_{1}=a+\frac{c}{a}x_{0};MF_{2}=a-\frac{c}{a}x_{0}\\OM^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2};\frac{x_{0}^{2}}{4}+y_{0}^{2}=1\end{matrix}\right.$
Khi đó:
P = $\left ( a+\frac{c}{a}x_{0} \right )^{2}+\left ( a-\frac{c}{a}x_{0} \right )^{2}-3(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})-(a+\frac{c}{a}x_{0})(a-\frac{c}{a}x_{0})$
= $x^{2}+\frac{3c^{2}}{a^{2}}x_{0}^{2}-3(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})$
= $4+\frac{9}{4}x_{0}^{2}-3(x_{0}^{2}+y_{0}^{2})$
= $4-3(\frac{x_{0}^{2}}{4}+y_{0}^{2})$
= 4-3=1
Vậy P = 1
Thông qua những kiến thức trong bài viết, hi vọng các em đã có thể vận dụng lý thuyết vào làm bài tập về phương trình đường elip. Để có thể học thêm nhiều phần bài giảng thú vị và chi tiết khác, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản để bắt đầu quá trình học tập của mình nhé!